初中数学九上课本变式题.doc

1 九年级上册九年级上册 课本亮题拾贝课本亮题拾贝 课本中的例 习题是经过编者反复琢磨 认真筛选后精心设置的 具有一定的探究性 在教学的过 程中要立足课本 充分发挥课本例 习题的教学功能 可以有效地避免题海战术 不但有利于巩固基础 知识 而且还能增强同学们的应变能力 发展创新思维 提高数学素养 21 1 二次根式 题目题目 计算 人教课本 P8 2 4 题 2 3 2 解解 原式 3 2 3 2 3 2 22 点评点评 大家知道 当 a 0 时 有意义 且 而当 a 0 时 也有意 2 aaa 22 a 义 此时 进一步的 则等于 a a 0 为了预防解题粗心出错 如 2 aa 通常是根据平方 或立方 的意义 先处理掉 好 符号 再按有关顺序 3 2 3 2 2 和规定运算 演变演变 变式 1 填空 1 2 答案 1 2 9 4 4 1 2 3 2 2 3 变式 2 当 x 时 式子在实数范围内有意义 答案 23 1 x3 2 变式 3 若是整数 求正整数 n 的值 至少写出 3 个 23 n 答案 n 1 2 9 17 等 变式 4 是否存在正整数 n 使得是有理数 若存在 求出一个 n 的值 若不 23 1 n 存在 请说明理由 解 假设存在正整数 n 使是有理数 则因为 3n 2 是正整数 所以 3n 2 应 23 1 n 该是一个完全平方数 假设 3n 2 等于 k k 3 k 是正整数 的平方 则 k 3p 或者 3p 1 或者 3p 2 也 就是说 k 除以 3 余 0 或者 1 或者 2 而 3p 2 除以 3 余 0 3p 1 2 9p2 6p 1 3p 2 2 9p2 12p 4 除以 3 都余 1 所以没有数的平方除以 3 余 2 表明 3n 2 不是完全平 方数 从而假设不成立 因此 不存在正整数 n 使是有理数 23 1 n 21 2 二次根式的乘除 题目题目 计算 人教课本 P15 6 4 题 65027 解解 原式 15 6 23 156253362533 22 另法另法 原式 15259 6 5027 点评点评 进行二次根式的乘除运算时 根据乘法 除法规定 a b 0 abba 2 a 0 b 0 可以从左往右正向使用 如另法 也可以从右往左逆向使用 b a b a 法一 往往可视其具体题目的数字特点和结构特征 灵活选用 一般情况是尽可能先把 根式化简 大数化小 遇到字母开平方时 必须注意字母的正 负性 或讨论 演变演变 变式 1 填空 1 50276 2 答案 1 2 65027 3 10 5 9 因为原式 2 3 5 32 253 23 所以设 2 a 3 b 则 5 a b 题目可演变成如下形式 变式 2 化简 abbaab 23 解 原式 b a b ab b2 baababb 若赋予 a 一些不同的值 相应的可得到 b 的值 则可得到一组二次根式的乘法除法试 题 变式 3 甲 乙两同学在化简 时 采用了不同的方法 xyxyx525 3 甲 因为 x y 是二次根式的被开方数 且在分母上 所以 x 0 y 0 于是令 x 1 y 1 代入可得 原式 55125 乙 原式 xyyxxyxx55 5 5 22 从而得出了不同的结果 请指出甲 乙同学的做法是否正确 说明理由 解 甲 乙两同学的做法都不正确 甲同学犯了以特殊代替一般的错误 虽然最终结果是 5 乙同学对题目形式上的意义理解错误 通常是一个整体 是被除式 xyy 5 正确解法是 原式 5 5 5 5 5 22 yxxyxxxyxyxx 21 3 二次根式的加减 题目题目 已知 求下列各式的值 13 x13 y 1 x2 2xy y2 2 x2 y2 人教课本 P21 6 题 解解 13 x13 y x y 2 xy 2 32 yx 于是 x2 2xy y2 x y 2 12 32 2 x2 y2 x y x y 34232 点评点评 本题属于 给值求值 类型 一般不宜直接代入算值 通常的思路是 先把已 知式和待求式进行适当的等价变形化简 充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系 然后 再看情况灵活地代入 