抛物线动弦中点到y轴最短距离的推导计算.doc

抛物线y=2px(p0)的动弦AB长为a,求动弦AB的中点M到y轴的最短距离。解：设直线AB的方程为x=ky+b,与y=2px联立，得：y=2p(ky+b)y-2pky-2pb=0y1+y2=2pky1*y2=-2pb则(y1-y2)=(y1+y2)-4y1y2=4pk+8pb(x1-x2)=(ky1+b)-(ky2+b)=(ky1-ky2)=k(y1-y2)|AB|=(x1-x2)+(y1-y2)=(k+1)(y1-y2)=(k+1)(4pk+8pb)=a(k+1)(4pk+8pb)=a(k+1)(4pk+8pb)=ab=-pk/2+a/8p（k+1）而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=pk+b点M的横坐标为：pk+b即M到y轴的距离为：pk+b而pk+b=pk-pk/2+a/8p（k+1）=pk/2+a/8p（k+1）=p（k+1）/2+a/8p（k+1）-p/2（a-p）/2这里，(k+1)=a/2p能成立时，取得等号。而由于(k+1)1，只有a/2p1，即a2p时，可取得等号，即(k+1)=a/2p能成立。此时，动弦AB的中点M到y轴的最短距离为（a-p）/2。此时，将解出的k、b代入所设直线AB的方程为x=ky+b可知：弦AB过抛物线的焦点！当a/2p1，即a0)的动弦AB长为a（a=2p),求证动弦AB的中点M到y轴的最短距离是(a-p)/2。证明：如图，设焦点F为（P/2 ，0）作MN，AP,BQ垂直于准线XP/2，则有：ABAG+BG=AP+BQ=2MN得MLa/2，a=2p时,ML1/2a能取得等号,即AB过焦点，MN取得最小值。而动弦AB的中点M到y轴的最短距离=MN取得最小值-P/2=a/2-P/2=(a-p)/2例1 抛物线y=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。解一：当|AB|=2p时,AB平行于y轴,AB的中点到y轴的距离取得最小值设A(x1,y1)、B(x2,y2)AB平行于y轴,|y1| = |y2| = 3,且有:y1=8x1y2=8x2（x1+x2)/2 =（y1 +y2）/16 =18/16=9/8即AB中点M到y轴的最小距离9/8解二：设直线AB的方程为：x=ky+b,则有：y=8(ky+b)y-8ky-8b=0y1+y2=8ky1*y2=-8b则(y1-y2)=(y1+y2)-4y1y2=64k+32b(x1-x2)=(ky1+b)-(ky2+b)=(ky1-ky2)=k(y1-y2)|AB|=(x1-x2)+(y1-y2)=(k+1)(y1-y2)=(k+1)(64k+32b)=4(k+1)(4k+2b)=6(k+1)(4k+2b)=3/2(k+1)(4k+2b)=9/42k(k+1)+b(k+1)=9/8b(k+1)=9/8-2k(k+1)b=9/8-2k(k+1)/(k+1)=9/8(k+1)-2k而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k+b点M的横坐标为：4k+b即M到y轴的距离为：4k+b而4k+b=4k+9/8(k+1)-2k=2k+9/8(k+1)=2(k+1)+9/8(k+1)-222(k+1)9/8(k+1)-2=1这里，(k+1)=3/4时，2(k+1)=9/8(k+1)才能取得等号。而(k+1)1即k=0时，M到y轴的距离取得最小值9/8例2 抛物线y=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。解一：设A（x1,y1）、B(x2,y2) 弦AB的中点M到y轴的距离最短,则弦AB过焦点 y=8x 焦点（2，0）准线x=-2AB的长为16 则x1+2+x2+2=16 x1+x2=12 中点M到Y轴的距离=(x1+x2)/2=6解二：设直线AB的方程为x=ky+b和抛物线y=8x联立，得：y=8(ky+b)y-8ky-8b=0y1+y2=8ky1y2=-8b则(y1-y2)=(y1+y2)-4y1y2=64k+32b(x1-x2)=(ky1+b)-(ky2+b)=(ky1-ky2)=k(y1-y2)弦AB的长为：(x1-x2)+(y1-y2)=(k+1)(y1-y2)=(k+1)(64k+32b)=4(k+1)(4k+2b)=16(k+1)(4k+2b)=4(k+1)(4k+2b)=162k(k+1)+b(k+1)=8b(k+1)=8-2k(k+1)b=8-2k(k+1)/(k+1)=8/(k+1)-2k而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k+b点M的横坐标为：4k+b即M到y轴的距离为：4k+b而4k+b=4k+8/(k+1)-2k=2k+8/