北京市海淀区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知圆（ x+1） 2+，则其圆心和半径分别为（ ） A（ 1， 0）， 2 B（ 1， 0）， 2 C D 2抛物线 y 的焦点到准线的距离为（ ） A B 1 C 2 D 4 3双曲线 4 的一条渐近线的方程为（ ） A 2x+y=0 B 2x+y=1 C x+2y=0 D x+2y=1 4在空间中， “直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a， b 互为异面直线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 A， B 为圆 x2+的两点，若 A， B 关于直线 y=2x+1 对称，则实数 a=（ ） A B 0 C D 1 6已知直线 l 的方程为 x =0，则直线 l（ ） A恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴 B恒过点（ 2， 0）且不垂直 y 轴 C恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴 D恒过点（ 2， 0）且不垂直 y 轴 7已知直线 x+1=0 和直线 y+2=0 互相平行，则 a 的取值是（ ） A 2 B 2 C 2 D 0 8已知两直线 a， b 和两平面 ， ，下列命题中正确的为（ ） A若 a b 且 b ，则 a B若 a b 且 b ，则 a C若 a 且 b ，则 a b D若 a 且 ，则 a 9已知点 A（ 5， 0），过抛物线 x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直且交于点 B，若|则 ） A 0 B C D 10如图，在边长为 2 的正方体 ， E 为 中点，点 P 在底面 满足 线段 长度的最大值为（ ） A B 2 C D 3 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 第 2 页（共 14 页） 11已知命题 p： “ x R， 0”，则 p： 12椭圆 的长轴长为 13若曲线 C： 2 m） 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为 14如图，在四棱锥 P ，底面四边形 两组对边均不平行 在平面 不存在直线与 行； 在平面 存在无数多条直线与平面 行； 平面 平面 交线与底面 平行； 上述命题中正确命题的序号为 15已知向量 ，则 与平面 成角的正弦值为 16 若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分 明过程或演算步骤 . 17已知 三个顶点坐标为 A（ 0， 0）， B（ 8， 4）， C（ 2， 4） （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）若 外接圆截直线 4x+3y+m=0 所得弦的弦长为 6，求 m 的值 18如图所示的几何体中， 2， 平面 平面 方形 边长为 2， E 为棱 点，平面 别与棱 于点 F， G （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 D B 的大小，并求 长 第 3 页（共 14 页） 19已知椭圆 G： 的离心率为 ，经过左焦点 1， 0）的直线l 与椭圆 G 相交于 A， B 两点，与 y 轴相交于 C 点，且点 C 在线段 （ ）求椭圆 G 的方程； （ ）若 |求直线 l 的方程 第 4 页（共 14 页） 2015年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知圆（ x+1） 2+，则其圆心和半径分别为（ ） A（ 1， 0）， 2 B（ 1， 0）， 2 C D 【考点 】 圆的标准方程 【分析】 利用圆的标准方程的性质求解 【解答】 解：圆（ x+1） 2+ 的圆心为（ 1， 0）， 半径为 故选： D 2抛物线 y 的焦点到准线的距离为（ ） A B 1 C 2 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 直接利用抛物线方程求解即可 【解答】 解：抛物线 y 的焦点到准线的距离为： P=2 故选： C 3双曲线 4 的一条渐近 线的方程为（ ） A 2x+y=0 B 2x+y=1 C x+2y=0 D x+2y=1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，求得 a， b，由双曲线的渐近线方程 y= x，即可得到所求结论 【解答】 解：双曲线 4 即为 ，可得 a= ， b=1， 由双曲线的渐近线方程 y= x， 可得所求渐近线方程为 y= 2x 故选： A 4在空间中， “直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a， b 互为异面直线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 第 5 页（共 14 页） 【分析】 利用空间中两直线的位置关系直接求解 【解答】 解： “直线 a， b 没有公共点 ”“直线 a， b 互为异面直线或直线 a， b 为平行线 ”， “直线 a， b 