高三数学一轮平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习

巩固1已知向量a与向量b的夹角为120，若向量cab，且ac，则的值为()A. B.C2 D.解析：选A.ca(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos120|a|2|a|b|0，.故选A.2(2009年高考陕西卷)在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A BC. D.解析：选A.M是BC的中点，则()2A()2()2.3(2010年江苏四市调研)已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则()A.a2 Ba2C.a2 Da2解析：选B.结合图形易知两向量夹角为，且|a，|a，故|cos.4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析：由a(2,4)，b(1,2)，得ab286，c(2,4)6(1,2)(8，8)，|c|8.答案：85(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|3，2，则|_.解析：()()(|2|2)2|.答案：6已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?解：由已知，ab48()16.(1)|4a2b|216a216ab4b2161616(16)4643162|4a2b|16.(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20.16k16(2k1)2640，k7.练习1(2009年高考全国卷)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150B120C60 D30解析：选B.abc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，b，a，b120.2共点力F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()Alg2 Blg5C1 D2解析：选D.F1与F2的合力F(lg2lg5,2lg2)(1,2lg2)又s(2lg5,1)所以WFs2lg52lg22.3已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角为()A30或150 B60或120C120 D150解析：选C.由题意容易得出向量a、b共线，且向量a与向量ab的夹角为，可设向量ab与向量c的夹角为，则(ab)c|ab|c|cos5cos，所以cos，60，则向量a与向量c所夹的角应为120.答案为C.4若向量a与b不共线，ab0，且ca()b，则向量a与c的夹角为()A0 B.C. D.解析：选D.acaa()baa()(ab)0.ac，故选D.5.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相等，则a与b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14解析：选A.由投影计算公式可得：，即：4a585b，即4a5b3，故选A.6在ABC中，()|2，则三角形ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C.由()|2，得()0，即()0，20，A90.7已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上一点P，使有最小值，则P点的坐标是_解析：设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)因此，(x4)(x2)2x26x10(x3)21.当x3时，取得最小值1，此时P(3,0)答案：(3,0)8关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：(ab)c(ca)b0|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：平面向量的数量积不满足结合律，故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故是真命题因为(bc)a(ca)bc(bc)ac(ca)bc0，所以垂直，故假由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30，命题错误答案：9在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，|12.5，|25，由于四边形OADB为平行四边形，则|，又ODBD，在RtOBD中，BOD30，航向为北偏西30.答案：北偏西3010已知|a|，|b|2.(1)若a与b的夹角为150，求|a2b|；(2)若ab与a垂直，求a与b的夹角大小解：(1)|a2b|2(a2b)2a24ab4b2|a|24|a|b|cos1504|b|2()242cos1504227，|a2b|.(2)(ab)a，(ab)a|a|2ab0.ab|a|2.cosa，b.又0a，b180，a，b30.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的长度的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos的值解：(1)法一：bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2，当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2.所以向量bc的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即cos()cos.由，得cos()cos，即2k(kZ)，2k或2k，kZ，于是cos0或cos1.法二：若，则a(，)又由b(cos，sin)，c(1,0)得a(bc)(，)(cos1，sin)cossin.a(bc)，a(bc)0，即cossin1.sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验，cos0或cos1即为所求12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m(cos，sin)，n(cos，sin)，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若|，试判断ABC的形状解：(1)由|