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利用考试统计分析指导高三数学备考复习新华中学 王成丽 王强 1 问题的提出考试是教学过程中的一个重要环节，考试检测与反馈功能是教育目标管理的主要手段。考试的结果既能反映学生的学习态度、努力程度和学习效果，也在一定程度上反映了教师的治学态度和教学水平以及学校的教学管理水平。是目前教育制度下必行且重视的教学过程。目前在考试流程中，教师和学生非常重视考前工作，考后关注平均分和排名，往往很简单处理甚至不重视考后分析。实际上，试卷质量分析是考试之后的一项非常重要工作。根据试卷分析所得到的反馈信息，可以判断学生对知识的掌握情况，以总结教学经验和方法，反思教学过程的各个环节，及时调控教学策略和做出科学有效的决策，为不断改进方法、提高教学质量提供客观依据。对于高三的备考，时间紧、任务重，并且每届学生都有自己的特点，教师仅凭自身丰富的教学经验来进行教学恐难有较好的效果。考试后对试卷进行定量分析，客观、科学、公正的进行评价，挖掘考试结果中蕴藏的大量信息，发现学生在学习中的薄弱环节和个人教学的不足之处，从而合理安排复习，提高高考成绩，都有积极的意义和应用价值。2 考试统计中常用的术语2.1试卷分析的层面2.1.1难度系数难度是衡量试题与试卷难易程度的指标。难度系数可分为试题的难度系数和试卷的难度系数。试题难度系数一般用字母P表示，P=平均分满分值。P越大表示试题越简单，P越小表示试题越难。因此，“难度系数”也可以理解成“容易度系数”。试卷的难度系数用参加考试的人平均分除以试题的总分。考试说明中明确表示：“试卷由容易题、中等试题、难题组成，总体难度要适当，并以中等难度题为主。”一般来说高考试卷易中难试题的比例为2:6:2或3:5:2。中低档试题占八成，750分占600分。那么什么是中低档试题呢？一般来说难度系数在0.40.7的试题为中等试题，低于0.4的为难题，高于0.7的为容易题。2.1.2区分度区分度反映试题区分不同水平受试者的程度，是衡量题目质量的主要指标之一。区分度一般采取鉴别指数法来计算： 比较测验总分高和总分低的两组被试在项目通过率上的差别得来。区分度DPHPL， PH为高分组（即得分最高的27%）被试在该题上的通过率，PL为低分组（即得分最低的27%）被试在该题上的通过率。区分系数高的考试，优秀、一般、差三个层次的学生都有一定比例，如果某一分数区间学生相对集中，高分太多或不及格太多的考试，区分系数则低。2.1.3变异系数变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。样本变异系数CV定义为标准差与均值的比率： CV = S/ X，其中， CV 代表变异系数， S 代表样本标准差， X 代表样本平均数。在比较两组量纲不同或均值不同的数据时，应该用变异系数而不是标准差来作为比较的参考。2.2分析学生的层面2.2.1平均分平均分是常用的中心测度，最直观的反映学生总体情况和学科情况，但平均分对于考试数据中极端值非常敏感。2.2.2 标准分标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数，它是用来说明原始分在所属的那批分数中的相对位置的。求法：Z=(X-X_bar)/S，式中，X为原始分数，X_bar为原始分的平均数，S为原始分的标准差。Z分数是以一批分数的平均数作为参照点，以标准差作为单位表示距离的。它由正负号和绝 对数值两部分组成，正负号说明原始分是大于还是小于平均数，绝对数值说明原始分距离平均分数的远近程度。一批分数全部转换成Z分数后，它们的整个分布形态并没有发生改变。Z 分数准确地刻划了一个分数在一批分数中的相对位置，但是，由于Z分数有负值，常带有小数，不易被人理解和应用。因此人们在Z分数的基础上进一步转换，从而发展起了一系列其他形式的标准分。Z=Z+，式中，Z为其他形式的标准分，是转换方程的斜率，是转换方程的截距。我国普通高校全国招生统一考试所使用的标准分，就是用刚才介绍的方法进行转换的，即：T=100*Z+500 ，式中取100为，500为。3 统计分析3.1 备课组成绩分析3.1.1对试卷总分进行描述性测度分析 用来描述考试分数的数字称为描述性测度。包括：参考人数、实考人数、缺考人数、平均分、最高分、最低分、低分人数、低分率、及格人数、及格率、优秀人数、优秀率、中位数、众数、标准差、差异系数、难度等。这些数据的获得应用Excel、Spss统计软件等。