2011年上海市高考数学试卷及解析.docx

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知 是虚数单位，若 ，则 的值为 2. 某射击选手连续射击 枪命中的环数分别为： , , , , ，则这组数据的方差为 3. 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 4. 若集合 ， ，则 5. 方程 表示双曲线的充要条件是 6在 中，已知 ， ，则 的值是 7. 已知实数 满足 则 的最小值是 8. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的前20项和为 9. 已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 ， ， 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的体积为 10已知 为 的外心，若 ，则 等于 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字 或 中的一个数字，则连续输出的 个数字之和能被3整除的概率是 12. 若 ，且 ，则 的最小值为 13已知函数 若 ，且 ，则 的取值范围是 14. 已知曲线 ： ，直线 ： ，在曲线 上有一个动点 ，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 .再过点 作曲线 的切线，分别与直线 和 轴相交于点 ， 是坐标原点.若 的面积为 ，则 的面积为 二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 如图， ， 均为圆 的直径， 圆 所在的平面， .求证：平面 平面 ； 直线 平面 16已知 的面积为 ，角 的对边分别为 ， 求 的值；若 成等差数列，求 的值17已知一块半径为 的残缺的半圆形材料 ，O为半圆的圆心， ，残缺部分位于过点 的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以 为斜边；如图乙，直角顶点 在线段 上，且另一个顶点 在 上要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值 18如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 分别是椭圆 的左、右两个顶点，圆 的半径为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆 于点 求直线 的方程；求 的值；设 为常数过点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 ，分别交圆 于点 ，记 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值 19已知数列 满足： ， ， 若 ，求数列 的通项公式； 设 ，数列 的前 项和为 ，证明： 20已知函数 ， 若函数 在其定义域内是单调增函数，求 的取值范围；设函数 的图象被点 分成的两部分为 （点 除外），该函数图象在点 处的切线为 ，且 分别完全位于直线 的两侧，试求所有满足条件的 的值 徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学（附加题） 21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆 ，圆 都经过点 ， 是圆 的切线，圆 交 于点 ，连结 并延长交圆 于点 ，连结 .求证 . B选修4-2：矩阵与变换已知 ，若矩阵 所对应的变换把直线 ： 变换为自身，求 .C选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的值.D选修4-5：不等式选讲已知 ，且 ，求 的最小值22【必做题】本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分别是棱 ， 上的点，且 ， .求异面直线 与 所成角的余弦值；求二面角 的正弦值. 23【必做题】本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数 , 当 时，求函数 的极大值和极小值；是否存在等差数列 ，使得 对一切 都成立？并说明理由徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ；7.1；8.55；9. ； 10. ；11. ； 12. ；13. ； 14. 二、解答题15.因为 圆 所在的平面， 圆 所在的平面，所以 ，2分因为 为圆 的直径，点 在圆 上，所以 ， 3分因为 ， 平面 ，所以 平面 ，5分因为 平面 ，所以平面 平面 7分由 ，又因为 为圆 的直径，所以 ，因为 在同一平面内，所以 ，9分因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 11分因为 ，同理可证 平面 ，因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 14分16.由 ，得 ，即 2分代入 ，化简整理得， 4分由 ，知 ，所以 6分由 及正弦定理，得 ，即 ，8分所以 由 及 ，得 ，10分代入，整理得 代入 ，整理得 ，12分解得 或 因为 ，所以 14分17如图甲，设 ， 2分所以 4分 ，当且仅当 时取等号， 6分此时点 到 的距离为 ，可以保证点 在半圆形材料 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 7分 如图乙，设 ，则 ， ，所以 ， 10分设 ，则 ，当 时， ，所以 时，即点 与点 重合时， 的面积最大值为 13分因为 ，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为 14分18连结 ，则 ，且 ，又 ，所以 .所以 ，所以直线 的方程为 .3分由知，直线 的方程为 ， 的方程为 ，联立解得 . 5分因为 ，即 ，所以 ， ，故椭圆 的方程为 .由 解得 ，7分所以 8分不妨设 的方程为 ，联立方程组 解得 ，所以 ；10分用 代替上面的 ，得 同理可得， ， 13分所以 14分因为 ， 当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 16分19若 时， ， ，所以 ，且 两边取对数，得 ，2分化为 ，因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列4分所以 ，所以 6分由 ，得 ，当 时， ， ，得 ，8分由已知 ，所以 与 同号10分因为 ，且 ，所以 恒成立，所以 ，所以 12分因为 ，所以 ，所以 16分20 ，2分只需要 ，即 ，所以 4分因为 所以切线 的方程为 令 ，则 6分若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，所以 ， 在直线 同侧，不合题意；8分若 ， ，若 ， ， 是单调增函数，当 时， ；当 时， ，符合题意；10分若 ，当 时， ， ， 当 时， ， ，不合题意； 12分若 ，当 时， ， ，当 时， ， ，不合题意； 14分若 ，当 时， ， ，当 时， ， ，不合题意故只有 符合题意 16分附加题21A由已知， ，因为 ， ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以 .5分延长 交 于点 ，连结 ，则 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 .10分B对于直线 上任意一点 ，在矩阵 对应的变换作用下变换成点 ，则 ，因为 ，所以 ， 4分所以 解得 所以 ， 7分所以 . 10分C直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， 3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，即，6分因为截得的弦长为 ，所以圆心 到直线的距离为 ，即 ，因为 ，所以 . 10分D由柯西不等式，得 ，即 ， 5分即 .所以 ，即 的最小值为 . 10分22以 的中点为原点 ，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 （如图）. 则 ， ， ， ， ， ， ， . 所以 ， .所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .5分平面 的一个法向量为 .设平面 的法向量为 ，因为 ， ， 由 得 令 ，则 .所以 ，所以二面角 的正弦值为 . 10分23（1） = ， = ，令 得 ，因为 ，所以 2分当 为偶数时 的增减性如下表