往往能简捷而巧妙地求值 演变演变 变式 1 已知 求 1 2 的值 21 a21 b 22 22 2 ba baba a b b a 解 由已知可得 a b 2 ab 1 22 ba 1 原式 2 2 22 2 2 ba ba baba ba 3 2 原式 24 1 222 22 ab baba ab ba 变式 2 如果实数 a b 满足 a2 2ab b2 12 求的值 34 22 ba b ba 解 显然 b 0 于是由已知 得 3 34 12 2 2 22 22 ba ba baba ba ba baba 即 3baba ba 13 13 有 因此 32 13 13 13 13 13 2 b a 311 32 1 b a b ba 说明 上述解法 既抓住了已知式的特征 两个等式的左边有公因式 约后能降次 但要注意是否为 0 啰 又避免了解方程组的难点 本题还可以进一步求出 a b 的值 x 1 2 3 得 x2 2x 2 结合 x 0 两边除以 x 13 x 得 注意到 则 2 2 x x x y 2 2222 2 2 22 xx xxyxyx 4 2 2 2 x x 得 2 222 4 x xyx 变式 3 若实数 x 满足 试求 1 2 3 的2 2 x x 2 2 4 x x x x 2 2 2 4 x x 值 答案 1 8 2 3 32 142 22 2 降次 解一元二次方程 题目题目 无论 p 取何值时 方程 x 3 x 2 p2 0 总有两个不等的实数根吗 给出 答案并说明理由 人教课本 P4612 题 解解 原方程可化为 x2 5x 6 p2 0 方程根的判别式为 5 2 4 6 p2 1 4p2 对任何实数值 p 有 1 4p2 0 方程有两个实数根 x1 x2 且两个根不相等 2 415 2 p 2 415 2 p 另法另法 由 p2 x 3 x 2 x2 5x 6 4 1 2 5 2 5 6 2 5 5 2222 xxx 得 无论 p 取何值 因此 4 1 2 5 22 px 4 1 2 p 4 1 4 1 2 5 2 px 点评点评 解一元二次方程有配方法 公式法或因式分解法 一般来说 公式法对于解任 何一元二次方程都适用 是解一元二次方程的主要方法 但在具体解题时 应具体分析方程 的特点 选择适当的方法 1 要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时 常常只须考查方程根的判别 式 2 见到含字母系数的二次方程 在实数范围内 首先应有 0 若字母在二次项系 数中 则还应考虑其是否为 0 3 关于一元二次方程有实数根问题 一般有三种处理方式 何时选择那种方式要根 据具体题目的特点来确定 利用求根公式求出根来 利用根与系数的关系将这两个 4 根的和与积表达出来 x1 x2 x1x2 以便后继作整体代换 将根代入方程中进 a b 2 a c 行整体处理 演变演变 变式 1 分别对 p 赋值 0 2 等 可得如下确定的方程 2 3 解方程 1 x2 5x 6 0 2 x2 5x 1 0 3 4x2 20 x 21 0 变式 2 当 x 取什么范围内的值时 由方程 x 3 x 2 p2 0 确定的实数 p 存在 请说明理由 解 对任意实数 p 有 p2 0 所以只需 p2 x 3 x 2 0 利用同号相乘得正 的原理 得 x 应满足 或 解得 x 3 或 x 2 02 03 x x 02 03 x x 表明 当 x 取 x 2 或 x 3 范围内的实数时 由方程 x 3 x 2 p2 0 确定的实 数 p 存在 变式 3 指出方程 x 3 x 2 p2 0 的实数根所在的范围 解 方程有两个不相等的实数根 x1 x2 2 41 2 1 2 5 p 2 41 2 1 2 5 p 且对任意实数 p 有 1 4p2 1 有 x1 x2 3 2 1 2 5 2 2 1 2 5 即方程的实数根所在的范围是 x 2 或 x 3 变式 4 试求 y x 3 x 2 的最小值 解 由 y x 3 x 2 x2 5x 6 4 1 2 5 2 5 6 2 5 5 2222 xxx 得 y 的最小值为 当时取得 4 1 2 5 x 22 3 