三角函数知识点总结.doc

第六章第六章 三角函数三角函数 一 基础知识一 基础知识 定义定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 r L 定义定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重 合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 cos 正切函数 tan 余切函数 cot r y r x x y y x 定理定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan 商数关系 tan cot 1 sin cos cot cos sin 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin cos cos sin 奇变偶不变 符号看象限 2 2 定理定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 上为增函数 在区间上为减函数 最小正周 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2kk 期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 2 2 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值 2 域为 1 1 这里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 有界性 当且仅当 0 2 k x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx xk 在开区间 k k 上为 2 2 2 增函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对称中 2 心 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos sin sin 2sincos 2 2 2 2 cos cos 2coscos cos cos 2sinsin 2 2 2 2 sin cos sin sin cos sin sin sin 2 1 2 1 cos cos cos cos sin sin cos cos 2 1 2 1 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin cos 2 2 cos1 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b20 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 22 ba b 22 ba a asin bcos sin 22 ba 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 其中 a b c 分别是R C c B b A a 2 sinsinsin 角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 1 x 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象0 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向 右平移个单位得到 y Asinx 的图象 定义 4 函数 y sinx的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函 2 2 x 数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的 2 2 x 反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kxarccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 2 2 定理 16 若 则 sinx x 1 所以 cos 2 x 0 2 x 所以 sin cosx 0 又 00 所以 cos sinx sin cosx 若 则因为 sinx cosx sinxcos sincosx 2 0 x2cos 2 2 sin 2 2 2 xx 4 4 sin x 2 4 2 2 所以 0 sinx cosxcos cosx sin cosx 2 综上 当 x 0 时 总有 cos sinx 0 求证 2 2 sin cos sin cos x x 证明 若 则 x 0 由 0 得 cos cos sin 2 2 2 所以 0 sin cos 所以 0 1 sin cos 2 sin cos 所以 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 若 则 x 0 由 0 cos sin 0 2 2 2 2 所以 1 又 0 sin 1 sin cos 2 sin cos 所以 得证 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 3 最小正周期的确定 例 4 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 T 2 是函数的周期 事实上 因为 cos x cosx 所以 co x cosx 其次 当且仅当 x k 时 y 0 因为 2cosx 2 2 所以若最小正周期为 T0 则 T0 m m N 又 sin 2cos0 sin2sin 2cos 所以 T0 2 4 三角最值问题 例 5 已知函数 y sinx 求函数的最大值与最小值 x 2 cos1 解法一 令 sinx 4 3 0 4 sin2cos1 cos2 2 x 则有 y 4 sin 2sin2cos2 因为 所以 4 3 0 4 42 所以 1 4 sin 0 所以当 即 x 2k k Z 时 ymin 0 4 3 2 当 即 x 2k k Z 时 ymax 2 4 2 解法二 因为 y sinx cos1 sin2cos1 222 xxx 2 因为 a b 2 2 a2 b2 且 sinx 1 所以 0 sinx 2 x 2 cos1 x 2 cos1 所以当 sinx 即 x 2k k Z 时 ymax 2 x 2 cos1 2 当 sinx 即 x 2k k Z 时 ymin 0 x 2 cos1 2 例 6 设 0 求 sin的最大值 cos1 2 解 因为 0 0 cos 0 22 0 2 2 所以 sin 1 cos 2sin cos2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 9 34 27 16 当且仅当 2sin2 cos2 即 tan 2arctan时 sin 1 cos 取得最大值 2 2 2 2 2 2 2 2 9 34 例 7 若 A B C 为 ABC 三个内角 试求 sinA sinB sinC 的最大值 解 因为 sinA sinB 2sincos 2 BA 2 sin2 2 BABA sinC sin 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 CCC 又因为 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA 由 得 sinA sinB sinC sin 4sin 3 3 所以 sinA sinB sinC 3sin 3 2 33 当 A B C 时 sinA sinB sinC max 3 2 33 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯 西不等式 函数的单调性等是解三角最值的常用手段 5 换元法的使用 例 8 求的值域 xx xx y cossin1 cossin 解 设 t sinx cosx 4 sin 2cos 2 2 sin 2 2 2 xxx 因为 1 4 sin 1 x 所以 22 t 又因为 t2 1 2sinxcosx 所以 sinxcosx 所以 2 1 2 t 2 1 1 2 1 2 t t x y 所以 2 12 2 12 y 因为 t 1 所以 所以 y 1 1 2 1 t 所以函数值域为 2 12 11 2 12 y 例 9 已知 a0 1 an n N 求证 an 1 1 121 n n a a 2 2 n 证明 由题设 an 0 令 an tanan an 则 2 0 an tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因为 an 所以 an 所以 an 2 1 n a 2 0 1 2 1 n a 2 1 0 a n 又因为 a0 tana1 1 所以 a0 所以 4 n n a 2 1 4 又因为当 0 xx 所以 2 22 tan 22 nn n a 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 时 有 tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明 学完导数后 证 2 0 明是很容易的 6 图象变换 y sinx x R 与 y Asin x A 0 由 y sinx 的图象向左平移个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 然后 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y Asin x 的图象 也可以由 y sinx 1 的图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来 的 最后向左平移个单位 得到 y Asin x 的图象 1 例 10 例 10 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 对称 且在区间上是单调函数 求和的值 0 4 3 M 2 0 解 由 f x 是偶函数 所以 f x f x 所以 sin sin x 所以 cossinx 0 对任意 x R 成立 又 0 解得 2 因为 f x 图象关于对称 所以 0 0 4 3 M 4 3 4 3 xfxf 取 x 0 得 0 所以 sin 4 3 f 0 24 3 所以 k Z 即 2k 1 k Z 24 3 k 3 2 又 0 取 k 0 时 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 1 时 2 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 2 时 此时 f x sin x 在 0 上不是单调函数 3 10 2 2 综上 或 2 3 2 7 三角公式的应用 例 11 已知 sin sin 且 求 13 5 13 5 2 2 2 3 sin2 cos2 的值 解 因为 所以 cos 2 13 12 sin1 2 又因为 所以 cos 2 2 3 13 12 sin1 2 所以 sin2 sin sin cos cos sin 169 120 cos2 cos cos cos sin sin 1 例 12 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 试求 BCAcos 2 cos 1 cos 1 的值 2 cos CA 解 因为 A 1200 C 所以 cos cos 600 C 2 CA 又由于 120cos cos cos 120cos cos 1 120cos 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA 22 2 1 2120cos 60cos 2 2120cos 120 cos 2 1 60co