概率论与数理统计原理在投资_风险报酬_分析中的应用.doc

第 19 卷第 4 期云南师范大学学报V o l. 19 N o. 4 1999 年 8 月Jo u rn a l o f Y u n n an N o rm a l U n ive r s ity A u g. 1999概率论与数理统计原理在投资“风险报酬”分析中的应用郭曼勤(云南师范大学数学系, 云南 昆明 650092)摘 要: 本文以举例方式, 应用概率论与数理统计原理, 通过确定各投资项目盈亏的概率分布, 计算期望报酬率, 标准差, 及应用置信概率与置信区间原理对投资“风险报酬”的有关问题进行定量分析, 为投 资决策提供依据。关 键 词: 概率论与数理统计; 投资; 风险报酬; 应用中图分类号: O 211. 6 文献标识码: A 文章编号: 1007- 9793 (1999) 04- 0013- 04概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的数学学科。 它在自然科学, 工程技术, 社会科学, 军事和工农业生产中, 尤其是在社会经 济活动中有着广泛的应用。 随着我国社会主义市 场经济的建立和发展, 人们越来越依赖使用数学方法, 对经济数据进行定量分析, 以期望能对经济 事项的发展变化趋势作出较准确的预测, 并在此 基础上作出正确的投资和交易决策, 实现预定目 标。在投资环境日趋复杂的现代社会, 几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的, 一般 地说, 投资者都讨厌风险并力求回避风险。但是还 是有人进行风险性投资, 这是为什么呢? 这是因为 风险能给投资者带来超出预期的报酬, 这种报酬 就称之为“风险报酬”。 风险报酬是指投资者因冒风险进行投资而获取的超出货币时间价值的那部 分额外报酬。 风险程度越高投资者要求获取的风 险报酬也越高。因此在投资行为发生前, 就必须对 风险和报酬进行有效分析, 以弄清不同风险条件 下的投资报酬率之间的关系, 从而, 在诸多投资机会中选择出最有价值的项目进行投资。 风险报酬 的分析在很大程度上依赖于概率论与数理统计原理的应用。 下面本文就以实例讲述概率论与数理统计原理在投资“风险报酬”分析中的应用。1 确定概率分布一个事件的概率是指这一事件可能发生的机 会。例如, 一个企业有 70% 盈利的机会, 有 30% 亏 损的机会, 如果把所有可能的事件或结果都列示 出来, 因每一事件都给以一种概率, 把它们列示在 一起, 便构成了概率分布。上述概率分布可用下表 表示。表 1 概率分布表 T ab le 1 P ro b ab ility d is t r ib u t io n tab le s 可能出现的结果 ( i) 概率 (p ro bab ility) P ( i)盈利 70% 亏损 30% 合计 100%通过上表可以看出概率分布即有如下特点, 首先 各种事项可能发生的概率只能在 0 与 1 之间, 即 不能小于 0 也不能大于 1, 其次所有事项发生可 能性的概率之和必须要等于 1。 收稿日期: 1999- 04- 15第一作者: 郭曼勤 (1973- ) , 女, 云南省昆明市人, 助教, 从事财经方面研究14云南师范大学学报 (自然科学版) 第 19 卷2计算期望报酬期望报酬率是各种可能的报酬率按其概率进 行加权平均得到的报酬率, 它是反应集中趋势的 一种量度。 期望报酬率可按下列公式计算:概率0. 60. 4nk =k ip ii= 1式中: k 期望报酬率k i 第 i 种可能结果的报酬率p i 第 i 种可能结果的概率n 可能结果的个数例如: 甲公司有两个投资机会, A 投资机会是 一个高科技项目, 该领域竞争激烈, 如果经济发展迅速并且该项目搞得好取得较大市场占有率, 利润会很大, 否则利润很小甚至亏本。B 项目是一个 老产品, 并且是生活必需品, 销售前景可准确预测。