2013年高考数学试题分类汇编——数列(打印版).doc

2013 年高考数学试题分类汇编 数列 一 选择题 1 2010 浙江理数 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 5 C 8 D 11 解析 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所求 式可知答案选 D 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 属中档题 2 2010 全国卷 2 理数 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C 命题意图 本试题主要考查等差数列的基本公式和性质 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 3 2010 辽宁文数 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公 比q A 3 B 4 C 5 D 6 解析 选 B 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 4 2010 辽宁理数 6 设 an 是有正数组成的等比数列 n S为其前 n 项和 已知 a2a4 1 3 7S 则 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 答案 B 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同学们解决问题的能力 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因为 2 31 1 7Saqq 联力两式 有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 故选 B 5 2010 全国卷 2 文数 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 解析 C 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 6 2010 江西理数 5 等比数列 n a中 1 2a 8 a 4 函数 128 f xx xaxaxa 则 0f A 6 2 B 9 2 C 12 2 D 15 2 答案 C 解析 考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所学的数学知识 思想和 方法 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则 0f只与函数 f x的一次项有关 得 412 123818 2a aaaa a 7 2010 江西理数 4 2 111 lim 1 333n x A 5 3 B 3 2 C 2 D 不存在 答案 B 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 8 2010 安徽文数 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 5 A 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据 1 2 nnn aSSn 即可得出结论 9 2010 重庆文数 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 解析 由角标性质得 195 2aaa 所以 5 a 5 10 2010 浙江文数 5 设 n s为等比数列 n a的前 n 项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所求式可知 答案选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 11 2010 重庆理数 1 在等比数列 n a中 20102007 8aa 则公比 q 的值为 A 2 B 3 C 4 D 8 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 12 2010 北京理数 2 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 答案 C 13 2010 四川理数 8 已知数列 n a的首项 1 0a 其前n项的和为 n S 且 11 2 nn SSa 则 lim n n n a S A 0 B 1 2 C 1 D 2 解析 由 11 2 nn SSa 且 211 2 nn SSa 作差得 an 2 2an 1 又 S2 2S1 a1 即 a2 a1 2a1 a1 a2 2a1 故 an 是公比为 2 的等比数列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1 则 1 1 1 21 limlim 21 2 n n n nn n aa Sa 答案 B 14 2010 天津理数 6 已知 n a是首项为 1 的等比数列 n s是 n a的前 n 项和 且 36 9ss 则数列 1 n a 的前 5 项和为 A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D 15 8 答案 C 解析 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质 属于中等题 显然 q 1 所以 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 所以 1 n a 是首项为 1 公比为 1 2 的等比数 列 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 温馨提示 在进行等比数列运算时要注意约分 降低幂的次数 同时也要注意基本量法的应用 15 2010 广东理数 4 已知 n a为等比数列 Sn是它的前 n 项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的 等差中项为 5 4 则 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 4 C 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 16 2010 广东文数 17 2010 全国卷 1 文数 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知识 着重考查 了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 18 2010 全国卷 1 理数 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 中 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 19 2010 湖北文数 7 已知等比数列 m a 中 各项都是正数 且 1 a 32 1 2 2 aa成等差数列 则 910 78 aa aa A 12 B 12 C 32 2 D32 2 20 2010 山东理数 21 2010 安徽理数 10 设 n a是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A 2XZY B Y YXZ ZX C 2 YXZ D Y YXX ZX 10 D 分析 取等比数列1 2 4 令1n 得1 3 7XYZ 代入验算 只有选项 D 满足 方法技巧 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能排除 3 个选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续排除 本题也可以首项 公比即项 数 n 表示代入验证得结论 22 2010 湖北理数 7 如图 在半径为 r 的园内作内接正六边形 再作正六边形的内切圆 又在此内切 圆内作内接正六边形 如此无限继续下去 设 n s为前 n 个圆的面积之和 则lim n n s A 2 2 r B 8 3 2 r C 4 2 r D 6 2 r 23 2010 福建理数 3 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 11a 46 6aa 则当 n S取最小 值时 n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 