立几二空间角与距离

立几专题二 空间角与距离一、 复习目标（1） 理解空间角与距离的概念（2） 掌握空间角与距离的常用计算方法，培养学生的空间想象能力二、考题聚焦：1、（2002年上海）在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_ （结果用反三角函数值表示）BAHCDEFG IJ2、（2003年北京）如图在正三角形ABC中,E、D、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将三角形沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）A 90 B 60 C 45 D 303、（2000年全国）如图已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60（1） 证明C1CBD;（2） 假定CD=2 ; C1C=3/2 ; 记面C1BD为 . CBD 为 ，求二面角-BD-的平面角的余弦值.当CD/CC1的值为多少时能使A1C平面C1BD？请给出证明三、 例题研究：例1如图，多面体ABCD满足以下条件：且 都与面垂直。（1）求平面与平面所成锐二面角大小；（2）求异面直线EC与AB所成角的余弦值；（3） 求三棱锥BACE的体积。（4） 求B到平面AEC的距离。例2、如图所示正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为（1） 求侧面PAD 与底面ABCD所成二面角的大小 （2） 若E 是PB 中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值 （3）在侧面PAD上寻找一点F使EF侧面PBC，试确定F的位置并证明PEDCBA 例3、如图正三棱柱ABC-ABC的棱BB上有一动点E（1）当截面AEC垂直于侧面AC时，求动点E的位置；其逆命题是否成立？（2）在（1）问的前提下，若又有AA=AB,求平面AEC与平面ABC所成锐二面角度数。(3)在（1）的前提下，是否存在平面AEC与平面ABC所成锐角二面角为的情况？若存在，需追加什么条件？若不存在，说明理由。四、小结反思1求空间角主要运用降维的观念；2运用等积及分割等方法求体积；冲刺强化训练(2)班级 姓名 学号 成绩 日期 月 日1、在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（ ）A B C D 2、直线与直二面角的两个面所成角分别为1和2，则1+2的范围是（ ）BCDAA B C D 3、将正方体的纸盒展开（如图），直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（ ）A 平行 B 垂直 C 相交且成角 D 异面且成角4、锐二面角-l-的棱l上一点A，射线AB，且与棱成45角，与成30角，则二面角-l-的大小是（ ）A 30 B 45 C 60 D 905、A1B1C1-ABC三棱柱的底面是正三角形且A1AB=A1AC，点A1到底面ABC的距离等于点A1到侧面的距离，则 =_OAMNBBOMN6，在水平横梁上A、B两点各挂上长为50cm的细线AM、BN，在M、N处挂下长为60cm的木条，使AMNB成矩形，O为MN的中点，当木条绕着铅垂线OO旋转60度时，木条升高了 cm7、如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点（1） 求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小（2） 求证平面MND平面PCD（3） 求当AB的长度变化时异面直线PC与AD所成角的取值范围8、B地在A地正东6公里处，一架飞机保持一定的高度以一定的速度往东北方向飞行，从地面上对飞机进行观测，先测得在A点正南，仰角为的P点处，一分钟后，又测得在B点西北，仰角为，假设A、B两地的高度相同，求飞机飞行的速度。立几专题二 空间角与距离（1）答案1， 2，B 3，解：连结、AC，AC和BD交于O，连结，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=BD，又 但平面，又 平面，。 （2）由（1）知是二面角的平面角。在中 即，作，垂足为H，点H是OC的中点，且， 。（3）当时，能使平面。由（1）知，平面，平面，当时，平行六面体六个面是全等的菱形。同理可得，又平面。例1，解：（1）已知CD平行且等于，延长ED，BC交于G，连AG；则CG=CB=CA=2，所以，由BE面AED知；所以为面ABC及面AED所成角中，所以（2）取AG中点F，连CF，则CFBA；从而为异面直线EC与AB所成角；在中，已得从而得。（3）例2,(1)二面角大小为（2）（3）M是AD中点，N是BC中点，BC与平面PMN垂直，平面PMN与平面PBC垂直，取AM中点为F，则EF垂直平面PBC例2解如图建立空间向量坐标系：设A（-2，-2，0）, B（2，-2，0）,C（2， 2，0）D（-2， 2，0）, P（0，）,O（0，0，0）=(0,0, ), =(-2，-2，0),=（-2, 2，0）, =(0,-4,0), =(2,2, )面POD的法向量=，且x+y+z=1, ， ,x=,y=z, 侧面与底面成角6 （2）当E为PB的中点时，则E (-1,1, ). (3,1, )，(2,2, ).2 (3)(3,-3,), =(1,1, ). (3,-1,), +=(3 z+3y-3 x,-x-3y-z,x-y-z), x+3y+z=0, y=- x+y+z=1, 2z +6y-6 x - 2x-6y-2z6 y-6x-6z=0-14x+6y-6z=0 例3解法一（1）E为BB中点，其逆命题成立（2）延长CE，CB交于F，连AF，易证为二面角的平面角锐角二面角的度数为（3）需追加解法二：作EFAC垂足为F，M则截面AEC侧面AC的充要条件是F在AC上，即A、F、C三点共线。解法三 建立空间直角坐标系。设正三棱柱底面边长为a，高h ，B E=t 则A(0,0,0),E,C(0,a,h), F(0,t)则AC(0,a,h), AF(0,t)由得：t=冲刺强化训练1 、 C 2 、