假设未来的经济情况只有三种, 繁荣、正常、衰 退, 有关概率分布和预期报酬率见下表:表 2 概率分布与预期报酬率分布表T ab le 2 P ro bab ility and exp ec ta t io n d ist r ibu t io n tab le s0. 2概率0. 60. 40. 2- 30% 20% 70% 报酬率期望报酬率(A )- 0% 20% 40% 报酬率期望报酬率经济 该经济情况发生的概率 情况P ( i)A 项目K ( i)B 项目K ( i)(B )图 1 概率分布图繁 荣 0. 2 70% 40% 一 般 0. 6 20% 20% 衰 退 0. 2 - 30% 0%k下面, 根据上述期望报酬率公式分别计算 A 、B 项 目的期望报酬率:A = k 1 p 1 + k 2 p 2 + k 3 p 3= 70 0. 2 + 20 0. 6 + (- 30 )k 0. 2 = 20B = k 1 p 1 + k 2 p 2 + k 3 p 3= 40 0. 2 + 20 0. 6 + 0 0.2 = 20两个项目的期望报酬率都是 20% , 但相比之 下可以发现 A 方案的报酬率非常分散, 而 B 方案F ig 1 ch a r t o f p ro b ility可见虽然 A 、B 方案的期望报酬率相同, 但 A 方案的概率分散, B 方案的则比较集中, 当然这只 假定 A 、B 方案最有代表性的三种经营状况对企 业预期报酬的影响及概率, 是一种非联续性的概 率分布, 如假定能获取企业经营状况中各种情况 下的可能结果的概率分布便能画出一个连续型的 概率分布图, 这里不在赘述。3计算标准差标准差是各种可能的报酬率偏离期望报酬率 的综合差异, 是反映离散程度的一种量度, 标准差 可按下列公式计算:的报酬率较集中, 一般可以认为 B 方案的投资风n 险要比 A 方案小, 由此在风险衡量时可得出如下 结论: 即预期报酬的概率分布愈狭窄, 那么其投资 风险越小, 反之亦然。 这可用下图表示 A 、B 方案 =(k i - k )i= 1式中: 期望报酬率的标准差K 期望报酬率2 p i概率分布的宽窄程度。K i 第 i 种可能的结果第 4 期郭曼勤: 概率论与数理统计原理在投资“风险报酬”分析中的应用15P I 第 i 种可能的概率n 可能结果的个数将上列中 A 项目和 B 项目的资料代入上述公式得到两个项目的标准差:A =(70% - 20% ) 2 0. 2+ (20% - 20% ) 2 0. 6+ (- 30% - 20% ) 2 0. 2= 31. 62%B =(40% - 20% ) 2 0. 2+ (20% - 20% ) 2 0. 6+ (0% - 20% ) 2 0. 2= 12. 65%标准离差愈小, 说明离散程度愈小, 风险也就 愈小。 根据这种测量方法, A 项目的风险大于 B 项目。4计算标准离差率标准离差是随机变量离散程度的一个指标。 但它是一个绝对值, 而不是一个相对量, 只能用来 比较期望报酬率相同的各项投资的风险程度, 而 不能用来比较期望报酬率不同的各项投资的风险 程度。 要对比期望报酬率不同的各项投资风险程 度, 应该用标准离差同期望报酬率的比值, 即标准 离差率来衡量。 标准离差率的计算公式为:V = 100K式中: 标准离差K 期望报酬率V 标准离差率 在上列中 A 、B 项目的标准离差率为:大于 A 项目。5置信概率和置信区间根据统计学原理, 在概率分布为正态分布的 情况下, 随机变量出现在预期值1 个标准差范 围内的概率有 68. 26% ; 出现在预期值2 个标准 差范围内的概率有 95. 44% ; 出现在预期值3 个 标准差范围内的概率有 99. 72% 。把“预期值在 X 个标准差”称为置信区间, 把相应的概率称为置 信概率。 已知置信概率, 可求出置信区间, 反之亦 然。但是这种计算比较麻烦, 通常编成表格以备查 用, 本文不在赘述。下面还是源用上例, 利用置信原理对 A 、B 两 项目的风险报酬进行进一步分析:1)、计算 A 项目盈利与亏损的概率; (1)、计算出报酬率从 0% 20% 占标准差的比重, 设该比重为 XX = 20 = 63. 2631. 