互为异面直线 ”“直线 a， b 没有公共点 ”， “直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a， b 互为异面直线 ”的必要不充分条件 故选： B 5已知 A， B 为圆 x2+的两点，若 A， B 关于直线 y=2x+1 对称，则实数 a=（ ） A B 0 C D 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据题意，圆心 C（ a， 0）在直线 y=2x+1 上， C 的坐标并代入直线 2x+y+a=0，再解关于 a 的方程，即可得到实数 a 的值 【解答】 解： A， B 为圆 x2+的两点 ， A， B 关于直线 y=2x+1 对称， 圆心 C（ a， 0）在直线 y=2x+1 上， 2a+1=0，解之得 a= 故选： A 6已知直线 l 的方程为 x =0，则直线 l（ ） A恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴 B恒过点（ 2， 0）且不垂直 y 轴 C恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴 D恒过点（ 2， 0）且不垂直 y 轴 【考点】 直线的一般式方程 【分析】 由直线 l 的方程为 x =0，令 y=0，解得 x 即可得出定点，再利用斜率即可判断出与 y 轴位置关系 【解答】 解：由直线 l 的方程为 x =0，令 y=0，解得 x= 2于是化为： y= x 1， 恒过点（ 2， 0）且不垂直 y 轴， 故选： B 7已知直线 x+1=0 和直线 y+2=0 互相平行，则 a 的取值是（ ） A 2 B 2 C 2 D 0 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由直线的平行关系可得 1 4 aa=0，解得 a 值排除重合可得 【解答】 解： 直线 x+1=0 和直线 y+2=0 互相平行， 1 4 aa=0，解得 a=2 或 a= 2， 经验证当 a= 2 时两直线重合，应舍去 故选： A 8已知两直线 a， b 和两平面 ， ，下列命题中正确的为（ ） A若 a b 且 b ，则 a B若 a b 且 b ，则 a C若 a 且 b ，则 a b D若 a 且 ，则 a 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择 第 6 页（共 14 页） 【解答】 解：对于 A，若 a b 且 b ，则 a 与 位置关系不确定；故 A 错误； 对于 B，若 a b 且 b ，则 a 与 位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故 B 错误； 对于 C，若 a 且 b ，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到 a b；故 C 正确； 对于 D，若 a 且 ，则 a 或者 a 在平面 内，故 D 错误； 故选： C 9已知点 A（ 5， 0），过抛物线 x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直且交于点 B，若|则 ） A 0 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出 P在 ，则 = ，可得 20，即可求出 【解答】 解：由题意， | P 的横坐标为 3，不妨取点 P（ 3， 2 ）， 设 P 在 x 轴上的射影为 C，则 = ， 0， 20， 故选： C 10如图，在边长为 2 的正方体 ， E 为 中点，点 P 在底面 满足 线段 长度的最大值为（ ） A B 2 C D 3 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段 长度的最大值 【解答】 解：以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 P（ a， b， 0），则 0， 0， 2）， E（ 1， 2， 0）， 2， 2， 2）， =（ a 2， b 2， 2）， =（ 1， 2， 2）， 第 7 页（共 14 页） =a 2+2（ b 2） +4=0， a+2b 2=0， 点 P 的轨迹是一条线段，当 a=0 时， b=1；当 b=0 时， a=2， 设 点 F，则点 P 在线段 ， 当 A 与 P 重合时，线段 长度为： | =2 ； 当 P 与 F 重合时， P（ 0， 1， 0）， =（ 2， 1， 2），线段 长度 | |=3， 当 P 在线段 中点时， P（ 1， ， 0）， =（ 1， ， 2），线段 长度 |= = 线段 长度的最大值为 3 故选： D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11已知命题 p： “ x R， 0”，则 p： x R， 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是 特称命题，所以命题 p： “ x R， 0”，则 p： x R， 0 故答案为： x R， 0 12椭圆 的长轴长为 6 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 将椭圆化为标准方程，求得 a=3，即可得到长轴长 