风力机空气动力学.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除风力机气动力学1 总论风力机功率的产生依赖于转子和风的相互作用。风由平均风和附加于上的强烈的湍流脉动合成。风力机的平均功率输出和平均载荷等主要性能由平均气流的气动力决定。周期性的气动力是疲劳载荷源和风力机峰值载荷的一个因素。周期性的气动力可以由切变风、偏轴风（off-axis winds）、转子旋转、由空气紊流和动力学影响诱发的随机脉动力引起。本章首先关注的是稳态运行的空气动力学现象，关于非稳态空气动力学的复杂现象将在本章结尾简要介绍。本章为读者提供理解翼型产生功率的背景，以计算一个优化的叶片形状作为设计叶片的起点，对已知翼型特性线和叶型的转子分析其气动性能。本章的大部分内容详细说明了采用古典分析方法分析水平轴风力机。动量理论和基元叶片理论（blade element theory）构成了片条理论（strip theory）或基元叶片动量理论（BEM）。以此计算转子环形截面的特性，然后通过积分就可以获得整个转子的特性。内容分为：1、理想风力机的分析（Betz极限） 2、翼型的运行和一般气动力概念 3、重点放在水平轴风力机的经典分析方法和一些应用和例子2 一维动量理论和贝兹极限控制体积和理想透平如图，气流通过透平只产生压力不连续，并假设l 气流均匀，不可压缩，定常流动l 气流无磨擦阻力l 透平具有无限多叶片l 推力均匀作用在转子叶轮旋转面上l 尾流无旋转l 转子远上游和远下游静压等于无干扰时环境的静压设T为风作用于风力机上的力，由动量定理可知，透平对风的作用力为： (2.2)对于稳态流动，是质量流量，这里是空气密度，是横截面，是空气速度。此外，还由理想流体伯努利方程可知： (2.3) (2.4)因为，且通过透平的前后速度一样（）。由实际作用力 (2.5)利用2.3式和2.4式求得，将其带入2.5式，得到： (2.6)从式2.2和式2.6得到推力值，设质量流量是，得到： (2.7)定义诱导速度（induction factor）a为： (2.8) (2.9)且 所以气流到转子前，速度减小了 ，称为诱导速度；到转子远后方速度减少了输出功率等于作用在转子上的推力和速度的乘积： (2.12)：桨叶扫过的面积；：紊流速度风力机叶轮的运行性能用它的功率系数来表示： (2.13)对该理想风机，功率系数为：其极值当时，有 又因为作用在叶轮上的轴向推力： (2.16)所以推力系数当a=1/3时，推力系数等于8/9当a=0.5时，推力系数等于1（最大），进一步增加时推力系数开始减小；但实际情况时，a=0.5或以上时，推力系数可以增大至2.0，此时上述假设已不成立。Betz极限，是最大的理论上可能的功率系数。在现实中有三个因素可以导致最高可实现功率系数减小：l 叶轮后面的尾流旋转l 叶片数目有限和相关的末端损失l 气动阻力不为0注意到风力机的整体效率是叶轮功率系数和风力机机械（包括电器的）效率的函数： (2.18)因此： (2.19)3 具有尾流旋转的理想水平轴流风力机补充：风的功率： 风力机获得的功率： P 风流过风力机后的功率： 根据能量守恒： 所以由于的存在，使得P的最大值一定减小。具体为：如图3的环面的流管所示，4的气体旋流所示图 3 风力机旋转叶片后面气流的流管模型 图4 叶轮几何分析根据叶片前后的气流速度三角形，则有： (1)所以在此r+dr的环形基元上的轴向推力为： (2)角速度干扰系数定义为： (3)所以 (4)而由前节的轴向推力可得： (5)上面的两种表达式相等： (6)在此是局部速比，这一个结果将在后面的分析中用到。