6 习题new.doc

第6章 习题如图1所示一双跨对称的框架。几何尺寸及荷载见图中。底板厚度0.5m，材料的弹性模量E=2107 kN/m2，地基弹性模量E0=5000 kN/m2。设为平面变形问题。绘出框架弯矩图。图 1 双跨矩形框架荷载计算简图解 根据图 1a建立简图b所示基本结构，假设A、D处的刚结点为铰结，将中央竖杆在底部断开，分别设未知力x1和x2。上部结构为两铰框架，下部结构为弹性地基梁。根据变形连续条件，列出力法方程：（一）求1p即外荷载作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。根据图c求两铰框架A处角变，求得：（注：固端弯矩顺时针转动为正）根据对称荷载作用下，两铰框架铰支座的角变公式（附表6-7（2）：K1=I/4.73，K2=2.6I/8.2，故=1.50。得出两铰框架铰A处的角变为：（逆时针方向，与x1反方向）地基梁A端的角变按下述方法计算：首先算出柔度指标t，忽略和0（分别为基础梁和地基的泊松系数）的影响，采用近似公式计算：式中：E、E0地基和基础梁的弹性模量； l地基梁的一半长度； h梁截面高度。将图1 a、d中的底板参数代入上式，则有：（取t=1）据图1c，查两个对称集中荷载作用下基础梁的角变，因=1，故地基梁A的角变为：（顺时针方向为正）则有：（顺时针向，与x1反向）由此得：（二）求2p即外荷载作用下，在x2方向上总的沉陷（框架和地基梁）。根据图1c，先求框架F点竖向位移。图1b中框架部分的弯矩图见图2a。由于不考虑轴力对位移的影响，F点的竖向位移等于E点的竖向位移。因此，将图2a中的BC杆作为简支梁，按附表6-7（3）项、（6）项和（7）项计算。由此得F点的竖向位移为：图 2 弯矩图（向下，与x2反方向）根据图1（c），求地基梁中点的竖向位移。由于t=1，=1，=0，查附表后得：（向上，与x2反向）因此，得：（三）求11即单位弯矩x1=1作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。图1（d）中两铰框架A处的角变，由附表中的（1）项，因，故得：（顺时针方向，与x1同方向）在图1（d）中，求基础梁A端的角变。t=1，=1，=1，由基础梁查附表得：（逆时针方向，与x1同方向）因此，得：（四）求22即单位弯矩x2=1作用下，在x2方向上总的沉陷（框架和地基梁）。x2=1作用下，其弯矩图见图2b。由附表的6-7中（4）项、（6）项及（7）项，得两铰框架F点的竖向位移为：（向上，与x2同方向）图1（e）基础梁中点F的竖向位移，因t=1，=1，=0和=0，由基础梁查附表得：（向下，与x2同方向）因此，得：（五）12（或21）即单位弯矩x2=1作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。图1（e）两铰框架铰A处的角变，因，由附表（1）项，得：（逆时针方向，与x1反方向）图1（e）中，基础梁A端的角变，t=1，=1，=1及=0，=1，查表得：（逆时针方向，与x1同方向）由以上计算结果，得：根据位移互等定理知，12=21。（六）求未知力x1和x2将以上求出的各系数与自由项代入力法方程中，得：解得：（七）求框架的弯矩图求两铰框架的弯矩图，可将图2（c）乘以x1，图2（b）乘以x2，然后叠加，再与图2（a）叠加，最终的弯矩图见图3。图3 最终弯矩图（八）求地基梁的弯矩图图4 地基梁所受的荷载地基梁受到的荷载分别为：两端竖向荷载Fp（图3a）、中柱竖向压力x2（图3b）、两端弯矩x1（图3c），各荷载绘制于图中，并对其进行编号。各荷载引起的弯矩，见表1。地基梁的弯矩分布图见图3。表1 各荷载引起的弯矩荷载弯矩备注编号数值=0=0.5=1M=0M=1/2M=1198.031-0.18-0.210-146.15-170.500198.03-1-0.18-0.080-146.15-64.950利用对称性153.9600.290.090183.0656.810-76.981-0.18-0.21056.8166.280-76.98-1-0.18-0.08056.8125.250利用对称性-73.881-0.46-0.79-133.98 58.37 73.88-73.88-1-0.46-0.16033.98 11.82 0利用对称性72.36-16.9373.88说明：1、关于取值。参照附录3、4，荷载（=1），在中点处（=0）引起的弯矩系数（）为-0.18，在右端以左处（即，=）引起的弯矩系数（）为-0.21。利用对称性，荷载（=-1），在中点处（=0）引起的弯矩系数（）仍然为-0.18，在右端以左处（即，=）引起的弯矩系数（），则参照=1、=-时的弯矩系数，即为-0.08；荷载、，同理。2、关于正负号。参照附录3、4，以集中荷载向下为正，梁右端顺时针弯矩为正。荷载作用下，将引起中间部分向上拱起，即上弦受拉、下弦受压，因此弯矩为负。荷载均将引起梁下弦受拉，故弯矩必将为正。附录1 两个对称弯矩作用下地基梁的角变（附图1）附图1两个对称弯矩作用下地基梁的角变（1）转换公式：=表中系数（顺时针方向）；（2）表中数字以右半梁为准，左半梁数值相同，但正负相反。（3）由于=，故可根据表中系数用数值积分（梯形公式）求梁的挠度y，向下为正。例如，t=2，=0.6，=0.5处的挠度y（原点取在梁的右端）为:y= (-0.532-0.530-0.528-) (-0.1l)= 0.21225（向下）附录2 两个对称集中荷载作用下地基梁的角变（附图2）附图2两个对称集中荷载作用下地基梁的角变（1）转换公式：=表中系数（顺时针方向）；（2）当只有1个集中荷载P作用在地基梁的中点处，使用上式时须用代替P；（3）表中数字以右半梁为准，左半梁数值相同，但正负相反；（4）由于=，故可根据表中系数用数值积分（梯形公式）求梁的挠度y，向下为正。例如，t