2010届高三数学模拟试卷.doc

2010届高三数学模拟试卷命题人：江苏省六合高级中学 刘明（江苏省特级教师、教授级中学高级教师）1计算 1+i2函数的最小正周期是 3命题；命题 是的 条件充分不必要4圆上一点到直线的距离的最大值为 45已知向量a，b的夹角为60o，|a|2，|b|1，且(kab)(2ab)，则实数k 6已知样本a，b，5，6，7的平均数是5，方差是2，则ab的值为 127若命题“xR，使x2(a1)x10”是假命题，则实数a的取值范围为 8一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是 9已知点A(4, 6)，点P是双曲线C：上的一个动点，点F是双曲线C的右焦点，则PAPF的最小值为 810设是正项数列，其前项和满足条件,则数列的通项公式= 11函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集为 开始n1，s1s30输出n结束ss2nnn1YN（第12题图）12执行如图所示的程序框图，则输出的n 5xyO1111第11题图13已知x，y满足约束条件目标函数z4x3y的最小值为 214给出以下四个命题：函数在R上是增函数的充分不必要条件是对R恒成立；等比数列； 把函数的图像向左平移1个单位，则得到的图象对应的函数解析式为；若数列an是等比数列，则a1a2a3a4，a5a6a7a8，a9a10a11a12也一定成等比数列。其中正确的是 15（本小题满分14分）设函数。（）求函数的最小正周期,并判断奇偶性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求sinA。解: （1） = 。 4分函数的最小正周期，函数为非奇非偶函数 。 6分 （2）, , C为锐角,， 9分又在ABC 中, cosB =, , 11分14分 16（本小题满分14分）如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1A1BC1后得到的几何体（1） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O平面A1BC1；（2） 求证：平面A1BC1平面BD1D（1）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形， 4分 则D1OO1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O平面BA1C1。 7分（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1， 则DD1A1C1， 9分 在正方形A1B1C1D1中，B1D1A1C1， 12分 又DD1B1D1= D1，A1C1平面BD1D，A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1平面BD1D 14分17（本题满分14分）已知点M在椭圆1(ab0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程17（1）解：由题意可知，点M的坐标为(c，c)， 2分 即，即，即，即，即，即e43e210，5分e，又e(0，1)，e。 7分（2）解：把xc代入椭圆方程1，得yM。因为ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r2M到y轴的距离dr，dc，即c，2 11分又因为a2b2c2所以a2b23代入得a22a30，a3，a1(舍去)b22a6所以所求的椭圆方程为114分18（本小题满分16分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. （1）问第几年开始获利？ （2）若干年后，有两种处理方案：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。问哪种方案更合算？解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。设纯收入与年数的关系为f(n)，则， 4分由f(n)0，得又nN*，n3，4，17。 6分答：从第3年开始获利。 7分（2）年平均收入为，当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年。 9分此时，总收益为127+26=110（万元）。 11分f(n)2(n10)2+102，当n10时，（万元）。 13分此时，总收益为102+8=110（万元）。 14分 由于这两种方案总收入都为110万元，而方案只需7年、而方案需要10年，故方案更合算。答：方案更加合算。 16分19.（本题16分）已知函数f(x)x3ax2bxa2，xR ，a，b为常数。（1）若函数f(x)在x1处有极值10，求实数a，b的值；（2）若函数f(x)是奇函数， 方程f(x)2在x2,4上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围； 不等式f(x)2b0对x1，4恒成立，求实数b的取值范围。（1）f(x)3x22axb，由f(x)在x1处有极值10，得f(1)0，f(1)10。 2分即32ab0，1aba210，解得a3，b3或a4，b11。 3分经检验，a3，b3不合题意，舍去。a4，b11。 4分（2）由于函数f(x)的定义域为R，由函数f(x)是奇函数，得f(0)0，a0。 5分由f(x)2，得f(x)20，令g(x)f(x)2x3bx2，则方程g(x)0在x2,4上恰有3个不相等的实数解。 g(x)3x2b， （）若b0，则g(x)0恒成立，且函数g(x)不为常函数，g(x)在区间2,4上为增函数，g(0)0，所以，g(x)0在区间2,4上有且只有一个实数解。不合题意，舍去。