（表1）新华中学第三次月考数学总分测度分析参考人数350低分率16.3%平均差12.93实考人数350及格人数252标准差16.19缺考人数0及格率72%方差262.2总分34665优秀人数29差异系数0.16平均分99.04优秀率8.29%四分差10.5最高分144中位数101偏度-0.39最低分35众数101峰度0.3低分人数57全距109难度0.66（表2）新华中学第三次月考数学总分分布分数段0-4950-8990-99100-109110-119120-129130-139140-149150人数19765896922520百分比0.29%27.71%18.57%25.43%19.71%6.29%1.43%0.57%0%累计0.29%28%46.57%72%91.71%98%99.43%100%1（图1）频率分布直方图及正态分布表 3.1.2难度和区分度分析（表3）新华中学2011年12月1日第三次月考数学(理)实测数据题号知识点平均分难度区分度题号知识点平均分难度区分度1复数计算4.670.910.1611数列求和3.910.780.272线性规划4.120.790.3512圆的方程4.040.810.283逻辑4.560.890.2213基本不等式3.720.740.454比较大小4.270.810.3814向量1.190.240.45椭圆性质4.430.870.2515数根分布8.030.620.386解三角形4.230.770.4616三角运算8.470.650.427抛物线3.760.720.5317立体11.050.850.138分段函数4.340.830.3318函数5.860.450.189三视图4.160.830.2419解析8.210.590.2110三角计算2.210.440.5120数列2.990.210.29(图2)试题难度折线图(表4) 试题难度评价表难度PP0.70.4P0.7P0.4评价较易难度中等较难 (表5) 区分度评价标准表区分度大于0.400.30 到0.390.20 到0.29小于0.20评价优秀合格尚可，需修改应淘汰（表6）第三次月考数学“两头”学生分布3.2 班级成绩分析前100名人数后50名人数(10)班8(10)班7(11)班9(11)班10(12)班10(12)班5(13)班9(13)班6(2)班24(2)班0(6)班10(6)班7(7)班13(7)班3(8)班8(8)班6(9)班9(9)班63.2.1班级数学成绩总体情况 （图3）第三次月考数学“两头”学生分布 3.2.2 班级个人成绩分析 (表7) 高三第三次月考个人成绩分析NO.220090665成绩Z分百分等级名次学科分制个人班级年级班级年级班级年级班级年级语文150104106.78107.42-0.34-0.4435.3729.8627246英语150140108.78110.871.922.1698.7899.5712数学15011496.2499.041.030.9286.5982.71661物理1008266.8370.421.240.9686.5981.57665化学100837673.560.730.876.8375.291087生物1008773.5973.281.131.284.1591.29731汇总750610528.22534.595.725.693.993.2941350(表8) 高三第三次月考高三（13）班实测数据题号知识点全年级13班平均分难度区分度平均分难度区分度1复数计算4.670.910.164.590.940.112线性规划4.120.790.354.320.830.333逻辑4.560.890.224.730.940.114比较大小4.270.810.384.590.940.115椭圆性质4.430.870.254.460.890.226解三角形4.230.770.464.190.780.447抛物线3.760.720.533.510.670.678分段函数4.340.830.334.460.780.449三视图4.160.830.244.460.890.110三角计算2.210.440.512.430.490.411数列求和3.910.780.273.380.680.412圆的方程4.040.810.283.650.730.113基本不等式3.720.740.453.920.780.414向量1.190.240.40.950.190.215二次函数根分布8.030.620.3870.540.5316三角运算8.470.650.428.730.670.3617立体11.050.850.1310.650.820.0118函数5.860.450.186.350.490.1619解析集合8.210.590.218.220.590.1720数列2.990.210.292.590.190.114 结果解读4.1 整体情况由表1 可见，第三次月考的平均成绩为99.04分，最高分144分，最低分35分，偏度-0.39和峰度0.3都较小，趋近于0，成绩服从正态分布，说明试卷命题基本合理，考试总体情况良好。