叶顶速比定义为是叶顶速度和自由流速度的比值： (7)叶顶速比常常出现在叶轮的空气动力学方程中。局部速比是某半径处叶轮速度与风速的比值： (8)又根据动量矩定理，对该环形微元可得叶片的力矩为： (10)所以由该环形微元产生的功率为： (12)所以功率系数 (14)解方程6得到用表示的的表达式： (15)（符号去掉是因为0）得到最大理论功率的空气动力学条件是式14中的取得最大值。将式15中的代入，并求导使其导数值等于0，得到： (16)将(16)代入(15)得： (17)将(16)对a求导得： (18)(16)到(18)代入 (14)得： (19)对应于，对应于。同时，从式16的： (20)从式16得出，时的值是0。是轴向干扰系数的上限，产生无穷大叶顶速比令x=1-3a，则可得：(21) 给定一个，由(20)就可以得到一个，由(21)就可计算出。可得表1，和图5图6是如何得出的呢？假定=7.5，则=0.3329，由(17)就可得，再由得：a=0.3，与图6基本一致。4 翼型和空气动力学基本概念4.1 翼型术语如图 中线 mean camber 前缘点，后缘点 leading and trailing edges 弦线 chord line 弦长 chord 质心 center of mass 气动中心 aerodynamics center 弹性轴 elastic axis4.2 升力、阻力和无量纲参数l 升力定义为垂直于气流来流方向的力。升力是由翼型上下表面压力不同产生的。l 阻力定义为平行于气流来流方向的力。产生阻力的原因有两个:翼型表面的粘性摩擦力和翼型前后沿气流方向的压力差。l 节距力矩定义为垂直于翼型横截面的一个转轴的力矩。关键参数： (4.1)升力系数定义为： (4.2)阻力系数定义为： (4.3)节距力矩系数为： (4.4)这里是空气密度，是无干扰气流速度，是设计翼型面积（弦长 跨距），是翼型弦长，是翼型跨距。压力系数： (4.5)翼型表面粗糙度比： (4.6)4.3 翼型行为平板的理论升力系数为： (4.7)而且,在类似的理想情况下有限厚度的对称翼型有类似的理论升力系数。图10 NACA 0012对称翼型的升力系数和阻力系数（Miley, 1982）；，雷诺数有拱度的翼型在小攻角情况下，升力系数较高，阻力下降，如图11图11 DU-93-W-210翼型形状翼型性能可以分为三种流动区：附着流动区（the attached flow regime），大升力/气流脱离发展区（the high lift/stall development regime）和平板/完全失速区（the flat plate/fully stalled regime）图12 DU-93-W-210翼型的升力系数4.1附着流动区(attached flow regime)在小攻角时（对于DU-93-W-210翼型大约7度），气流附着在翼型的上表面。在附着流动区中，升力随攻角的增大而增大，阻力相应的减小。4.2大升力/气流脱离发展区(high lift/stall development regime)大升力/气流脱离发展区（对于DU-93-W-210翼型大约从7到11度），升力系数逐渐增大达到最大值。当攻角超过某一临界值（10到16度之间，仰赖于雷诺数）时发生失速，上表面边界层发生分离.这导致尾流从翼型上面出现，从而使升力减小，阻力增加。这种情况可能在风力机运行时特定的叶片位置或工况下发生。这限制了风力机在强风中的功率。4.3平板/完全失速区(flat plate/fully stalled regime)在平板/完全失速区，攻角达到90度，翼型性能类似于简单平板，攻角为45度时升力系数和阻力系数近似相等，攻角为90度时升力为0。