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内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试理 科 数 学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A2 B. 4 C. 6 D. 62某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示，则中位数与众数分别为A23，21B23，23 C23，25D25，253已知为直线，为平面，给出下列命题： 其中的正确命题序号是ABCD4. 等比数列an中，a3=6，前三项和，则公比q的值为A.1B.C.1或D.或5. 右面的程序框图输出的结果为A62 B. 126 C. 254 D. 5106已知双曲线的左,右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为ABCD7若函数的表达式是A B CD8. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是A或 B C或 D或9已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 A. B. C. D. 10.中，的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为A1 B C D311设函数、的零点分别为，则A. B. C. D. 12. 已知有穷数列A：（）.定义如下操作过程T：从A中任取两项,将的值添在A的最后，然后删除,这样得到一系列项的新数列A1 (约定:一个数也视作数列)；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列项的新数列A2，如此经过次操作后得到的新数列记作Ak . 设A：,则A3的可能结果是A. B. C. D. 0第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于 14. 一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率是 15若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 16. 若，则等于_. 三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤17. (本小题满分12分)已知：函数的最大值为，最小正周期为（）求：，的值，的解析式；（）若的三条边为，满足，边所对的角为求：角的取值范围及函数的值域18. (本小题满分12分)如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（）求证：平面；（）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.19.（本小题满分12分） 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率20.(本小题满分12分)已知函数()若无极值点，但其导函数有零点，求的值；()若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于21(本小题满分12分)已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且()求动点P所在曲线C的方程；()直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；()记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修41: 几何证明选讲如图，直线AB经过O上一点C，且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E、D.（）求证：直线AB是O的切线；（）若O的半径为3，求OA的长.23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，直线的方程为（t为参数），直线与曲线C的公共点为T.（）求点T的极坐标；（）过点T作直线被曲线C截得的线段长为2，求直线的极坐标方程.24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设=|x|+2|x-a|（a0）（I）当a=l时，解不等式4；（II）若4恒成立，求实数a的取值范围.内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试 数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.题号123456789101112答案CBBCDCBDBCAA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 16 14. 15 16. 10 三、解答题：本大题共6小题，满分70分17、（12分）（1），由，得2分由及，得4分6分（2）8分为三角形内角，所以10分，12分18.（I）证明：在梯形中， ,， 2分 4分 平面平面,平面平面,平面 平面 6分（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则， 8分设为平面MAB的一个法向量，由得 取，则，10分 是平面FCB的一个法向量 11分 当时，有最小值， 当时，有最大值。 12分解法二：当与重合时，取中点为，连结 , = , 8分当与重合时，过,连结，则平面平面, ，又 平面 平面=,= 10分当与都不重合时，令延长交的延长线于,连结 在平面与平面的交线上 在平面与平面的交线上 平面平面 过C作CGNB交NB于G ，连结AG，由（I）知，, 又ACCN,AC平面NCB ACNB,又CGNB，ACCG=C，NB平面ACG AGNB AGC= 在中，可求得NC，从而，在中，可求得CGACG AG 11分综合得，12分19.【解析】（1）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件. 3分样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为, 4分二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, 5分三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为6分 （2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， 7分记等级系数为7的3件产品分别为、，等级系数为8的3件产品分别为、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,，, ,，, 共15种， 10分20解 ()首先， -2分有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得 -4分（）由题意，有两不同的正根，故.解得： -5-分设的两根为，不妨设，因为在区间上， ，而在区间上，故是的极小值点.-8分因在区间上是减函数，如能证明则更有-10分由韦达定理，令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 -12分21 (1) 设动点为， 1分依据题意，有 ，化简得 3分因此，动点P所在曲线C的方程是： 4分(2) 点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示 5分联立方程组，可化为，则点的坐标满足 7分又、，可得点、点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断 因，则=9分 于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部 10分(3)依据(2)可算出，则 ， 11分所以，即存在实数使得结论成立 12分22.（）如图，连接OC， OA=OB，CA=CB， OCAB， AB是O的切线 （） ED是直径， ECD=90，RtBCD中， tanCED=, = ， AB是O的切线， BCD=E，又 CBD=EBC， BCDBEC, = ， 设BD=x,则BC=2x， 又BC2=BDBE， =x（ x6），解得：x1=0,x2=2, BD=x0, BD=2， OA=OB=BDOD=32=5 23.24.（）|x|2|x1|当x0时，由23x4，得x