标准方差为16.19，数值较高，说明数据变化较大，学生个体之间存在较大差异，主要影响因素是上课听讲、完成作业、课后巩固、考前复习等。在教学中，教师应注意这个问题，通过因材施教、分类指导等措施努力缩小学生之间差距。从图1可知，处于100150分数段的人数是187人，90分以下的98人，峰值出现在100110分数段， 说明大多数学生对知识掌握较好，但成绩多集中在平均分附近， 建议适当加大一些试题的区分度，有利于激励学生的学习积极性。4.2 试题编排通过表3试卷各题的难度表可以看出，试卷整体难度为0.66，难易适中。参照我校2011年高考实测数据各题的得分率，本套试卷大部分题目难易程度尚可，但其中第7 、8 、17、19题偏易，需适当增加难度，以便更好地反映学生掌握知识的情况。建议将第2题与第5题的位置对调，第10题与第13题的位置对调，第15题与第17题的位置对调。这样才能满足每类题型中的题目逐步由易变难的规律。从表3可见，第6、16题题的区分度都比较高，说明学生成绩在此题被显著拉开，而这两道题涉及同一个知识点三角函数，在日后教学工作中，教师应该针对三角函数对学生多加训练和辅导。第1 、3、17 、18、19 题的区分度不够，说明学生之间的差距没有拉开， 学生所掌握的知识范畴及对知识的理解程度和运用能力难以得到充分体现，因此，有必要加以调整、改进。4.3 班级情况首先，从图2可以看出，高三（13）班的数学成绩相对集中，成绩突出以及成绩较差的人数都不太多，说明学生比较整齐。观察表8，发现(13)班的有10道题目的区分度是0.2的，进一步印证了这个班的学生比较整齐。其次，有7道题的区分度0.4，最高值达到0.67，说明在这7道题涉及的知识点上，学生成绩在此题被显著拉开，教师应关注低分段的学生这些问题：抛物线、二次函数根的分布、分段函数等函数问题以及三角计算、数列求和、基本不等式等计算问题。通过分类指导和专题复习来帮助学生提高成绩。还有，特别需要关注的是第17题、第20题这两题，平均分远低于年级平均成绩且区分度近乎为0，说明全班整体较差，需要教师高度重视，采取相应措施及时补救。4.4 总分策略从表7某个学生的个人成绩分析，可以看出来这个学生除语文外其他五个学科都很不错，这时候应该鼓励该生将更多的时间投入到语文学科中去。而对于数学应改为重点复习，即通过试卷分析来找到弱点、易提高点，利用在校的时间解决就可以了。5 解读高考数据指导解析几何复习5.1考纲解读解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用、极坐标与参数方程等内容。近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用、极坐标与参数方程；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识；二是以直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力。与以往的考纲要求相比，新考纲中降低了对双曲线的定义与性质的考查要求，对椭圆与双曲线的准线不作要求，而且新教材新增了4-4参数方程与极坐标方程。5.2 近四年高考解析几何试题(天津理)特点时间/分值选择题填空题解答题知识点2008年23分第5题第1题3第21题椭圆定义和简单性质；直线与圆；直线与双曲线2009年27分第9题第13、14题第21题抛物线定义和简单性质；参数方程、两平行线间距离；圆与方程；直线、椭圆、平行线截割定理2010年21分第5题第13题第20题双曲线、抛物线的标准方程和简单性质；参数方程、直线、圆、点到直线的距离；直线、椭圆、平面向量2011年18分第11题第18题参数方程、直线、圆、抛物线、点到直线的距离；直线、椭圆、平面向量5.2.1题量、题号、分值相对稳定近年来高考试题中解析几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定。平均分值为22分，约占总分值（150分）的15。5.2.2考小题，推陈出新有关解析几何的小题，其考查的重点在于基础知识。其中，参数方程、圆锥曲线的定义和简单性质等知识的试题是重点考查内容。特别是参数方程，是新课改增加的内容，近三年均在填空题里考查参数方程。