4.4 失速后翼型特性模型（Modelling of post-stall airfoil characteristics）这类似于平板的失速情况，升力系数和阻力系数维持失速运行的模型被破坏。4.5 风力机翼型在70年代和80年代初，风力机设计师认为翼型性能特性之间的微小差异远没有最优化的叶片扭转角（twist）和锥度（taper）重要。由于这个原因，人们很少注重翼型的选择。因此选用了直升机的翼型，因为人们认为直升机翼型可以起到类似的作用。航空翼型（Aviation airfoils）例如NACA 44xx 和 NACA 230xx(Abbott 和 Von Doenhoff, 1959)被广泛采用，因为它们有最大升力系数，小俯仰力矩系数和最小阻力系数。NACA翼型的分类有4，5和6系列。在风力机中4系列经常被用到，例如：NACA 4415。第一个数字指示翼型中弧线占弦长百分比的最大值。第二个数字指示前缘到十分之一弦长处最大弧高的距离。最后两位数字指示最大截面厚度占弦长的百分比。在 1980 年代早期，风力机设计者发现了像NASA LS(1) MOD这些被美国和英国设计者采用翼型，相对于NACA 44xx和 NACA 230xx系列翼型(Tangler et al., 1990)，对前缘粗糙度的敏感性降低。丹麦风力机设计者由于同样的原因开始用NACA 63(2)-xx翼型代替NACA 44xx。这些传统翼型的运行经验突出显示了这些翼型应用于风力机的缺点。具体来说，水平轴风力机的失速控制在大流量时普遍产生过大的功率，这会造成发电机损坏。失速控制风力机叶片某些部分在超过50的运行周期里面处于严重失速状态。当风力机的大部分叶片失速运行时，峰值功率和叶片峰值载荷都会发生，而预测载荷只有实测载荷的50%到70%。设计者开始意识到更好的认识翼型失速性能非常重要。除此之外，翼型前缘也影响叶轮的性能。例如，早期设计的翼型当叶片上沿着前缘堆积了昆虫和污垢的时候，输出功率下降高达叶片表面干净时的功率的40%。即使对于设计可以容许表面粗糙度的LS(1) MOD翼型，一旦叶片受到污染其功率也会有损失。两点:1.叶片前缘不要对粗糙度太敏感 2.失速后,输出功率不要太大.4.5 升力型和阻力型风力机的对比阻力型机器利用阻力产生动力上图右图来分析阻力型机器阻力是叶轮表面相对风速（风速和表面速度的差）的函数： (4.8)是阻力表面面积，对于正方形平板三维阻力系数约为1.1所以 (4.9) (4.10)速比为0(没有运动)和1.0（叶轮表面以风速运动且不受阻力）时的功率系数为0。速比为1/3时产生峰值功率系数0.08。这个功率系数远低于Betz极限值0.593。所以，纯阻力型风力机的主要缺点：叶轮线速度不能超过风速。相对速度 (4.11)而升力型机的升力为： (4.12)与数值大小基本一致，但是升力型阻力型 (4.13)所以，升力型机器的功率要大得多！5 动量理论和叶片微元理论5.1 概述本节和下面的章节包括如下内容：l 动量理论和叶片微元理论l 无限多叶片、无尾流旋转的最简单“最优化”叶片设计l 已知弦长和扭转角分布、尾流有旋转、阻力和损耗、叶片数目有限的普通叶片设计的性能（力，叶轮气流特性, 功率系数）l 有尾迹旋转，无限多叶片的简单的“最优化”叶片设计。这种叶片设计可作为一般叶片设计分析的开始5.2 动量理论根据3节半径为，厚度为的控制体积的线性动量守恒（式5）（图4），得到推力的微分表达式： (5.1)同样的，根据角动量守恒，式10，作用于叶片的转矩（与空气受力的大小相等，方向相反）为： (5.2)5.3 基元叶片理论假设：l 基元叶片之间没有空气动力干扰l 叶片上的力仅由叶片翼型形状的升力和阻力特性决定在叶片单元上力的分析中，注意到升力和阻力分别垂直和平行于有效的相对风速。