2a 【解答】 解：椭圆 即为 +， 即有 a=3， b=1， 第 8 页（共 14 页） 则长轴长为 2a=6 故答案为： 6 13若曲线 C： 2 m） 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为 （ 2， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得 m 0 且 m 2 0，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：曲线 C： 2 m） 是焦点在 x 轴上的双曲线， 可得 =1，即有 m 0，且 m 2 0， 解得 m 2 故答案为：（ 2， +） 14如图，在四棱锥 P ，底面四边形 两组对边均不平行 在平面 不存在直线与 行； 在平面 存在无数多条直线与平面 行； 平面 平面 交线与底面 平行； 上述命题中正确命题的序号为 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 用反证法利用线面平行的性质即可证明 设平面 面 l，则 l平面 在平面 有无数无数多条直线与 可判断； 用反证法利用线面平行的性质即可证明 【解答】 解： 用反证法 设在平面 存在直线与 行， 则 平面 又 平面 面 B，平面 面 D， 故 已知矛盾，故原命题正确； 设平面 面 l， 则 l平面 在平面 有无数无数多条直线与 l 平行， 故在平面 存在无数多条直线与平面 行，命题正确； 用反证法 第 9 页（共 14 页） 设平面 平面 交线 l 与底面 行， 则 l l 可得： 已知矛盾，故原命题正确 故答案为： 15已知向量 ，则 与平面 成角的正弦值为 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 求出平面 法向量，利用向量法能求出 与平面 成角的正弦值 【解答】 解： 向量 ， = =（ 1， 2， 0）， = =（ 1， 0， 3）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=6，得 =（ 6， 3， 2）， 设 与平面 成角为 ， 则 = = 与平面 成角的正弦值为 故答案为： 16若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为 2，底边的高为 1，棱锥的高为棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点 第 10 页（共 14 页） 【解答】 解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为 2，底边的高为 1， 底面三角形的腰为 ，棱锥的高为 V= = ， S= + 2+ =3 故答案为 ， 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分 明过程或演算步骤 . 17已知 三个顶点坐标为 A（ 0， 0）， B（ 8， 4）， C（ 2， 4） （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）若 外接圆截直线 4x+3y+m=0 所得弦的弦长为 6，求 m 的值 【考点】 直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程 【分析 】 （ 1）证明 = 16+16=0，可得 ，即可证明 直角三角形； （ 2）求出 外接圆的方程，利用 外接圆截直线 4x+3y+m=0 所得弦的弦长为 6，可得圆心到直线的距离 d=4，即可求 m 的值 【解答】 （ 1）证明： A（ 0， 0）， B（ 8， 4）， C（ 2， 4）， =（ 8， 4）， =（ 2， 4）， = 16+16=0， ， 直角三角形； （ 2）解： 外接圆是以 直径的圆，方程为（ x 3） 2+（ y 4） 2=25， 外接圆截直线 4x+3y+m=0 所得弦的弦长为 6， 圆心到直线的距离 d=4= ， m= 4 或 44 18如图所示的几何体中， 2， 平面 平面 方形 边长为 2， E 为棱 点，平面 别与棱 于点 F， G （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 D B 的大小，并求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 第 11 页（共 14 页） 【分析】 （ ）推导出 而平面 平面 此能证明 平面 （ ）法 1：推导出 别 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 法 2：推导出 而 由 证明 平面 （ ）推导出平面 平面 而二面角 D B 为 90，设 ，且 0， 1，则 G（ 2， 2， 3），再由 求出 长 【解答】 证明：（ ）因为 平面 平面 所以 因为 正方形， 所以 因为 D=A， C=C， 所以平面 平面 因为 面 所以 平面 （ ）法 1：因为 平面 所以 因为 正 方形，所以 以 别 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 则由已知可得 B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， 0， 0， 2）， E（ 0， 1， 1