实际问题与一元二次方程 题目题目 如图 要设计一幅宽 20 cm 长 30 cm 的图案 其中 有两横两竖的彩条 横 竖彩条的宽度比为 3 2 如果要使彩条 所占面积是图案面积的四分之一 应如何设计彩条的宽度 精确 到 0 1 cm 人教课本 P5310 题 分析分析 结合图形 阅读理解题意 数形结合 矩形图案中 长 30 cm 宽 20 cm 现 设计了横 竖彩条各 2 条 且其宽度比为 3 2 于是设横彩条宽为 3x cm 则竖彩条的宽就 为 2x cm 其长与矩形图案的长宽相关 等量关系式为 使彩条所占面积是图案面积的四分 之一 解解 根据题意 设横向彩条的宽为 3x 则竖向彩条的宽为 2x 于是 建立方程 得 2030 4 1 23422023302 xxxx 化简 得 12x2 130 x 75 0 解得 611 0 12 133565 x 因此横向彩条宽 1 8 cm 竖向彩条宽 1 2 cm 另法另法 如图 建立方程 得 2030 4 1 620 4630 xxx 法三法三 如图 建立方程 得 2030 4 3 620 430 xx 2x 2x 3x 3x 30 20 5 点评点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为 1 设 即设好未知数 直接设未知数 间接设未知数 不要漏写单位 2 列 根据题意 列出含有未知数的等式 注意等号两边量的单位必须一致 3 解 解所列方程 4 验 一是检验是否为方程的解 二是检验是否为应用题的解 5 答 即答题 怎么问就怎么答 注意不要漏写单位 演变演变 变式 1 矩形图案的长 宽不变 但设计的两横两竖彩条的宽度相同 如果彩条的面 积是图案面积的四分之一 求彩条的宽 答案 2 19525 变式 2 矩形图案的长 宽不变 现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩 形 其面积是整个矩形面积的四分之三 上下边等宽 左右等宽 应如何设计四周的宽度 解 因为矩形图案的长 宽比为 30 20 3 2 所以中央矩形的长 宽之比也应为 3 2 设其长为 3x 则宽为 2x 所以 得 从而上 下边宽为2030 4 3 32 xx35 x 左 右宽为 32 5105 0 220 xx 2 32 15 5 0 330 x 变式 3 如图 一边长为 30 cm 宽 20 cm 的长方形铁皮 四角各截去一个大小相同的 正方形 将四边折起 可以做成一个无盖长方体容器 求所得容器的容积 V 关于截去的小正 方形的边长 x 的函数关系式 并指出 x 的取值范围 解 根据题意可得 V 关于 x 的函数关系式为 V 30 2x 20 2x x 即 V 4x3 100 x2 600 x x 的取值范围是 0 x 10 变式 4 在一块长 30 m 宽 20 m 的矩形荒地上 要建造一个花园 并使花园所占的面 积为荒地面积的一半 小明的设计方案如图甲所示 其中花园四周小路的宽度都相等 小明通过列方程 并解 方程 得到小路的宽为 2 5 m 或 22 5 m 小亮的设计方案如图乙所示 其中花园每个角上的扇形 四分之一圆弧 都相同 解答下列问题 1 小明的结果对吗 为什么 2 请你帮小亮求出图乙中的 x 3 你还有其他设计方案吗 甲 乙 解 1 小明的设计方案 由于花园四周小路的宽度相等 设其宽为 x 米 则根据题意 列出方程 得 即 x2 25x 75 0 解得2030 2 1 220 230 xx x 或 x 由于矩形荒地的宽是 20 m 故舍去 x 得花园四 2 13525 2 13525 2 13525 周小路宽为m 所以小明的结果不 2 13525 对 x x x 20 m 30 m x 20 m 30 m 20 m 30 m 6 2 小亮的设计方案 由于其中花园的四个角上均为相同的扇形 所以设扇形的半径 为 x 米 列方程得 所以m 3 略 2030 2 1 2 x 3103 10 x 23 1 图形的旋转 题目题目 如图 ABD AEC 都是等边三角形 BE 与 DC 有什么关系 你能用旋转 的性质说明上述关系成立的理由吗 人教课本 P679 题 解解 ABD 