设该数列的公差为d 则 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以当6n 时 n S取最小值 命题意图 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最值的求法及计算 能力 二 填空题 24 2010 浙江理数 14 设 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 将 0 k akn 的最小值记为 n T 则 2345 3355 1111 0 0 2323 n TTTTT 其中 n T 解析 本题主要考察了合情推理 利用归纳和类比进行简单的推理 属容易题 25 2010 陕西文数 11 观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 解析 第 i 个等式左边为 1 到 i 1 的立方和 右边为 1 到 i 1 和的完全平方 所以第四个等式为 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 26 2010 辽宁文数 14 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 36 324SS 则 9 a 解析 填 15 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 27 2010 辽宁理数 16 已知数列 n a满足 11 33 2 nn aaan 则 n a n 的最小值为 答案 21 2 命题立意 本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性 考查 了同学们综合运用知识解决问题的能力 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 1 2 n 1 33 33 n2 n 所以 33 1 n a n nn 设 f n 33 1n n 令 f n 2 33 10 n 则 f n在 33 上是单调递增 在 0 33 上是递减的 因为 n N 所以当 n 5 或 6 时 f n有最小值 又因为 5 53 55 a 6 6321 662 a 所以 n a n 的最小值为 6 21 62 a 28 2010 浙江文数 14 在如下数表中 已知每行 每列中的树都成等差数列 那么 位于下表中的第 n 行第 n 1 列的数是 答案 2 nn 29 2010 天津文数 15 设 an 是等比数列 公比2q Sn为 an 的前 n 项和 记 2 1 17 nn n n SS TnN a 设 0 n T为数列 n T 的最大项 则 0 n 答案 4 解析 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用 属于中等题 2 11 2 1 17 1 2 1 2 1 2 17 2 16 1212 2 12 2 nn nn n nn aa T a 116 2 17 12 2 n n 因为 16 2 2 n n 8 当且仅当 2 n 4 即 n 4 时取等号 所以当 n0 4 时 Tn有最大值 温馨提示 本题的实质是求 Tn取得最大值时的 n 值 求解时为便于运算可以对 2 n进行换元 分子 分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解 30 2010 湖南理数 15 若数列 n a满足 对任意的nN 只有有限个正整数m使得 m an 成立 记这样的m的个数为 n a 则得到一个新数列 n a 例如 若数列 n a是1 2 3 n 则数 列 n a 是0 1 2 1 n 已知对任意的Nn 2 n an 则 5 a n a 31 2010 福建理数 11 在等比数列 n a中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式 n a 答案 n 1 4 解析 由题意知 111 41621aaa 解得 1 1a 所以通项 n a n 1 4 命题意图 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 属基础题 32 2010 江苏卷 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k 为正整 数 a1 16 则 a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 2 2 kkk yaaxa 当0y 时 解得 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 三 解答题 33 2010 上海文数 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 6 分 第 2 个小题满分 8 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n 解析 1 当 n 1 时 a1 14 当 n 2 时 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以 1 5 1 1 6 nn aa 又 a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 1 5 115 6 n n a 得 1 5 1 15 6 n n a 从而 1 5 7590 6 n n Sn n N 由 Sn 1 Sn 得 1 52 65 n 5 6 2 log114 9 25 n 最小正整数 n 15 34 2010 湖南文数 20 本小题满分 13 分 给出下面的数表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从第 2 行起 每行中的每个数都等 于它肩上的两数之和 I 写出表 4 验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推广到表 n n 3 不要求证明 II 每个数列中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 n b 求和 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b 35 2010 全国卷 2 理数 18 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和 2 3n n Snn A 求lim n n n a S 证明 12 222 3 12 n n aaa n 命题意图 本试题主要考查数列基本公式 1 1 1 2 n nn s n a ssn 的运用 数列极限和数列不等式的证 明 考查考生运用所学知识解决问题的能力 参考答案 点评 2010 年高考数学全国 I 这两套试卷都将数列题前置 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题 作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基本方法基本技能 重视两纲的导向 作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 估计以后的高考 对数列的考查主要涉及数列的基本公式 基本性质 递推数列 数列求和 数列极限 简 单的数列不等式证明等 这种考查方式还要持续 36 2010 陕西文数 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 解 由题设知公差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得1 2 1 d 1 8 12 d d 解得 d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知2 m a 2n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 2 1 2 1 2 n 2n 1 2 37 2010 全国卷 2 文数 18 本小题满分 12 分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 解析 本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN 的通项公式 由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列 分别求和即可求得 38 2010 