【文档】《实际问题与二次函数》备课素材 3（数学人教九上）.doc

第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时 建立适当的坐标系解决实际问题情景导入（1）欣赏一组石拱桥的图片（如图22326），观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？图22326（2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉（如图22327），喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？图22327说明与建议 说明：从学生生活中熟知的拱桥和喷泉引入新课，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题.从问题中你知道该抛物线的顶点是什么吗 ？与y轴的交点是什么？你能求出函数解析式吗？图22328悬念激趣如图22328，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面 米，与篮筐中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米.设篮球运动的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米.问此球能否投中？说明与建议 说明：从学生熟知的体育活动入手，以如何才能投中为目标激起学生的学习欲望.建议：（1）先复习二次函数解析式的形式；（2）观察图象，从这些数据中你能得出点的坐标、顶点坐标、与y轴的交点坐标吗？根据这些条件如何设二次函数的解析式？判断球能否投中转化为点的坐标是什么意思？教材母题第51页探究3图22329中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面下降1 m，水面宽度增加多少？【模型建立】通过将实际问题转化为数学问题，让学生体会数学建模思想，根据题意找出点的坐标，求出抛物线的解析式.分析图象（并注意变量的取值范围），解决实际问题，返回实际背景检验.【变式变形】1.如图22330是一个抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.若货船在水面上的部分的横截面是矩形，已知货船的宽为2.9 m，且船高出水面1 m，问货船能否顺利通过这座桥？答案：不能图22330图223312.某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，如图22331所示，大门地面宽AB4 m，顶部C离地面的高度为4.4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.答案：能图223323.如图22332，有一抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是4 米，水位上升4米就达到警戒线CD，这时水面宽是4 米.若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处.答案：8小时命题角度1 利用二次函数的性质解决抛物线形问题此类问题常见题型是利用二次函数性质求抛物线形桥拱问题，这类问题的重点是建立合适的平面直角坐标系，并且把相关数据转化到图形坐标中，然后利用二次函数知识解决问题.例如本课素材二教材母题挖掘.命题角度2 利用二次函数的性质解决其他实际问题二次函数还可以解决诸如刹车距离与时间问题、投篮等体育运动问题等，这类问题一般难度不大.例如本课素材一新课导入设计中的悬念激趣.命题角度3 二次函数压轴题1.图形运动问题：要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形（特殊点，特殊值，特殊位置，特殊图形等）逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决.当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.2.存在性问题：二次函数与三角形、四边形和圆常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透.存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题.解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设. P51习题22.3复习巩固1下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标：(1)y4x23x；(2)y3x2x6.解： (1)有最高点，最高点坐标为.(2)有最低点，最低点坐标为.2某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100x)件，应如何定价才能使利润最大？解： 设利润为y元则y(100x)(x30)x2130x3000，其中30x100.当x65时，y有最大值即每件定价65元才能获得最大利润3飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s60t1.5t2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？解： s60t1.5t21.5(t240t400)6001.5(t20)2600.当t20时，s有最大值600.即飞机着陆后滑行600 m才能停下来4已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解： 设直角三角形的一条直角边长为x，另一条直角边长为(8x)，则Sx(8x)x24x，当x4时，函数有最大值8.5如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，ACBD10.当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解： 设ACx，则BD10x，Sx(10x)x25x.0，当x5时，函数S有最大值所以当ACBD5时，四边形ABCD的面积最大综合运用6一块三角形材料如图所示，A30，C90，AB12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？解： A30，C90，AB12，BC6，AC6.设FEx，AFx，FC6x，矩形CDEF的面积Sxx26x.0，当x3时S有最大值，即FE3，AE6时，矩形CDEF的面积最大E点应选在AB的中点处，才能使剪出的长方形CDEF的面积最大7如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上四边形EFGH也是正方形当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？解： 设正方形ABCD的边长为a，AEx，则EBax.SAEHx(ax)，而AEHDHGCGFBFE，S正方形EFGHa24x(ax)2x22axa22，当x时，正方形EFGH的面积最小，即S正方形EFGH.