是等边三角形 AB AD BAD 60 同理 AE AC EAC 60 以点 A 为旋转中心将 ABE 顺时针旋转 60 就得到 CAD ABE ADC 从而 BE DC 另法另法 ABD AEC 都是等边三角形 AB AD AE AC BAD EAC 60 于是 CAD CAB BAD CAB EAC EAB 从而有 CAD EAB DC BE 点评点评 由于旋转是刚体运动 旋转前 后的图形全等 所以藉此可以在较复杂的图形 中发现等量 或全等 关系 或通过旋转 割补 图形 把分散的已知量聚合起来 便于打 通解题思路 疏通解题突破口 演变演变 变式 1 如图 ABC 和 ECD 都是等边三角形 EBC 可以看作是 DAC 经过什么图形变换得到的 说明理由 人教课本 P805 题 说明 如上题图 去掉 BC 把 D A E 放在一直线上即得 本题经过下列各种演变 原来的结论仍保持不变 1 ABC 与 CDE 在 BC 的异侧 2 点 C 在 BD 的延长线上 3 C 点在 BD 外 4 ACD 与 BDE 在 BD 的异侧 且 D 点在 BC 的延长线上 5 ABC 与 CDE 都改为顶角相等的等腰三角形 即 AB AC CE DE BAC CED 变式 2 如图 四边形 ABCD ACFG 都是正方形 则 BG 与 CE 有什么关系 说明理由 变式 3 如图 ABD AEC 都是等腰直角三角形 则 BE 与 DC 有什么关系 24 1 圆 题目题目 如图 O 的直径 AB 为 10 cm 弦 AC 为 6 cm BC D A E D E B C A O C B A E D A C B E D C A B E D CB A E D A C B E D C B A E D BC D A F E G BC A E D 7 ACB 的平分线交 O 于 D 求 BC AD BD 的长 人教课本 P93例 2 解解 AB 是直径 ACB ADB 90 在 Rt ABC 中 BC2 AB2 AC2 102 62 82 即 BC 8 CD 平分 ACB 于是 AD BD AD BD 又在 Rt ABD 中 AD2 BD2 AB2 2510 2 2 2 2 ABBDAD 点评点评 在涉及圆中的有关弧 弦 直径 角 圆心角 圆周角 等问题中 垂径定理 同圆中的关系 在同圆或等圆中 圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 圆周角相等 是转化已知 沟通结论的纽带 其中半圆 或直径 所对的圆周角是直角还联结了勾股定理 将出现代数等式 演变演变 变式 1 在现有已知条件下 可进一步的 求四边形 ACBD 的面积等于多少 解 由例题及解答可知 ACB ADB 都是直角三角形 于是四边形 ACBD 的面积 等于cm2 492525 2 1 86 2 1 2 1 2 1 BDADBCACSS ADBACB 变式 2 求内角平分线 CE 的长 抽取出图形中的基本图 Rt ABC 因为 AC BC AB 3 4 5 于是 斜边上的高 外接圆半径 R 5 也即斜边上的中线 5 24 AB BCAC CD 设 ACB 的平分线为 CE 过 E 向两直角边作垂线 则其长相等 设为 x 于是 由 得xCE2 BCACBCxACx 2 1 2 1 2 1 7 24 86 86 BCAC BCAC x 7 224 CE 变式 3 如图 AD 是 ABC 外角 EAC 的平分线 AD 与 三角形的外接圆交于点 D 求证 BD CD 解 因为圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外角 都等于它的内对角 所以有 DAE DCB 而 DAC DBC 同所对的圆周角相等 结合题设 AD 是 EAC 的平分线 CD 则有 DCB DBC 所以 BD CD 变式 4 如图 点 A B C D 在同一个圆上 四边形 ABCD 的对角线把 4 个内角分 成 8 个角 这些角中哪些是相等的角 课本 P93练习第 1 题 解 1 4 2 7 3 6 5 8 变式 5 如图 A P B C 是 O 上的四点 APC CPB 60 判断 ABC 