相对风速是叶轮上垂直方向的来流风速，和圆周分速度的和，详见速度三角形 各种量之间的关系见图21。图21 水平轴风力机分析的叶片几何特性；变量的定义见正文其中是叶片截面节距角（安装角），它是弦线和旋转平面之间的夹角，是叶顶叶片安装角，是叶片扭转角，是攻角（弦线和相对风速之间的夹角），是相对风速角，是升力，是阻力，是在垂直于旋转平面方向力（由推力提供），是叶轮旋转圆周切线方向力。这些力产生了有效转矩。由图可见： (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) (5.11)如果叶轮有B个叶片，到中心距离为处的区域上受到的总的法向力为： (5.12)到叶轮中心距离为处切向力的微分转矩为： (5.13)因此 (5.14)注意到由于阻力使得转矩减小，从而功率减小，但推力载荷增加。以上讲解式完全是几何关系，本章分析方法与轴流风机完全相同。6 无尾流旋转的理想叶轮的叶片外形作了以下假设： l 没尾流有旋转；因此l 没有阻力；因此l 没有由于叶片数有限引起的损失l 对于 Betz 最优化叶轮,每个环形流管的因为，由动量理论（式5.1）可得： (6.1)以及从叶片微元理论（式5.12, ）得： (6.2)第三个方程，式5.7，可以用来表示： (6.3)因 推导可得： （6.4）式5.6与，和这些几何参数有关，可用于求解叶型。式5.6当和时变为： (6.5)因此 (6.6)重新整理，并指出，可以确定理想叶轮每个截面的相对风速与弦的夹角： (6.7) (6.8)若设，翼型的升力系数，在时有最小值，有三个叶片，。7 一般转子叶片形状的性能预测为了制造方便和整体性能好，叶片形状与最优形状就不同。一般是先假设叶形根据最优叶型修改，并且预测其性能，试另一种叶型，再预测，直到找到合适的叶片。本节考虑任意形状的叶片，这些分析包括尾流旋绕、阻力、有限叶片的损失和非设计工况。7.1 包括尾流旋绕的通用转子片条理论假设已知叶片弦长和扭角的分布，攻角未知。7.1.1 动量理论轴向动量： (5.1)动量矩： (5.2)7.1.2 基元叶片理论从叶片微元理论得： (5.12) (5.14)由式5.7（相对速度和绝对速度的关系），可知5.12和式5.14可以写为： (7.1) (7.2)其中是当地实度（local solidity），定义为： (7.3)7.1.3 基元叶片动量理论在干扰系数和的计算中，一般的做法是设定等于0（see Wilson and Lissaman, 1974）。对于低阻力系数的翼型，由此简化引起的误差是可以忽略的。所以，变换从动量理论和叶片微元理论得到的转矩方程，加上可以得到： (7.4)使得从动量理论和叶片微元理论得到的法向力（式5.1和式7.1）相等，得到： (7.5)又由（5.6）得： (7.6) (7.7)其它一些有用的关系包括： (7.8)由式7.5直接得： (7.9)由式7.7直接得： (7.10)7.1.4 求解方法方法一 - 求解和 有了以后，再给定叶片几何尺寸和运行条件，在方程7.6中还有两个未知量，每个截面的和。为了得到这些值，可以使用和的经验曲线选择翼型（see de Vries, 1979）。从经验数据得到的和可以满足方程7.6。这可以用数学解法也可以用图示解法（如图24）得到。一旦得到和就可以使用式7.7到式7.10之间的任意两个确定和。还必须验证曲线中交叉点的轴向干扰系数小于0.5以确保结果是有效的。图24 攻角-图解方法；，二维升力系数；，攻角；，局部速比；，相对风速角；，当地叶轮实度方法二 - 迭代求解和 另一种同等的方法开始于假设的和，从它们可以计算得到流动状况和新的干扰系数。