所以当E点位于AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小8某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润最大？解： 设每个房间定价为x元，每天的利润为y元，根据题意，得y(x20)(50)x270x1360，当x350时，函数有最大值，即宾馆的利润最大所以，房间定价为每天350元时，宾馆利润最大拓广探索9分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？解： 设围成的矩形的长为x，则矩形的面积Sxx2x，当x时，矩形的最大面积是.围成的圆的面积是，即.因为，所以圆的面积大当堂检测1. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=x2+4x+2(单位：米)，则水柱的最大高度是（ ）A2米B4米C6米D 米2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx24x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A4米B3米 C2米D1米3. 廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数关系式为y=x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米（精确到0.1米）4. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？参考答案1C2A317.94解：（1）设所求抛物线的解析式为yax2(a0)，由CD10 m，可设D(5，b)，由AB20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，则B（10，b3），把D、B的坐标分别代入yax2，得解得，b1；（2）b1，拱桥顶O到CD的距离为1 m，10.25(小时)故再持续5小时到达拱桥顶能力培优专题一 阅读理解型问题1如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）求ABD的面积；（3）将三角形AOC绕点C逆时针旋转90，点对应点为点，问点是否在该抛物线上？请说明理由专题二 操作型问题2如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？ 专题三 图表信息型题3张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）（1）求y与x之间的函数解析式；（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？4利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【知识要点】1利润最大问题.2几何图形中的最值问题.3抛物线型问题.【温馨提示】1实际问题中自变量的取值范围要看清，不要认为自变量取全体实数.2由几何图形中的线段长度转化为坐标系中点的坐标时，不要忽视点所在的象限.【方法技巧】1最大利润问题一般先运用“总利润=总售价总成本”或“总利润=单件商品利润销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用配方法或公式法求出最值.2几何图形问题常见的有面积的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值等.解题时一般结合面积公式等知识，把要讨论的量表示成另一个量的二次函数的形式，结合二次函数的性质进行分析.3抛物线型问题解决的关键是进行二次函数建模，依据题意有效的将线段的长度转换为点的坐标.将实际问题中的线段长度转化为两点之间的距离.参考答案1 解：依题意，C点坐标为(0,3),E点坐标为（2，3），代入y=x2+bx+c中，得解得故抛物线所对应的函数解析式为y=x2+2x+3由y=x2+2x+3=(x1)2+4,抛物线的顶点坐标为 (1,4),又y=0时，x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,AB=3(1)=4,ABD的面积为44=8不在，理由：当AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，又OA=1,则点A的对应点G的坐标为（3，2）,又x=3时，y=32+23+3=02,G点不在该抛物线上2解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），则有M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为y=ax2+k，抛物线过点M和点B，则k=5，a=抛物线解析式为 当x=1时，；当时，P（1，），Q（，）在抛物线上当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高=5=，且，网球不能落入桶内（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得m，解得m m为整数，m的值为8，9，10，11，12当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内3解：（1）根据图象可知当x20时，y=8000（0x20）；当20x40时，将B（20，8000），C（40，4000），代入y=kx+b，得：解得y=200x+12000（20x40）（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2800元/吨，根据题意得：当x20时，W=（80002800）x=5200x，y随x的增大而增大，当x=20时，W最大=520020=104000（元），当20x40时，W=（200x+120002800）x=200x2+9200x，当x=23时，W最大=105800元故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元4解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，根据题意，得解得答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元（2）商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，甲、乙每天分别卖500+件，300+件销售甲、乙两种商品获取的利润：甲、乙每件的利润分别为：21=1（元），53=2（元），降价后每件利润分别为（1m），（2m）所获利润=（1m）500+（2m）300+=2000m2+2200m+1100，当m=（元）时，w最大，最大值为元当m定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元中国古代科学史上的坐标沈括在古代西方人还不知道石油是什么东西时，中国老百姓已经用这种黑色液体烧饭点灯了。这要归功于我国古代的一位读书人，是他经过反复研究，弄清了这种东西的性质和用途，动员老百姓推