的 形状并证明你的结论 课本 P95第 11 题 D E B C A A C D B E 54 3 2 1 7 8 A C D B 6 O P C A B O D B C A E 8 解 BAC BPC 60 ABC APC 60 因而 ABC 是等边三角形 变式 6 托勒密定理 AC BD AB CD AD BC 见上图 24 2 与圆有关的位置关系 题目题目 如图 ABC 中 ABC 50 ACB 75 点 O 是内心 求 BOC 的度 数 人教课本 P1061 题 解解 O 是 ABC 内切圆的圆心 内心 OB OC 分别是 ABC 和 ACB 的平分线 ABC 50 ACB 75 OBC 25 OCB 37 5 因此 BOC 180 25 37 5 117 5 点评点评 抓住 内心与各顶点连线平分每一个内角 且到三条边的距离相等 这些事实 很容易促进角或线段的转化 突破关键 解决问题 演变演变 变式 1 已知周长为 l 的 ABC 的内切圆半径等于 r 求 ABC 的面积 解 设内心为 O 连接 OA OB OC 则 OA OB OC 把 ABC 分割成三个易求的小 三角形 其面积的和为 rCArBCrABSSSS ACOBCOABOABC 2 1 2 1 2 1 lrCABCAB 2 1 2 1 变式 2 如图 点 O 是 ABC 的内心 则 ABOC 2 1 90 解 CBBOC 2 1 2 1 180 180 2 1 180 2 1 180ACB ABOC 2 1 90 说明 变式 2 有多种不同的解法 如连结 AO 并延长 或延长 BO 交 AC 于 D 等等 请读者探究 收获定当不少 变式 3 如图 ABC 中 B C O 在 A 的平分线上 求证 AB OC AC OB 证明 B C AB AC 于是在 AB 上取点 D 使 AD AC 连结 OD 则由已知和作图 可得 AOC AOD 进而 OC OD 在 OBD 中 有 BD OD OB AB OC AC OB AB AD OD OB BD OD OB 0 故 AB OC AC OB 变式 4 如图 ABC 中 B C 的平分线相交于点 O 过 O 的直线 DE BC DE 分别交 AB AC 于 D E 求证 DE BD CE 解 由已知 DE BC BD CO 分别平分 B C 可以发 现 BDO 和 CEO 是等腰三角形 于是有 BD DO CE OE 因此 BD CE DO OE DE 变式 5 如图 B C 在射线 AD AE 上 BO CO 分别是 DBC 和 ECB 的角平分 线 1 若 A 60 则 O 为多少度 BC O A BC O A D BC O A D BC O A E A B D OE C 4 3 2 1 9 2 若 A 90 120 时 O 分别是多少度 3 求 A 与 O 的关系式 解 BO CO 是 DBC 和 ECB 的平分线 DBC 2 2 ECB 2 3 ABC 180 2 2 ACB 180 2 3 在 ABC 中 A ABC ACB 180 A 180 2 2 180 2 3 180 即 2 3 90 A 1 2 在 BOC 中 2 3 O 180 O 90 A 1 2 1 当 A 60 时 O 90 60 60 1 2 2 当 A 90 时 O 90 90 45 当 A 120 时 O 90 1 2 1 2 120 30 3 A 与 O 的关系式为 O A 90 1 2 24 3 正多边形与圆 题目题目 画一个正五边形 再作出它的对角线 得到如图所示的五角星 人教课本 P1172 题 解解 先画一个圆 将圆五等分 分点依次为 A B C D E 顺次连结这些点 得正五边形 ABCDE 再作 出正五边形的对角线 AC AD BD BE CE 即得如图所示的五角星 点评点评 正多边形与圆的关系非常密切 只要把一个圆分成相等的一些弧 或把圆心角 分成一些相等的角 就可以作出这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正多边形的外接 圆 如上所示作出的是一个正五角星 演变演变 变式 1 求五角星中五个角的和 解 AMN B D ANM