4.解排列组合问题的常用方法 高三复习 ppt课件

解排列组合问题的常用策略 1 基本概念和考点 2 合理分类和准确分步 3 特殊元素和特殊位置问题 4 相邻相间问题 5 定序问题 6 分房问题 7 环排 多排问题 12 小集团问题 10 先选后排问题 9 平均分组问题 11 构造模型策略 8 实验法 枚举法 13 其它特殊方法 排列组合应用题解法综述 目录 基本原理 组合 排列 排列数公式 组合数公式 组合数性质 应用问题 知识结构网络图 两个原理的区别与联系 做一件事或完成一项工作的方法数 直接 分类 完成 间接 分步骤 完成 做一件事 完成它可以有n类办法 第一类办法中有m1种不同的方法 第二类办法中有m2种不同的方法 第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 做一件事 完成它可以有n个步骤 做第一步中有m1种不同的方法 做第二步中有m2种不同的方法 做第n步中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 回目录 1 排列和组合的区别和联系 从n个不同元素中取出m个元素 按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元素 把它并成一组 所有排列的的个数 所有组合的个数 回目录 1 某校组织学生分4个组 每组从3处风景点中选一处去春游 则不同的春游方案的种数是A B C D C 回目录 练习 2 将数字1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格里 每格填一个数字 则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有 A 6种B 9种C 11种D 23种 B 考点分析 从 考纲大纲 看 高考对这部分的要求还是比较高的 要重视两个计数原理 排列 组合在解决实际问题上的应用 值得提醒地是 计数模型不一定是排列或组合 画一画 数一数 算一算 是基本的计数方法 不可废弃 例 2001年新课程卷 某赛季足球比赛的计分规则是 胜一场 得3分 平一场 得1分 负一场 得0分 一球队打完15场 积33分 若不考虑顺序 该队胜 负 平的情况共有 A3种B4种C5种D6种 回目录 总的原则 合理分类和准确分步 解排列 或 组合问题 应按元素的性质进行分类 事情的发生的连续过程分步 做到分类标准明确 分步层次清楚 不重不漏 解法1分析 先安排甲 按照要求对其进行分类 分两类 根据分步及分类计数原理 不同的站法共有 例16个同学和2个老师排成一排照相 2个老师站中间 学生甲不站排头 学生乙不站排尾 共有多少种不同的排法 1 若甲在排尾上 则剩下的5人可自由安排 有种方法 若甲在第2 3 6 7位 则排尾的排法有种 1位的排法有种 第2 3 6 7位的排法有种 根据分步计数原理 不同的站法有种 再安排老师 有2种方法 回目录 解法二 老师有2种排法学生有A66 2A55 A44相乘得 1008 把握分类原理 分步原理是基础例1如图 某电子器件是由三个电阻组成的回路 其中有6个焊接点A B C D E F 如果某个焊接点脱落 整个电路就会不通 现发现电路不通了 那么焊接点脱落的可能性共有 A 63种B 64种C 6种D 36种 分析 由加法原理可知 由乘法原理可知 2 2 2 2 2 2 1 63 回目录 1 0 1 2 3 4 5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数 练习1 分类 个位数字为5或0 个位数为0 个位数为5 回目录 2 0 1 2 3 4 5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数 分类 引申1 31250是由0 1 2 3 4 5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数 方法一 排除法 方法二 直接法 引申2 由0 1 2 3 4 5组成的无重复数字的五位数中大于31250 小于50124的数共有多少个 2004 全国 12 在由数字1 2 3 4 5组成的所有没有重复的5位数中 大于23145且小于43512的数共有 个 58 回目录 合理分类与分步策略 例 在一次演唱会上共10名演员 其中8人能唱歌 5人会跳舞 现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目 有多少选派方法 解 10演员中有5人只会唱歌 2人只会跳舞3人为全能演员 回目录 本题还有如下分类标准 以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题 可按元素的性质进行分类 按事件发生的连续过程分步 做到标准明确 分步层次清楚 不重不漏 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终 回目录 有不同的数学书7本 语文书5本 英语书4本 由其中取出不是同一学科的书2本 共有多少种不同的取法 7 5 7 4 5 4 83 回目录 4 2005 福建 理 从6人中选4人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市有一人游览 每人只游览一个城市 且这6人中甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 