江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得 222 abc 成等差数列 2 存在无穷多个互不相似的三角形 n 其边长 nnn abc 为正整数且 222 nnn abc 成等差数 列 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 222 2acb 类似勾股数进行拼凑 证明 考虑到结构特征 取特值 222 1 5 7满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正整数 a 均能成立 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形 再证明互不 相似 且无穷 证明 当 222 nnn abc 成等差数列 则 2222 nnnn bacb 分解得 nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式 2 4 1 n n 做两种途径的分解 222 4 1 22 22 22 22 n nnnnnnn 2 4 1 n n 对比目标式 构造 2 2 2 21 1 4 21 n n n ann bnn cnn 由第一问结论得 等差数列成立 考察三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m n 相似 则三边对应成比例 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得 11 11 mm mn nn 与约定不同的值矛盾 故互不相似 39 2010 安徽文数 21 本小题满分 13 分 设 12 n C CC 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在 x轴的正半轴上 且都与直线 3 3 yx 相切 对每一个正整数 n 圆 n C都与圆 1n C 相互外切 以 n r表示 n C的半径 已知 n r为递增数列 证明 n r为等比数列 设 1 1r 求数列 n n r 的前n项和 命题意图 本题考查等比列的基本知识 利用错位相减法求和等基本方法 考察抽象概括能力以及推理论 证能力 解题指导 1 求直线倾斜角的正弦 设 n C的圆心为 0 n 得2 nn r 同理得 11 2 nn r 结 合两圆相切得圆心距与半径间的关系 得两圆半径之间的关系 即 n r中 1n r 与 n r的关系 证明 n r为等 比数列 2 利用 1 的结论求 n r的通项公式 代入数列 n n r 然后用错位相减法求和 n nnnn n n 1n 1n 1nnn 1n 1nn n 1n n n 11 n nn n n 12 331 sin 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n 3 r 12 rr x C 解 1 将直线y 的倾斜角记为 则有t an 设的圆心为 0 则由题意得知 得 同理 从而 将代入 解得 故为公比的等比数列 由于 故 从而 记S 121 n 121 n 121 n 1 1 r 12 33 3 3 1 32 3 1 3 3 3 1 33 3 3 3 1 333 3 3 2 22 3 9139 23 3 3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S 得 2S 方法技巧 对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 得出关于数列相邻项 n a与 1n a 之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出通项公式或其他所求结论 对于 数列求和问题 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时 通常是利用前 n 项和 n S乘以公比 然后错位相减解决 40 2010 重庆文数 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知 n a是首项为 19 公差为 2 的等差数列 n S为 n a的前n项和 求通项 n a及 n S 设 nn ba 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 n b的通项公式及其前n项和 n T 41 2010 浙江文数 19 本题满分 14 分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 56 S S 15 0 若 5 S 5 求 6 S及 a1 求 d 的取值范围 42 2010 重庆理数 21 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 在数列 n a中 1 a 1 1 1 21 n nn acacnnN 其中实数0c I 求 n a的通项公式 II 若对一切 kN 有 21kzk aa 求 c 的取值范围 43 2010 山东文数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a 及 n S 令 2 1 1 n n b a nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 44 2010 北京文数 16 本小题共 13 分 已知 n a为等差数列 且 3 6a 6 0a 求 n a的通项公式 若等差数列 n b满足 1 8b 2123 baaa 求 n b的前 n 项和公式 解 设等差数列 n a的公差d 因为 36 6 0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10 2ad 所以10 1 2212 n ann 设等比数列 n b的公比为q 因为 2123 24 8baaab 所以824q 即q 3 所以 n b的前n项和公式为 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 45 2010 北京理数 20 本小题共 13 分 已知集合 121 0 1 1 2 2 nn SX Xx xxxin n 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 i d A Bab 证明 nn A B CSABS 有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 设 P n S P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 mn m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S 因为 i a 0 1 i b 所以 0 1 ii ab 1 2 in 从而 1122 nnn ABabababS 又 1 n iiii i d AC BCacbc 由题意知 i a i b i c 0 1 1 2 in 当0 i c 时 iiiiii a cbcab 当1 i c 时 1 1 iiiiiiii a cbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B II 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 记 0 0 0 n OS 由 I 可知 d A Bd AA BAd O BAk d A Cd AA CAd O CAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain 中 1 的个数为k 1 2 ii cain 的 1 的 个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则2hlkt 由此可知 k l h三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 A B P m d Pd A B C 其中 A B P d A B 表示P中所有两个元素间距离的总和 设P种所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1 i mt 个 0 则 A B P d A B 1 n ii i t mt 由于 i t i mt 2 1 2 4 m in 所以 A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 1 42 1 A B P mm nmmn d Pd A B CCm 46 2010 四川理数 