具体内容为:1 假设和得值2 由方程5.6计算相对风速角3 由计算得到攻角，然后计算和4 从式7.4和式7.5或者式7.9和式7.10得到新的和重复这个过程直到新得到的干扰系数与前面的干扰系数在允许的误差范围之内。这种方法对于高载荷状况下的叶轮很适用，在7.4.3节介绍。7.2 计算功率系数无损失的功率系数计算为： (7.11)有叶型损失的功率系数计算为： (7.11)同等的，另一作者得出： (7.12)推导(7.11)过程如下：每个环面上产生的功率为： (7.13)是叶轮转动速度。叶轮的总功率为： (7.14)这里事叶根处的半径。功率系数： (7.15)利用微分转矩表达式7.2和当地叶顶速比的定义式8得到： (7.16)这里是轮毂的当地叶顶速比。由式7.5和式7.8得： (7.17) (7.18)将这些带入式7.16，就会得到期望的结果，如下式： (7.11)7.3 叶尖损失：叶片数对功率系数的影响由于叶片吸力面的压力低于压力面的压力，叶顶附近空气由压力面向吸力面流动，减小了叶顶附近的升力和功率系数。在叶片数量更少，宽度更大时尤其值得注意。已经有一些文献提出考虑叶顶损失的影响的方法。最简单，接近于实用的方法是由Prandtl (see de Vries, 1979)改善的。根据这种方法，必须在前面讨论的公式中引入修正系数。这个修正系数的值取决于叶片个数、相对风速角和在叶片上的位置。基于Prandtl的方法。 (7.19)叶顶损失修正系数影响到由动量理论推导得到的力的大小，于是有由动量定理获得的力为：所以有 (7.4a) (7.5a)即 只有动量考虑叶尖损失修正！7.4 非设计工况性能议题7.4.1 基元叶片动量方程的多重解图25 多解图示；，攻角；，二维升力系数在失速区，如图25所示，可能有多个解。每个解都是有可能的。正确解必须保证攻角沿着跨距方向是连续变化的。7.4.2 风力机流动状态在低轴向干扰系数时实际测得的风力机性能很接近于由BEM理论计算得到的结果。在轴向干扰系数大于0.5时动量理论不再适用，因为叶轮远下游的尾流中将会出现负速度。在实际运行中当轴向干扰系数增长到超过0.5时通过叶轮的流型变得比动量理论描述的复杂很多。有一些运行状态已经被人们慢慢了解（see Eggleston and Stoddard, 1987）。风力机的运行状态设计分为风车状态（windmill state）和湍流尾流状态（turbulent wake state）。风车状态是风力机运行的正常状态。湍流尾流状态在大风时出现。图26显示了在这些运行状态下测得的推力系数。风车状态用动量理论中轴向干扰系数小于0.5的流动状态来描述。在以后是湍流尾流状态，测得数据显示在轴向干扰系数为1.0时推力系数增长到接近2.0。这种状态的特点是尾流充分发展，叶轮后面有湍动和回流。在动量理论不再适用于描述风力机性能时，用和轴向干扰系数之间的经验关系用来预测风力机性能。7.4.3 湍流尾流状态的转自模型到目前为止，分析和讨论使用等效推力来确定叶片的攻角，而这个等效推力是由动量理论和叶片微元理论确定的。在湍流尾流状态推力不能再用动量理论来确定。在这种情况下，上面的分析可能导致解的不收敛或者出现由式7.6a或式7.6确定的曲线处于翼型升力曲线的下方。在湍流尾流状态，可以使用轴向干扰系数和推力系数之间的经验关系连同叶片微元理论得到一个解。经验关系是由Glauert发展起来的，如图26所示， (see Eggleston and Stoddard, 1987)，包括叶顶损失，如下：图26测得的风力机推力系数(7.21)这个方程对于有效，等价于。Glauert的经验关系式确定了叶轮的总体推力系数。