5.2.3整体平衡，重点突出考试说明中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识点超过50，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程（类型确定、类型未定）； 直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）； 与曲线有关的最（极）值问题； 与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)； 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；5.3 2011年其他省市命题(理科)情况卷型题号分值考点全国卷(大纲)10，15，2122直线与抛物线；双曲线的定义、性质；直线与椭圆全国卷(新课标)7，14、2022直线与双曲线；直线与椭圆；向量+抛物线北京卷5，14，1924直线与圆；轨迹；直线与椭圆天津卷11，1818参数方程；直线、椭圆、平面向量重庆卷8，15，2022直线与圆；抛物线与圆；向量与椭圆湖南卷5，9，2123双曲线；参数方程；抛物线与椭圆浙江卷8，16，2124椭圆与双曲线;椭圆；圆与抛物线江西卷9，14，2023直线与圆；椭圆；直线与双曲线四川卷10，14，2121直线与抛物线；双曲线性质；直线与椭圆安徽卷5，15，2123极坐标；直线方程；直线与抛物线陕西卷2，17，1929抛物线定义；直线与圆(大题)；曲线的切线山东卷8，2219圆与双曲线；直线与椭圆(压轴)广东卷14，19，2133参数方程；圆与双曲线；抛物线与方程5.4 2011届高考解析几何实测数据及分析5.4.1 在高考数学考查的4个知识范畴里解析几何的得分率最低，仅为0.45。这与解析几何的知识点多，计算量大，综合性强的特点紧密相关。5.4.2 第11题(5分)：已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=_.解析：抛物线为，焦点为(2,0)，直线方程为。圆心（4,0）到直线的距离为.故答案为r=分析：本小题考查直线与圆相切的几何意义。出错原因集中在将焦点坐标写成(4，0)5.4.3 第18_1(4分): 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率解析：设 由题意，可得 即整理得（舍），或所以 分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.此问满分4分，本校得分率为62%，略高于同类区县平均水平。此问难度较低，仍有43.62%的学生的得分在02,原因有三：一是审题不清，二是计算不准，三是叙述不全。5.4.4 第18_2(9分): （）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程解析：(略)分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.此问满分9分，本区得分率为14%，略高于同类区县平均水平。此问难度较大，有81%的学生只得了02分，很多学生是因为不会运用第1问的结论导致运算复杂，没有得分点。对于轨迹方程的求法还需要进行总结，以期得到该类问题的普遍解法。5.5 解析几何复习的建议5.5.1 总结高考命题新趋势我们认为在未来的高考中，解析几何试题有以下命题趋势：(1)单一型的题目将被更多的综合型题目所取代.即使是选择或填空题，每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多个.(2)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线)的研究与讨论仍然是重中之重.(3)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(4)由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.(5)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.(6)极坐标与参数方程的知识在解决解析几何问题的作用不可忽视.(7)三角函数的知识一直是解决解析几何问题的好“帮手”.(8)函数、方程与不等式与解析几何问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(9)数列与解析几何问题的携手是一种值得关注的动向.(10)求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的题型。5.5.2夯实基础，掌握通性