【教学设计】《三角函数的简单应用》（数学北师大高中必修4）.docx

三角函数的简单应用教学设计本课时编写：双辽一中 张敏u 教材分析本节课是在学生已经学习了三角函数的图象和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的三角函数的应用.在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想.同时还力图向学生展示观察、归纳、类比、联想等数学思想方法。u 教学目标【知识与能力目标】通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图像求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。【过程与方法目标】让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想【情感态度价值观目标】让学生切身感受建模过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣。u 教学重难点 【教学重点】根据已知图像求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。【教学难点】分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。 u 课前准备多媒体课件u 教学过程新课导入我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在本节中，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.【设计意图】导入新课。新课探究水车问题例1.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是4/3min.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m). (1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.(2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期函数的关系.如图，设水车的半径为R，R=1.5m；水车中心到水面的距离为b，b=1.2m；QOP为；水库旋转一圈所需的时间为T；由已知T=4/3（min）=80（s），单位时间（单位：s）旋转的角度（单位：rad）为，=2T=40rad/s.为了方便，不妨从点P位于水车轮与水面交点Q时开始计时（t=0）.在t时刻水车转动的角度为，如图所示，QOP=40t（rad）.过P点向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N， QON=.从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(-)+b，这是一个由三角函数确定的数学模型.从图中可以看出： sin=1.21.5，所以=53.1 0.295 rad.h 1.5sin(40t- 0.295)+1.2(m),这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.因为当P点旋转到53.1时，P点到水面的距离恰好是 1.2(m),此时t=53.180360 11.8（s）.故可列表、描点，画出函数在区间11.8,91.8上的简图：如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.总结：面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.接下来利用同样进行对例2的讲解。潮汐问题例2海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,船在涨潮时候驶进航道,靠近船坞;卸货后，落潮时返回海洋,下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深. 讲解完成，学生对三角函数模型已经有了一定的了解，接下来进行随堂练习，加深学生的掌握。一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次达到最高点大约要多长时间？【设计意图】通过实例讲解，培养学生将实际问题转