62V A = 31. 6220V B = 12. 6520 100 = 158. 1 100 = 63. 25( 2)、通过查表可求出 63. 26% 个标准差对应 的置信概率为 23. 57% , (该表为正态分布曲线的 面积)。当然, 在上列中, 两公司的期望报酬率相等,可直接根据标准离差来比较风险程度, 但如果期 望报酬不等, 则必须计算标准离差率才能对比风险程度。 例如, 假设上例 A 、B 项目报酬的标准离 差仍为 31. 62% 和 12. 65% , 但 A 项目的期望报 酬率为 40% , B 项目的期望报酬率为 15% , 那么,究竟是哪个项目的风险更大呢? 这不能用标准离差作为判断标准, 而要使用标准离差率。A 项目的标准离差率为:(3)、因为正态分布图是以期望报酬率为对称 轴的钟形分布图; 所以从期望报酬率 20% - (的部份占总面积的一半。 因此:P (A 盈利) = 50 + 23. 57 = 73. 57P (A 亏损) = 50 - 23. 57 = 26. 432)、同样可计算 B 项目的盈亏情况(1)、计算出报酬率从 0% 20% 占标准差 的比重, 设该比重为 XX = 20 12. 65 = 1. 58V A = 31. 6240 100 = 79( 2)、通过查表可求出 1. 58 个标准差对应的B 项目的标准离差率为:置信概率为 44. 29%.P (B 盈利) = 50 + 44. 29 = 94. 29V B = 12. 6515 100 = 84P (B 亏损) = 50 - 44. 29 = 5. 71这说明, 在上述假设条件下, B 项目的风险要3)、计算两个项目报酬率在 40% 以上的概率16云南师范大学学报 (自然科学版) 第 19 卷X (A ) = (40 - 20 ) 31. 62 = 0. 6325查表可得 0. 6325 个标准差对应的置信概率 为 23. 57% 则:P (A 、40 以上) = 50 -23. 57 = 26.理统计原理, 可见该原理在投资“风险报酬”分析中的作用是非常重要的。综上所述, 两个项目的平 均报酬率相同, 但风险大小程度不同, A 项目可能取得高报酬, 但亏损的可能性也大; B 项目取得高 报酬的可能性小, 但亏损的可能性也小。43同样, 可计算 B 项目如下:X (B ) = (40 20 ) 12. 65 = 1. 58查表可得 1. 58 个标准差对应的概率为 44.参考文献1 周忠惠, 张鸣, 徐逸星. 财务管理. 上海: 上海三联书29% , 则:P (B 、40 以 上) = 50 -44. 29 = 5.71说明、B 项目取得 40% 以上报酬率的可能性 很小。在整个分析过程中大量地应用了概率论与数店, 1995. 164- 174.2 荆新, 王化成. 财务管理学. 北京: 中国人民大学出版 社, 1993. 50- 60.3 财政部注册会计师考试委员会办公室编. 财务成本管 理. 大连: 东北财经大学出版社, 1999. 69- 82.A pp l ica t ion of the Theory of Proba b il ity an d Sta t ist ic sin In ve st in g Ha za rd Em o lum en tGUO M a nq in(D ep a r tm en t o f M a th em a t ic s, Yunnan N o rm a l U n ive r sity, Kunm ing 650092)A BSTRACT T h is a r t ic le an a ly se som e co n ten t o f in ve st in g h aza rd em o lum en t b y u sin g th eo ry o f p ro b ab ility an d sta t ist ic s. T h e an a ly sis step s a re: def in ed p ro b ab ility d ist r ib u t io n , ca