专题 抛物线的综合问题 课后练习二及详解

抛物线的综合问题课后练习（二）主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师题一： 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，B为直线AF与抛物线C的一个交点，若,则=_题二： 已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是_题三： 已知圆C过定点F，且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR)相交于A、B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于时，求k的值题四： 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、ww()当时，求证：；()记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立若存在,求出的值；若不存在,说明理由题五： 已知抛物线C1：x2y，圆C2：x2(y4)21的圆心为点M(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程题六： 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不一定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不一定与抛物线相切其中正确的命题是()A B C D抛物线的综合问题课后练习参考答案题一： 4详解：设A(-1，a)，B(m，n)，则，m= n，|a|=的焦点为F(1，0)题二： 详解：由y28x知2p8，p4，设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F知8yB16，则yB2，xB线段AB中点到准线的距离为2题三： (1) y2x；(2)k详解: (1)由题意，点C到定点F和直线x的距离相等，点C的轨迹方程为y2x(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理有y1y2，y1y21设直线l与x轴交于点N，则N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1SOAB，所以，解得k题四： () 见详解；()存在详解：依题意，可设直线MN的方程为，则有由消去x可得从而有 于是 又由，可得 ()如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时可得证法1：证法2： ()存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：记直线与x轴的交点为,则于是有 wwwks5ucOm 将、代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立题五： (1) ；(2)yx4详解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y，所以圆心M(0,4)到准线的距离是 (2)设P(x0，x)，A(x1，x)，B(x2，x)，由题意得x00，x01，x1x2设过点P的圆C2的切线方程为yxk(xx0)，即ykxkx0x则1即(x1)k22x0(4x)k(x4)210设PA，PB的斜率为k1，k2(k1k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1k2，k1k2将代入yx2得x2kxkx0x0，由于x0是此方程的根，故x1k1x0，x2k2x0，所以kAB x1x2k1k22x0 2x0，kMP由MPAB，得kABkMP1，解得x，即点P的坐标为，所以直线l的方程为yx4题六： A详解：|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90 ，故正确，错误当x时，|y|p，|MF|NF|PF|p，故MPFNPF45，即MPN90；当M在第一象限时可得直线PM的斜率为1，可得直线PM方程为