A 300种B 240种C 144种D 96种 B 直接法 分三种情况 情况一 不选甲 乙两个去游览 则有种选择方案 情况二 甲 乙中有一人去游览 有种选择方案 情况三 甲 乙两人都去游览 有种选择方案 综上不同的选择方案共有 240 间接法 回目录 1 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会 若这4人中必须既有男生又有女生 则不同的选法共有 34 练习题 2 3成人2小孩乘船游玩 1号船最多乘3人 2号船最多乘2人 3号船只能乘1人 他们任选2只船或3只船 但小孩不能单独乘一只船 这5人共有多少乘船方法 27 回目录 特殊元素和特殊位置问题 特殊元素和特殊位置优先策略 例1 由0 1 2 3 4 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 解 由于末位和首位有特殊要求 应该优先安排 以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 若以元素分析为主 需先安排特殊元素 再处理其它元素 若以位置分析为主 需先满足特殊位置的要求 再处理其它位置 若有多个约束条件 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 回目录 特殊元素 特殊位置优先安排法 对于特殊元素的排列组合问题 一般应先考虑特殊元素 再考虑其它元素 例2用0 1 2 3 4这五个数 组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 A 24B 30C 40D 60 分析 由于该三位数是偶数 所以末尾数字必须是偶数 又因为0不能排首位 故0就是其中的 特殊 元素 应优先安排 按0排在末尾和不排在末尾分为两类 0排在末尾时 有个 0不排在末尾时 先用偶数排个位 再排百位 最后排十位有个 由分类计数原理 共有偶数30个 B 解题技巧 回目录 学生要从六门课中选学两门 1 有两门课时间冲突 不能同时学 有几种选法 2 有两门特别的课 至少选学其中的一门 有几种选法 回目录 1 有两门课时间冲突 不能同时学 有几种选法 回目录 解法一 解法二 2 有两门特别的课 至少选学其中的一门 有几种选法 特殊元素 或位置 优先安排 例将5列车停在5条不同的轨道上 其中a列车不停在第一轨道上 b列车不停在第二轨道上 那么不同的停放方法有 A 120种 B 96种 C 78种 D 72种 解 7种不同的花种在排成一列的花盆里 若两种葵花不种在中间 也不种在两端的花盆里 问有多少不同的种法 练习题 1 0 1 2 3 4 5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数 2 0 1 2 3 4 5可组成多少个无重复数字的五位奇数 练习 3 2005 北京 文 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目 每个工程队承建1项 其中甲工程队不能承建1号子项目 则不同的承建方案共有 种 4 2005 全国II 理 在由数字0 1 2 3 4 5所组成的没有重复数字的四位数中 不能被 整除的数共有 个 解 不能被5整除的有两种情况 情况1 首位为5有种 情况2 首位不是5的有种 故在由数字0 1 2 3 4 5所组成的没有重复数字的四位数中 不能被 整除的数共有 192 个 192 相邻相间问题 相邻元素捆绑策略 例 7人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法 解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 同时丙丁也看成一个复合元素 再与其它元素进行排列 同时对相邻元素内部进行自排 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要注意合并元素内部也必须排列 回目录 例5个男生3个女生排成一排 3个女生要排在一起 有多少种不同的排法 解因为女生要排在一起 所以可以将3个女生看成是一个人 与5个男生作全排列 有种排法 其中女生内部也有种排法 根据乘法原理 共有种不同的排法 结论捆绑法 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要注意合并元素内部也可以作排列 分析此题涉及到的是排队问题 对于女生有特殊的限制 因此 女生是特殊元素 并且要求她们要相邻 因此可以将她们看成是一个元素来解决问题 回目录 某人射击8枪 命中4枪 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 练习题 20 回目录 有8本互不相同的书 其中数学书3本 外文书2本 其他书3本 若将这些书排成一列放在书架上 则数学书恰好排在一起 外文书也恰好排在一起的排法共有 种 结果用数值表示 回目录 不相邻问题插空策略 例3 一个晚会的节目有4个舞蹈 2个相声 3个独唱 舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种 解 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 回目录 不相邻问题 