C E A B C D E A AMN ANM 180 表明正五角星中五个角的和为 180 另法 连结 CD 则在 AEF 和 CDF 中 有 B E 180 BFE 180 CFD CDF DCF 在 ACD 中 A ACD ADC 180 即 A ACE DCF ADB CDF 180 A B C D E 180 说明 正五角星中每个角都是 36 变式 2 如变式 1 的图 在正五角星中存在黄金分割数 可以证明 参见人教版课本 46 页 阅读与思考 黄金分割数 2 15 BE BM BM BN NB MN 此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明 变式 3 如图 是将不规则的五角星改为退化的五角星 则其五个角的和等于多少 解 如图 将其转化为不规则的五角星 问题立即获解 五个角的和等于 180 或连结两个顶点后利用三角形内角和 C B A D E F C B A D E C B A D E MN C B A D E 10 定理即可解决 变式 4 六角星 七角星 甚至 n 角星的各个顶角之和等于多少 解 都等于 180 说明 解答星型 n 边形顶角和的问题关键是根据 三角形的内角和为 180 及其推论 设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中 这是解答此类题目的金钥匙 24 4 弧长和扇形面积 题目题目 如图 从一个直径是 1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 90 的扇形 求被剪 掉的部分的面积 如果将剪下来的扇形围成一个圆锥 圆锥的底面圆的半径是多少 人教 课本 P1259 题 解解 连结 BC 因为扇形的圆心角为 90 所以 BC 过圆心 O 即 BC 是直径 于是在等腰直角三角形 ABC 中 扇形的面积为 2 2 2 2 BCAB 84 1 2 AB 扇形的弧长为 因此被剪掉的部分的面积为 4 2 2 4 1 AB m2 88 2 1 2 BC 将剪下来的扇形围成一个圆锥 圆锥的底面圆的半径 r 满足 得 4 2 2 r m 8 2 r 点评点评 求解图形 阴影部分 的面积时 通常是利用等积变换 分割 重叠等 把求 图形 阴影部分 的面积转化为求圆 扇形 弓形 三角形或多边形等基本图形的面积 演变演变 变式 1 求所围成的圆锥的高 h 和体积 V 解 8 30 8 2 2 2 2222 rABh 768 30 8 30 8 2 3 1 3 1 22 hrV 变式 2 如图 AC BD 是 O 中两条互相垂直的直径 以 A 为圆心 AB 为半径画弧 BD 求证 月牙形阴影部分的面积等于 ABD 的面积 解 设圆的半径为 R 则 2 2 2 1 RRRS ABD 以 A 为圆心 AD 为半径画出的扇形 ABED 的面积 弓形 2 2 2 1 360 290 R R S 扇形 BED 的面积为 所以月牙形阴影部分的面积等于 即与 22 2 1 RR 2222 2 1 2 1 RRRR ABD 的面积相等 变式 3 如图 从一个半径是 r 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 的扇形 求扇形的 面积 如果将剪下来的扇形围成一个圆锥 求圆锥底面圆的半径 解 连结 OA OB OC 则 OA OB OC r BOC 2 BAC OA 平分 BAC 即 BOC 2 过 O 作 OD AB 于 D 则 OD 平分 AB 于是 AB 2AD 2 OAB l r h C A B O C D A B O E 11 在 Rt ADO 中 2 coscos rOABOAAD 2 cos2 rAB 因此 扇形 ABC 的面积为 2 cos 90360 222 rABS 扇形 BC 弧长为 90 2 360 2r r 所对的圆心角为 2 BC 将扇形围成圆锥 则圆锥底面圆的半径 r1 满足 2 r1 得 BC 90 r 180 1 r r 25 1 概率 题目题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3 