福建高三数学总训练立体几何

2006年福建省高三数学总复习专题训练 立体几何专题一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：立体几何提 要主 要 内 容重 点 内 容位置关 系 两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直距 离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离两条异面直线的距离、点到平面的距离角 度两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角二、主要解题方法：（一）位置关系：1、两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。（二）求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法：利用公式（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）（三）求角1、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为或3、平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos，注意到我们要求的角为或）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosx，则这两条异面直线所成的角为arccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，若求出的角为锐角，就用，若求出的钝角，就用。5、求平面与平面所成角的时，若用第、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。四、典型例题：1、 二面角是直二面角，设直线与所成的角分别为1和2，则（A）1+2=900 （B）1+2900 （C）1+2900 （D）1+2900解析：C如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1和2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2. 已知正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB1，则A1B与AC1所成的角为（ ） （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200C解析：作CDAB于D，作C1D1A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1BAC1，选C。3如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于 A45 B60 C90 D120（ ）解析：B 如图4OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长为_.解析：在长方体OXAYZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=5. 设a 、b 是两个平面，l和m是两条直线，那么a b 的一个充分条件是（）Ala ，ma ，且lb ，mb Bla ，mb ，且lmCla ，mb ，且lm Dla ，mb ，且lm解析：C可参看图答9-31图答9-316. 平面a 平面b ，过平面a 、b 外一点P引直线PAB分别交a 、b 于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交a 、b 于C、D两点已知BD=12，则AC的长等于（）A10B9C8D7解析：B如图答9-32，平面PBDa =AC，平面PBDb =BD，a b ，ACBD由平面几何知识知，PA=6，AB=2，BD=12，AC=97. SA、SB、SC是从S点出发的三条射线，若，则二面角B-SA-C的大小为（）A B C D解析：C在SA上任取一点E，作EFSA交SC于F，作EGSA交SB于G，连结FG，则GEF为二面角B-SA-C的平面角8. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于( )A.120 B.150 C.135 D.90解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BOa,DOa，连AB，因为DAAE，DABE，故DA面AEB，所以DAAB，故DAB为直角三角形，BD=a.又在BOD中，由余弦定理可得 cosBOD-，所以BOD1209. 定点P不在ABC所在平面内，过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（）（）个（）个（）个（）个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求10. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，则P到A点的距离是（）（）（）（）（）解析：（A）设ABa，BCb，PAh，则a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,h=111. 线段AB的两个端点A，B到平面的距离分别为6cm, 9cm, P在线段AB上，AP：PB：，则P到平面的距离为解析：cm或cm分A，B在平面的同侧与异侧两种情况同侧时，P到平面的距离为（cm），异侧时，P到平面的距离为（cm）12. 如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，则CM与平面BCD所成角的余弦值为 解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗解作AO平面BCD于O，连DO，作MN平面BCD于N，则NOD设ADa，则OD，AO，MN又CM，CNCM与平面BCD所成角的余弦值为13. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5解析： 如图，设球的半径是r，则BD25，AC28，BD25，AC28.又AB1，设OAx.x2+8r2,(x+1)2+5r2.解之，得r3故选B14. 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60角，则它的外接球的表面积是 .解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，ADAB，PAD60，PDADtan602,PA，而APAE，PA2PDPE，R，S球(cm)2.15. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为，则A、B两地经度的差是 .解析：如图，O为球心，O1为北纬45小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B两地的经度差.解： 设O1是北纬45圆的中心，A、B都在此圆上，O1AO1BR.A、B的球面距离为，AOB,AOB为等边三角形.ABR，在AO1B中，O1A2+O1B2R2+R2R2AB2，AO1B90.A、B两地的经度差是9016. 三棱锥ABCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为、，则cos+cos+cos= .解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.记为S，侧面在底面的射影分别为S1、S2、S3则=cos, =cos, =coscos+cos+cos=117、已知三棱锥PABC中PB底面ABC，PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA. （1）求证：平面PACPBC； （2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.证明（1）：PB底面ABC，PBAC，又BCA=90AC平面PBC又AC平面PAC，平面PAC平面PBC （2）解：设FE的延长线与AC的延长线交于M，连MB，则MB为平面BEF与平面ABC的交线在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F是PA的四等分点， 取BC的中点H，则EH/PB， EH底面ABC 过H作HOMB于O，由三垂线定理，EOMB则EOH为平面BEF与底面ABC所成二面角的平面角在，在即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为 若利用面积射影法，指出HDB是EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积7分 计算出 即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为 18、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（1）求证：AMPD；（2）求二面角PAMN的大小；（3）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （1）证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD， PACD.CD平面PADAM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD. （2）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角.PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .即二面角PAMN的大小为. （3）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中， CD与平面AMN所成的角的大小为19、如图，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点， （1）求证平面AGC平面BGC； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值. （3）求二面角BACG的大小.（1）证明：正方形ABCD 面ABCD面ABEF且交于AB，CB面ABEF AG，GB面ABEF， CBAG，CBBG又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，AG=BG=，AB=2a， AB2=AG2+BG2，AGBG CGBG=B AG平面CBG 而AG面AGC， 故平面AGC平面BGC （2）解：如图，由（）知面AGC面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BHGC，垂足为H，则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角在RtCBG中 又BG=， （3）由（）知，BH面AGC 作BOAC，垂足为O，连结HO，则HOAC，为二面角BACG的平面角 在在RtBOH中， 即二面角BACG的大小为ACBDHzEA1D1B1C1yx20、如图，在正方体中，是棱的中点，为平面内一点，。（1）证明平面