插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题 可先将其它元素排好 然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可 例57人站成一排照相 要求甲 乙 丙三人不相邻 分别有多少种站法 分析 可先让其余4人站好 共有种排法 再在这4人之间及两端的5个 空隙 中选三个位置让甲 乙 丙插入 则有种方法 这样共有种不同的排法 回目录 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 且两个新节目不相邻 那么不同插法的种数为 30 练习题 回目录 1 三个男生 四个女生排成一排 男生 女生各站一起 有几种不同方法 2 三个男生 四个女生排成一排 男生之间 女生之间不相邻 有几种不同排法 捆绑法 插空法 3 2005 辽宁 用 组成没有重复数字的八位数 要求 与 相邻 与 相邻 与 相邻 而 与 不相邻 这样的八位数共有 个 用数字作答 练习 回目录 3 2005 辽宁 用 组成没有重复数字的八位数 要求 与 相邻 与 相邻 与 相邻 而 与 不相邻 这样的八位数共有 个 用数字作答 将 与 与 与 捆绑在一起排成一列有种 再将 插入4个空位中的两个有种 故有种 引申 用 组成没有重复数字的六位数 要求 与 相邻 与 相邻 与 相邻 现将7 8插进去 仍要求 与 相邻 与 相邻 与 相邻 那么插法共有 种 用数字作答 回目录 相邻 用 捆绑 不邻 就 插空 例七人排成一排 甲 乙两人必须相邻 且甲 乙都不与丙相邻 则不同的排法有 种960种 B 840种 C 720种 D 600种 解 另解 回目录 练习某城新建的一条道路上有12只路灯 为了节省用电而不影响正常的照明 可以熄灭其中三盏灯 但两端的灯不能熄灭 也不能熄灭相邻的两盏灯 可以熄灭的方法共有 A 种 B 种 C 种 D 种 解 回目录 例学校组织老师学生一起看电影 同一排电影票12张 8个学生 4个老师 要求老师在学生中间 且老师互不相邻 共有多少种不同的坐法 解先排学生共有种排法 然后把老师插入学生之间的空档 共有7个空档可插 选其中的4个空档 共有种选法 根据乘法原理 共有的不同坐法为种 结论插入法 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题 可以用插入法 即先排好没有限制条件的元素 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 分析此题涉及到的是不相邻问题 并且是对老师有特殊的要求 因此老师是特殊元素 在解决时就要特殊对待 所涉及问题是排列问题 回目录 定序问题 例6有4名男生 3名女生 3名女生高矮互不等 将7名学生排成一行 要求从左到右 女生从矮到高排列 有多少种排法 顺序固定问题用 除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 所以共有种 分析 先在7个位置上作全排列 有种排法 其中3个女生因要求 从矮到高 排 只有一种顺序故只对应一种排法 回目录 定序问题倍缩空位插入策略 例4 7人排队 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解 倍缩法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是 空位法 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法 其余的三个位置甲乙丙共有种坐法 则共有种方法 1 思考 可以先让甲乙丙就坐吗 回目录 例6有4名男生 3名女生 3名女生高矮互不等 将7名学生排成一行 要求从左到右 女生从矮到高排列 有多少种排法 顺序固定问题用 除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 所以共有种 分析 先在7个位置上作全排列 有种排法 其中3个女生因要求 从矮到高 排 只有一种顺序故只对应一种排法 回目录 插入法 先排甲乙丙三个人 共有1种排法 再把其余4四人依次插入共有方法 4 5 6 7 定序问题可以用倍缩法 还可转化为占位插空模型处理 练习题 10人身高各不相等 排成前后排 每排5人 要求从左至右身高逐渐增加 共有多少排法 回目录 例期中安排考试科目9门 语文要在数学之前考 有多少种不同的安排顺序 解不加任何限制条件 整个排法有种 语文安排在数学之前考 与 数学安排在语文之前考 的排法是相等的 所以语文安排在数学之前考的排法共有种 结论对等法 在有些题目中 它的限制条件的肯定与否定是对等的 各占全体的二分之一 在求解中只要求出全体 就可以得到所求 分析对于任何一个排列问题 就其中的两个元素来讲的话 他们的排列顺序只有两种情况 并且在整个排列中 他们出现的机会是均等的 因此要求其中的某一种情况 能够得到全体 那么问题就可以解决了 并且也避免了问题的复杂性 回目录 分房问题 又名 住店法 重排问题求幂策略 住店法 解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素 一类元素可以重复 另一类不能重复 把不能重复的元素看作 客 能重复的元素看作 店 再利用乘法原理直接求解 例10七名学生争夺五项冠军 每项冠军只能由一人获得 获得冠军的可能的种数有 A B CD 分析 因同一学生可以同时夺得n项冠军 故学生可重复排列 将七名学生看作7家 