人们习惯于假设它同样适用于每个叶片截面的当地推力系数。当地推力系数对于每个环形叶轮截面定义为（Wilson et al., 1976）：(7.22)结合叶片微元理论得到的法向力方程7.1，当地推力系数变为：(7.23)步骤：求解过程在改进后可适用于大载荷风力机的计算。简易方法使用的是迭代步骤(方法2 ) ，从假设的合理的和初值开始计算。一旦攻角、和被确定了，当地推力系数就可以根据式7.23计算得到。如果则可以使用以前推导得到的方程。如果，轴向干扰系数的下一个估计值必须用当地推力系数和式7.21来确定。角干扰系数可以由式7.7a确定。7.4.4 偏轴流动和叶片锥度Wind shear（剪切风）沿高度风速变化；Yaw error（偏航误差）转轴与风向不一致风还有垂直分量，特别在复杂地形叶片锥度（blade coning）是叶片与转轴垂直面的子角度，以减轻叶片弯矩（bending moments）。这都要经过合适的集合转换处理8 具有尾流旋转的最优化转子叶片形状本次优化忽略阻力（）和叶顶损失（），但包括尾流旋转，通过对（式7.12）求偏导数并令其等于0实现最优化，是相对风速角的函数，即：(8.1)由此得到：(8.2)进一步的数学计算显示：(8.3)(8.4)诱导因子为：(17)(7.9)而无尾流旋转的结果见6节，公式（6.7）（6.8）(6.7)(6.8)实度是叶片面积和叶轮扫略面积的比值，因此：(8.5)例子见下表：表3三种最优化叶轮注：，叶片数目；，翼型弦长；，叶片截面处半径；，叶轮半径；，叶顶速比；，相对风速角9 通用转子设计过程9.1 非设计工况性能议题以前的分析可用于一般叶轮的设计方法中。这些方法一开始就要选定各种叶轮参数和翼型。初始叶形采用假设尾流有旋转的最优叶形确定下来。最终叶形和性能通过迭代确定，其中考虑阻力、叶顶损失和加工误差（ease of manufacture）。叶片设计的步骤如下。9.1.1 确定基本的叶轮参数1确定功率： (9.1)2按照选用的类型选择叶顶速比。对于抽水风车，选用大扭矩很有必要，选择。对于发电风力机，选择。高速风力机叶片使用材料少，变速箱也更小，但需要更复杂的翼型。3从表4选择叶片个数。注意:如果选择少于3个叶片，在轮毂设计时有一些结构动力问题必须考虑。有一种解决方法是用teetered hub（见第6章）。表4 对于不同叶顶速比建议的叶片数4 选择翼型。如果可以选用弯板，如果就要选用更好的气动性能的形状。9.1.2 叶片形状设计5 获得并且检查翼型上每个截面的经验曲线的气动性能（从叶跟到叶顶可能是变化的），也就是与，与。选择气动设计条件下的和，使是每个截面的最小值。6 将叶片划分为个单元（一般为1020）。运用叶轮最优理论估算第段中点处半径为的叶形： (9.2) (9.3) (9.4) (9.5) (9.6)7 以最优叶形为指导，选择一个最接近的叶形。易于加工，弦长线性变化，厚度和扭转角可选。例如，如果、和是选定的弦长和扭转角系数，那么弦长和扭转角可表示为： (9.7) (9.8)9.1.3 计算转子性能、修改叶片设计如前文所述,有两种方法可选择用于求解叶片性能。方法一 - 求解和 使用下列方程和经验翼型曲线找到每个单元中点的实际攻角和升力系数： (9.9) (9.10) (9.11) (9.12)升力系数和攻角可以通过迭代或者绘图得到。图解方式见图27。迭代求解要求有一个叶顶损失系数初始值。为了找到初始的，从相对风速角的初始值开始计算： (9.13)对于后面的迭代，求使用： (9.14)是迭代次数。通常只需要很少的迭代次数。最后，计算轴向干扰系数： (9.15)如果大于0.4，是用方法二。