7 如果宇宙中飞来一块陨石落 在地球上 落在海洋里 与 落在陆地上 哪个可能性更大 人教课本 P1391 题 解解 落在海洋里的可能性更大 点评点评 可能性是指能成为事实的属性 然而世界上有很多事情具有偶然性 人们不能 事先判断这些事情是否会发生 概率就是从数量上用来描述 刻画 随机事件发生的可能性 的大小 对这一问题 需要充分把陨石抽象成随机地散落 地球也是必须抽象成平辅的面 与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上 不可能弯曲行进而落在背面上 我们生 活的地球 脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面 而是大致接近于球面 演变演变 变式 1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3 7 如果宇宙中飞来一块陨石落 在地球上 则 落在海洋里 与 落在陆地上 的概率各是多大 解 落在海洋里的概率为 落在陆地上的概率为 10 7 73 7 10 3 73 3 变式 2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针 则针 扎到正三角形的内切圆 即阴影部分 区域的概率为 A B C D 2 1 6 3 9 3 33 解 设正三角形的边长为单位 1 则正三角形的面积为 正三角形的内切圆半径 4 3 内切圆的面积为 针扎到正三角形的内切圆 即阴影 6 3 30tan 2 1 r 12 6 3 2 部分 区域的概率为 选 C 9 3 4 3 12 变式 3 甲 乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个 人一刻钟 过时即可离去 求两人能会面的概率 解 以 x 和 y 分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人 能够会面的条件是 x y 15 在平面直角坐标系中 点 x y 的所有可能结果是边长为 60 的正方形 而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示 所以两人能会面的概率为 16 7 60 4560 2 22 P 说明 把上述问题抽象成如下模型是 设在面积为 S 的区域中有任意一个小区域 A 小区域的面积为 SA 则任意投点 点落入 A 中的可能性大小与 SA成正比 而与 A 的位置及 O C A B D 60 x y O 60 15 15 12 形状无关 为 S S P A 注意 如果是在一个线段上投点 那么面积则改为长度 如果是一个立方体内投点 则 面积就改为体积 25 2 用列举法求概率 题目题目 在 6 张卡片上分别写有 1 6 的整数 随机地抽取一张放回 再随机地抽取一张 那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少 P154练习第 1 题 解解 设第一次随机地取出的数字为 a 第二次随机地取出的数字为 b 则 b a 共有 36 种情况 a b 123456 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 从上表可知 b 能够整除 a 的情况有 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2 2 4 2 6 2 3 3 6 3 4 4 5 5 6 6 共 14 种 因此 所求的概率为 18 7 36 14 点评点评 用列表或画树状图的方法 可以不重不漏的列举事件发生的所有结果 我们把 这两种方法统称为列举法 列举法只适用于等可能事件 等可能事件的特点是 出现的结果 是有限多个 各结果发生的可能性相等 用列举法求概率的一般步骤是 1 用列表或画树状图的方法 列举出事件所有可能 出现的结果 并判断每个结果发生的可能性是否相等 2 如果都相等 再确定所有可能 出现的结果个数 n 及所求事件出现的结果个数 m 3 利用公式计算所求事件 A 的概率