店 五项冠军看作5名 客 每个 客 有7种住宿法 由乘法原理得种 注 对此类问题 常有疑惑 为什么不是呢 用分步计数原理看 5是步骤数 自然是指数 回目录 A 重排问题求幂策略 例 把6名实习生分配到7个车间实习 共有多少种不同的分法 解 完成此事共分六步 把第一名实习生分配到车间有种分法 7 依此类推 由分步计 数原理共有种不同的排法 回目录 1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个节目插入原节目单中 那么不同插法的种数为 42 2 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人 他们到各自的一层下电梯 下电梯的方法 练习题 回目录 环排问题和多排问题 环排问题线排策略 例6 5人围桌而坐 共有多少种坐法 解 围桌而坐与坐成一排的不同点在于 坐成圆形没有首尾之分 所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有 种排法即 5 1 一般地 n个不同元素作圆形排列 共有 n 1 种排法 如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 回目录 练习题 6颗颜色不同的钻石 可穿成几种钻石圈 120 多排问题直排策略 例7 8人排成前后两排 每排4人 其中甲乙在前排 丁在后排 共有多少排法 解 8人排前后两排 相当于8人坐8把椅子 可以把椅子排成一排 一般地 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑 再分段研究 回目录 有两排座位 前排11个座位 后排12个座位 现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐 并且这2人不左右相邻 那么不同排法的种数是 346 练习题 回目录 小集团问题 小集团问题先整体局部策略 例9 用1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1 在两个奇数之间 这样的五位数有多少个 解 把 当作一个小集团与 排队共有 种排法 再排小集团内部共有 种排法 由分步计数原理共有 种排法 小集团排列问题中 先整体后局部 再结合其它策略进行处理 回目录 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 幅油画 幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的必须连在一起 并且水彩画不在两端 那么共有陈列方式的种数为 2 5男生和 女生站成一排照像 男生相邻 女生也相邻的排法有 种 回目录 元素相同问题隔板策略 应用背景 相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题 隔板法的使用特征 相同的元素分成若干部分 每部分至少一个 元素相同问题隔板策略 例 有10个运动员名额 在分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 回目录 例高二年级8个班 组织一个12个人的年级学生分会 每班要求至少1人 名额分配方案有多少种 解此题可以转化为 将12个相同的白球分成8份 有多少种不同的分法问题 因此须把这12个白球排成一排 在11个空档中放上7个相同的隔板 每个空档最多放一个 即可将白球分成8份 显然有种不同的放法 所以名额分配方案有种 结论转化法 对于某些较复杂的 或较抽象的排列组合问题 可以利用转化思想 将其化归为简单的 具体的问题来求解 分析此题若直接去考虑的话 就会比较复杂 但如果我们将其转换为等价的其他问题 就会显得比较清楚 方法简单 结果容易理解 回目录 练习 1 将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级 每班至少分到一个名额 不同的分配方案共有 种 2 不定方程的正整数解共有 组 回目录 练习题 10个相同的球装5个盒中 每盒至少一有多少装法 2 x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 回目录 小结 把n个相同元素分成m份每份 至少1个元素 问有多少种不同分法的问题可以采用 隔板法 得出共有种 回目录 间接法解题 正难则反总体淘汰策略 例11 从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9这十个数字中取出三个数 使其和为不小于10的偶数 不同的取法有多少种 解 这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难 可用总体淘汰法 再淘汰和小于10的偶数共 符合条件的取法共有 9 有些排列组合问题 正面直接考虑比较复杂 而它的反面往往比较简捷 可以先求出它的反面 再从整体中淘汰 回目录 例 用0 1 2 3 4这五个数 组成没有重复数字的三位数 其中1不在个位的数共有 种 间接法 总体淘汰法 正难则反 对于含有否定词语的问题 还可以从总体中把不符合要求的减去 此时应注意既不能多减又不能少减 分析 五个数组成三位数的全排列有个 0排在首位的有个 1排在末尾的有 减掉这两种不合条件的排法数 再加回百位为0同时个位为1的排列数 为什么 故共有种 例我们班里有43位同学 从中任抽5人 正 