图27 图解法求攻角；，二维升力系数；和，对应于叶片的第截面方法二 - 迭代法求解和 使用方法二迭代求解轴向干扰系数和角干扰系数需要先假设初始值。为了找到初始值，可以从相邻叶片截面的值开始，也可以从以前的叶轮迭代设计过程中得到，也可以以最优叶形设计的设计值为基础估计一个值： (9.16) (9.17) (9.18)有了和的假设值就开始第步的迭代求解。第一次迭代时。计算相对风速角和叶顶损失： (9.19) (9.20)从升力和阻力数据确定和： (9.21)计算当地推力系数： (9.22)更新下一步迭代中的和。如果： (9.23)如果： (9.24) (9.25)如果新得到的干扰系数与先前假设值的误差在允许范围之内，其它性能参数都可以计算出来。如果不在允许范围之内，从式9.19开始再重复以上步骤，其中。9每个叶片单元上的性能方程求解完成以后，用求和公式近似代替积分方程式7.12a来确定功率系数： (9.26)如果轮毂和叶片的总长被假设分为个等长度的叶片单元，那么： (9.27) (9.28)这里的是“叶片”的一个截面的角标，这个“叶片”截面是实际叶片翼型的组成部分。10如果有必要的话修改设计并且重复步骤8-10，在给定加工限制情况下得到最优的叶轮设计。9.2 曲线如果叶片设计是为了得到具体叶顶速比情况下的最优性能，就需要确定所有的预期叶顶速比情况下的叶轮性能，这可以用7节列出的方法得到。对于每一个叶顶速比，需要确定每个叶片截面上的气动条件。由此，整个叶轮的性能就可以确定。结果通常用功率系数叶顶速比的曲线来描述，称为曲线，如图28所示。曲线可用于风力机设计中，以确定任意风速和叶轮速度组合情况下的叶轮功率。图中直观得反映了最大叶轮功率系数和最优叶顶速比。使用曲线时必须谨慎。这些关系也可以从风力机试验或者模型中得到。无论何种情况下，结果都依赖于翼型的升力系数和阻力系数，很可能是流动状态的函数。尽管已经考虑了升力系数和阻力系数依赖于翼型和雷诺数的变化，但是如图10所示，当雷诺数发生很小的改变时，翼型性能可能会有很大的改变。图28 高叶顶速比风力机的曲线举例10 简化的水平轴风力机性能计算过程两个假定条件：l 翼型面上关键区段的升力系数和攻角的关系必须是线性的l 攻角必须足够小，以便使用小角度近似如果截面是非失速的，通常满足这两个条件。如果升力系数能被线性化它也可以被用于中等攻角的局部失速情况下。简化方法和前面列出的方法1相同，唯一的不同是简化了每个截面的攻角和升力系数的确定。简化方法的精髓是通过分析表达式来找到每个叶片单元相对风速的攻角。这里假设升力和阻力曲线可以近似于： (10.1) (10.2)当升力曲线是线性的并且攻角可以用小角度近似可用时，攻角被表示为： (10.3)其中 (10.4) (10.5) (10.6) (10.7) (10.8)对University of Massachusetts的WF-1风力机的一个叶片的分析结果如图29所示图29 对于一个叶片单元的计算方法的比较；，轴向干扰系数；，二维升力系数11 阻力和叶片数目对最优性能的影响在考虑气体粘性的情况下，Wilson等人(1976)已经算出拥有最佳叶形，叶片数目有限的风力机的理论最大功率系数。他们的计算数据误差达在5%以内，叶顶速比从4到20，升力阻力比（）从25到无穷大，叶片数目（）从1到3： (11.1)图30基于这个方程，显示了风力机分别有1，2和3个最优叶片，没有阻力时的最大可实现功率系数因此，典型的两叶片和三叶片风力机设计的最大可实现功率系数并没有太大的实际差别图30 最大可实现功率系数是叶片数目的函数，不考虑阻力在忽略阻力的情况下。对三叶片叶轮理论最大功率系数的影响如图31所示图31 三叶片最优叶轮的最大可实现功率是