21 本小题满分 12 分 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决问题的能力 解 1 由题意 零 m 2 n 1 可得 a3 2a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2a3 a1 8 20 2 分 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为 b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则 bn 8n 2 即 a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令 m 1 可得 an 211 2 n aa n 1 2 那么 an 1 an 2121 2 nn aa 2n 1 82 2 n 2n 1 2n 于是 cn 2nqn 1 当 q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当 q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以 Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n nq nqnq q q A 12 分 47 2010 天津文数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 a 0 且对任意 k N 2k 12k2k 1 a a a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 a a a成等比数列 求数列 n a的通项公式 记 222 23 23 n n n T aaa A A A 证明 n 3 2nT2 n 2 2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运 算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 证明 由题设可知 21 22aa 32 24aa 43 48aa 54 412aa 65 618aa 从而 65 54 3 2 aa aa 所以 4 a 5 a 6 a成等比数列 II 解 由题设可得 2121 4 kk aak kN 所以 2112121212331 kkkkk aaaaaaaa 441 4 1kk 21 k kkN 由 1 0a 得 21 21 k ak k 从而 2 221 22 kk aakk 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1 2 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a nN III 证明 由 II 可知 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若1m 则 2 2 22 n k k k n a 若2m 则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an 从而 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 和 2 可知 对任意2 nnN 有 3 22 2 n nT 48 2010 天津理数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 0a 且对任意 kN 21k a 2k a 21k a 成等差数列 其公差为 k d 若 k d 2k 证明 2k a 21k a 22k a 成等比数列 kN 若对任意 kN 2k a 21k a 22k a 成等比数列 其公比为 k q 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基础知 识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 证明 由题设 可得 4 2121 aak kN kk 所以 131 2121212123 aaaaaaaa kkkkk 44 1 4 1kk 2k k 1 由 1 a 0 得 22 2 1 22 2 1 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以 2 22122 k dkkNaaa kkk 时 对任意成等比数列 证法一 i 证明 由 2 2121 k aaa kk 成等差数列 及 22122 aaa kkk 成等比数列 得 21211 2 2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当 1 q 1 时 可知 k q 1 k N 从而 11111 1 1 2 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以 1 1qk 是等差数列 公差为 1 证明 1 0a 2 2a 可得 3 4a 从而 1 4 2 2 q 1 1 1 q 1 由 有 11 11 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 2 22211221 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk 从而 因此 222 2 2 222 1 2 22214 22 2 1 2212 1 2 1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2 2 22 n k k k n a 若 m 2 则 2222 1 2 2111 221 2 21 4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 22 111 111 4414411 11 222 2 1 2 1 2 1 21 1131 22 1 1 2 22 mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2 22 4 6 8 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 2 当 n 为奇数时 设 n 2m 1 mN 2 222 2 22 21 21 31 21 4 222 1 nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22 1 21 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 2 可知 对任意2n nN 有 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二 i 证明 由题设 可得 212222 1 kkkkkkkk daaq aaaq 2 12221222 1 kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 所以 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由 1 1q 可知1 k qkN 可得 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以 1 1 k q 是等差数列 公差为 1 ii 证明 因为 12 0 2 aa 所以 121 2daa 所以 321 4aad 从而 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 于是 由 i 可知所以 1 1 k q 是公差为 1 的等差数列 由等差数列的通项公式可得 1 1 k q 11kk 故 1 k k q k 从而 1 1 k k k dk q dk 所以 12 1121 12 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 由 1 2d 可得 2 k dk 于是 由 i 可知 2 212 21 2 kk ak kakkN 以下同证法一 49 2010 全国卷 1 理数 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 n a中 11 1 1 n n aac a 设 51 22 n n cb a 求数列 n b的通项公式 求使不等式 1 3 nn aa 成立的c的取值范围 50 2010 四川文数 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数