副班长 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 解43人中任抽5人的方法有种 正副班长 团支部书记都不在内的抽法有种 所以正副班长 团支部书记至少有1人在内的抽法有种 结论去杂法 有些问题 正面直接考虑比较复杂 而它的反面往往比较简捷 可以先求出它的反面 再从整体中排除 分析此题若是直接去考虑的话 就要将问题分成好几种情况 这样解题的话 容易造成各种情况遗漏或者重复的情况 而如果从此问题相反的方面去考虑的话 不但容易理解 而且在计算中也是非常的简便 这样就可以简化计算过程 回目录 1 三个男生 四个女生排成一排 甲不在最左 乙不在最右 有几种不同方法 2 五人从左到右站成一排 其中甲不站排头 乙不站第二个位置 那么不同的站法有 A 120B 96C 78D 72 直接 练习3 回目录 3 用间接法解例1 6个同学和2个老师排成一排照相 2个老师站中间 学生甲不站排头 学生乙不站排尾 共有多少种不同的排法 回目录 我们班里有43位同学 从中任抽5人 正 副班长 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 练习题 回目录 平均分组问题除法策略 分书问题 平均分组问题除法策略 例12 6本不同的书平均分成3堆 每堆2本共有多少分法 解 分三步取书得种方法 但这里出现重复计数的现象 不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB 第二步取CD 第三步取EF该分法记为 AB CD EF 则中还有 AB EF CD CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共有种取法 而这些分法仅是 AB CD EF 一种分法 故共有种分法 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 n为均分的组数 避免重复计数 回目录 1将13个球队分成3组 一组5个队 其它两组4个队 有多少分法 2 10名学生分成3组 其中一组4人 另两组3人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方法 1540 3 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数为 回目录 分清排列 组合 等分的算法区别 例 1 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲一件 乙二件和丙三件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给三人 其中1人一件1人二件1人三件 有多少种分法 3 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 每份2件 有多少种分法 解 1 2 3 回目录 练习 1 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 二份各1件 另一份4件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲乙丙三人 每人二件有多少种分法 解 1 2 回目录 小结 排列与组合的区别在于元素是否有序 m等分的组合问题是非等分情况的 而元素相同时又要另行考虑 回目录 构造模型策略 例 马路上有编号为1 2 3 4 5 6 7 8 9的九只路灯 现要关掉其中的3盏 但不能关掉相邻的2盏或3盏 也不能关掉两端的2盏 求满足条件的关灯方法有多少种 解 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 如占位填空模型 排队模型 装盒模型等 可使问题直观解决 回目录 练习题 某排共有10个座位 若4人就坐 每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种 120 回目录 先选后排问题 八 排列组合混合问题先选后排策略 例 有5个不同的小球 装入4个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法 再把5个元素 包含一个复合元素 装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题 先选后排是最基本的指导思想 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 回目录 练习题 一个班有6名战士 其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务 每人完成一种任务 且正副班长有且只有1人参加 则不同的选法有 种 192 回目录 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检 每校分配1名医生和2名护士 不同的分配方法共有多少种 先选后排问题的处理方法 解法一 先组队后分校 先分堆后分配 回目录 解法二 依次确定到第一 第二 第三所学校去的医生和护士 回目录 为支援西部开发 有3名教师去银川市三所学校任教 每校分配1人 不同的分配方法共有 种 用数字作答 练习 改为4名教师 改为5名教师 回目录 有甲 乙 丙三项任务 甲需2人承担 乙 丙各需1人承担 