6分（）若b0，则函数g(x)在区间(，)上为增函数，在区间(，)上为减函数，在区间(，)上为增函数，由方程g(x)0在x2,4上恰有3个不相等的实数解，可得 9分解得 b 10分 由不等式f(x)2b0，得x3bx2b0，即(x2)bx3，（）若x20即x2时，bR； 11分 （）若x20即x时，b在区间上恒成立，令h(x)，则bh(x)max。h(x)，h(x)0在x上恒成立，所以h(x)在区间上是减函数，h(x)maxh(1)1，b1。 13分（）若x20即x时，b在区间上恒成立，则bh(x)min。由（）可知，函数所以h(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，h(x)minh(3)27，b27。 15分综上所述，b1，27。 16分20（本题16分） 已知数列中，(nN*)，bn3an。（1）试证数列是等比数列，并求数列bn的通项公式。（2）在数列bn中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由。（3）试证在数列bn中，一定存在满足条件1rs的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系。在数列bn中，是否存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由。 （1）证明: 由，得an12nan， , 数列是首项为,公比为的等比数列. 2分 , 即， 3分（2）解：假设在数列bn中，存在连续三项bk1，bk，bk1(kN*, k2)成等差数列，则bk1bk12bk，即，即4 4分若k为偶数，则0，440，所以，不存在偶数k，使得bk1，bk，bk1成等差数列。 5分若k为奇数，则k3，4，而44，所以，当且仅当k3时，bk1，bk，bk1成等差数列。综上所述，在数列bn中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列。 7分（3）证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1bs2 br，即32,即， （）若sr1，在式中，左端0，右端，要使式成立，当且仅当s为偶数时成立。又sr1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且sr1时，b1，br，bs成等差数列。9分（）若sr2时，在式中，左端，由（2）可知，r3，r14，16；右端0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“”），当sr2时，b1，br，bs不成等差数列。 综上所述，存在不小于4的正偶数s，且sr1，使得b1，br，bs成等差数列。 11分假设存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列。首先找到成等差数列的3项：由第（3）小题第问，可知，b1，b2n1，b2n(nN*，且n2)成等差数列，其公差db2nb2n1， 12分btb2nd33。 又bt=，33，即2t33。 14分t2n2n1，t2n1，式的左端2t338，而式的右端32，式不成立。综上所述，不存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列。 16分21、选做题：几何证明选讲如图，是的内接三角形，是的切线，交于于点，交于点，若，求线段CE的长。4w.w.w.k.s.5.u.c.o.mAPDEBCO解：PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，PA2PDPB，又，PA3， 3分又PEPA，PE3。 PA是圆O的切线，PAEABC60o，又PEPA，PAE是等边三角形，PE3。 7分DEPEPD2，BEBDDE6。由相交弦定理，得AECEBEDE，CE4。 10分矩阵变换 求圆C：在矩阵对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型解：设P(x,y)是圆C：上的任一点,P1是P(x,y) 在矩阵对应变换作用下新曲线上的对应点 ,则 ， 3分即 ，所以， 6分将代入，得 ， 8分 方程表示的曲线是焦点为(2,0) 长轴为8的椭圆 10分坐标系与参数方程已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角，设l与曲线 (为参数)交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积。解：由已知得直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数）。 3分曲线的普通方程为x2y24。 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得 t2(1)t20， t1t22， 8分点P到A，B两点的距离之积为2。 10分不等式选讲 求证：对于任意不小于3的自然数，证明 要证，只要证2n2n1(n3) 2分(1)n3时，238，2317，不等式2n2n1 成立 4分(2)假设nk(k3，且kN*)时，不等式成立，即2k2k1，则2k122k2(2k1)4k22(k1)2k2(k1)1，即2k12(k1)1 8分综合(1)、(2)可知，对于任意不小于3的自然数，恒成立 10分22（本题满分10分）在三棱柱中，底面，且，求二面角的余弦值解：建立如图直角坐标系，则 易知，平面的一个法向量 3分设平面的一个法向量为，由，得 7分， 8分所以二面角的余弦值是 10分23（本题满分10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制。若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先。（1）求甲获