高一数学向量的数量积练习苏教

向量的数量积练习教学目标1 理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的性质。2 通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。3 通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探究新知以及合作交流的学习品质。教学过程一、 情景创设问题1 我们以经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？（从数学内部来寻求发展）二、 学生活动联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。问题2 物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？通过对物理公式W=（其中F与S的夹角）的分析，得到如下结论：（1） 功W是两个向量F和S的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量；（2） 功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力F与位移S的夹角有关。由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同与我们以前学习过的其他数学运算。三、 建构数学问题3 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？学生讨论。教师指出数学抽象的方向：舍弃抽象原型的物理意义抽取其中的数量关系。平面向量的数量积（初步认识）（1）最初的认识学生讨论：如把力F和位移S抽象地看成两个向量，把力F与位移S的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它是从向量a，b；得到一个数量（即）的运算这里是向量a，b的夹角。（）进一步表述。引进向量的数量积等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：已知两个向量a和b，他们的夹角为，我们把数量叫做a和b的数量积（或内积），计作，即=两个向量的夹角问题在上面的向量数量积中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，得到下面的结论：对于两个非零向量a和b，作=a，=b,则叫做向量a与b的夹角。特别地，当向量a与b的夹角分别等于和时。两个向量分别是同向、反向和垂直。向量a与b垂直，计作.在讨论中，应注意上述定义中对向量的“非零”的限制。平面向量的数量积（形式化的表述）（）表述的精确化。问题在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？对前面的定义加上“非零”的限制。问题零向量有没有数量积？应该如何定义？问题在实际的“求功运算”中是怎样解决这个问题的？通过讨论，得到“数量积”的定义：已知两个非零向量a与b，他们的夹角为，我们把数量叫做a和b的数量积（或内积），记作，即=.同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即.（3） 对定义的理解。1 尽管向量数量积是从做功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了。一般地，它已经不具有“求功”的具体意义了。在引入向量的数量积以后，物理学中的概念就可以用数学语言来表示为：功就是里F与其作用下物体产生的位移S的数量积，即W=FS。2 两个数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。3 注意：，等式右边的零是一个实数，而不是零向量。4 练习练习1 判断下列说法是否正确：1 向量的数量积可以是任意实数。2 若a=0，则对任意向量b，有=0.3 若a0，则对任意非零向量b,有0. 4 如果ab0，那么a和b的夹角为锐角。5 若a0，ab=0.则b=0.6 若b0，ab= bc，则a=c.（6） 数量积的运算性质问题8 向量的数量积有是什么样的性质？教师指出：可以和字母的乘法运算比较。问题9 在实数的乘法中，我们有：a,b同号时， =，特别地，；a,b异号时，有.在向量的数乘中，类似的结论也成立吗？经过讨论得到下面的结论：当a与b同向时， ab=,特别地，aa=或=；当a与b反向时，ab=.用类似的方法，可以得到下面的结论：设向量a,b,c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：1ab= ba;2. (a)b= a(b)=(ab)=ab;3. (a+b)c= ac+ bc.（参见“链接”）四、 数学运用例1 已知向量 a与b的夹角为 ，=2, =3,分别在下列条件下求ab:(1); (2) a/b; (3) ab例2 已知正三角形ABC的边长为2，设，求ab+ bc+ ca练习2 在平行四边形ABCD中，已知 求：（1） （2） （3）指导阅读“链接”.向量数量积的几何意义：1叫做向量b 在 a 方向上的投影。投影是一个数量，而不是向量。当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当= 时，投影为 ；当 =时，投影为2向量数量积的几何意义数量积ab 等于a 的长度 与b 在 a 方向上的投影的乘积，也等于b的长度 与a在b 方向上的投影的乘积。五、 回顾小结向量数量积的物理模型是力的做功，两个向量非零夹角的范围是，平面向量的数量积是一个实数，数量积ab的几何意义是a 的长度与b 在 a 方向上的投影的乘积。平面