从10人中选派4人承担这三项任务 不同的选法共有多少种 回目录 四名同学分配到三个办公室去搞卫生 每个办公室至少去一名学生 不同的分配方法有多少种 回目录 基础训练 回目录 练习某学习小组有5个男生3个女生 从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动 每项活动至少有1人参加 则有不同参赛方法 种 解 采用先组后排方法 回目录 小结 本题涉及一类重要问题 问题中既有元素的限制 又有排列的问题 一般是先元素 即组合 后排列 回目录 实验法 穷举法 枚举法 应用举例 实验法 穷举法 题中附加条件增多 直接解决困难时 用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法 例将数字1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格内 每个方格填1个 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 A 6B 9C 11D 23 分析 此题考查排列的定义 由于附加条件较多 解法较为困难 可用实验法逐步解决 第一方格内可填2或3或4 如填2 则第二方格中内可填1或3或4 若第二方格内填1 则第三方格只能填4 第四方格应填3 若第二方格内填3 则第三方格只能填4 第四方格应填1 同理 若第二方格内填4 则第三方格只能填1 第四方格应填3 因而 第一格填2有3种方法 不难得到 当第一格填3或4时也各有3种 所以共有9种 回目录 实际操作穷举策略 例 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 回目录 实际操作穷举策略 例 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 同理3号球装5号盒时 4 5号球有也只有1种装法 由分步计数原理有2种 回目录 练习 不对号入座问题 1 2004湖北 将标号为1 2 3 10的10个球放入标号为1 2 3 10的10个盒子中 每个盒内放一个球 恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有 种 2 编号为1 2 3 4 5的五个球放入编号为1 2 3 4 5的五个盒子里 至多有2个对号入座的情形有 种 109 直接法 间接法 回目录 注意区别 恰好 与 至少 从6双不同颜色的手套中任取4只 其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有 A 480种 B 240种 C 180种 D 120种 小结 恰好有一个 是 只有一个 的意思 至少有一个 则是 有一个或一个以上 可用分类讨论法求解 它也是 没有一个 的反面 故可用 排除法 解 回目录 练习从6双不同颜色的手套中任取4只 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 种 解 回目录 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用公式进行运算 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 练习题 同一寝室4人 每人写一张贺年卡集中起来 然后每人各拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 9 2 给图中区域涂色 要求相邻区域不同色 现有4种可选颜色 则不同的着色方法有 种 72 回目录 其它特殊方法 分解与合成策略 例 30030能被多少个不同的偶数整除 分析 先把30030分解成质因数的乘积形式30030 2 3 5 7 11 13依题意可知偶因数必先取2 再从其余5个因数中任取若干个组成乘积 所有的偶因数为 例17 正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 回目录 解 我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共 3 3 58 174 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 然后依据问题分解后的结构 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 从而得到问题的答案 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 回目录 化归策略 例 25人排成5 5方队 现从中选3人 要求3人不在同一行也不在同一列 不同的选法有多少种 解 将这个问题退化成9人排成3 3方队 现从中选3人 要求3人不在同一行也不在同一列 有多少选法 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后 把这人所在的行列都划掉 回目录 从5 5方队中选取3行3列有 选法所以从5 5方队选不在同一行也不在同一列的3人有 选法 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法 从而进下一步解决原来的问题 如此继续下去 从3 3方队中选3人的方法有 种 再从5 5方队选出3 3方队便可解决问题 回目录 对应法 例11 在100名选手之间进行单循