高三数学一轮基础导航8.4空间向量的应用

8.4空间向量的应用【考纲要求】1、 理解直线的方向向量与平面的法向量.2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4、 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.【基础知识】一、空间直线、平面位置（平行和垂直）关系的判定和证明空间直线、平面位置（平行和垂直）关系的判定和证明一般有两种方法。方法一（几何法）：线线（平行或垂直）线面（平行或垂直）面面（平行或垂直）它体现的主要是一个转化的思想。方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。其中向量是直线的方向向量，且向量是平面的法向量，且 二、空间角和距离的计算空间的角和距离定义范围计算方法几何法向量法其它异面直线所成的角直线是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线, , 我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线和所成的角。找作（平移法）证（定义）指求（解三角形）斜线和平面所成的角斜线在平面上的射影和斜线所成的角叫做斜线和平面所成的角。找作（定义法）证（定义）指求（解三角形）平面和平面所成的角（二面角的平面角）以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。找作（定义法、三垂线法）证（定义）指求（解三角形）（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）点到平面的距离过平面外一点作平面的垂线，垂足为,点和点之间的线段的长度叫点到平面的距离。找作（定义法）证（定义）指求（解三角形）（）等体积法几何法主要体现的是一个转化的思想，即把空间的问题转化为一个平面的问题。三、空间几何的探究性问题方法一：猜想证明（几何法和向量法）方法二：先假设存在，然后探究，最后检验。四、空间几何中的最值问题 最值六法，一般用函数求最值。【例题精讲】例1 已知一四棱锥的三视图如下，是侧棱上的动点。（1）求四棱锥的体积；（2）是否不论点在何位置，都有？证明你的结论;（3）若点为的中点，求二面角的大小解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2. -2分-4分(2) 不论点E在何位置，都有BDAE-5分证明如下：连结AC，ABCD是正方形BDAC PC底面ABCD 且平面BDPC-7分又BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE -9分(3) 解法1：在平面DAE内过点D作DGAE于G，连结BGCD=CB,EC=EC, ED=EB, AD=AB EDAEBABGEA 为二面角DEAB的平面角-12分BCDE, ADBC ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=-14分解法：以点C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而-11分设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，-13分设二面角DAEB的平面角为，则例2 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III）又由题设，平面的一个法向量为 8.4空间向量的应用强化训练【基础精练】1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC ACBA1B1C1DE（）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小。例2在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【拓展提高】1如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。【基础精练参考答案】ACBA1B1C1DE连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以与平面所成的角为302【解析】：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为【拓展提高参考答案】1.【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法：（）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得