安徽省蚌埠市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的 A、 B、 C、 D 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号代号写在答题卡上 1直线 x+ y+2=0 的倾角为（ ） A B C D 2命题 “ x R， x+a 0”的否定是（ ） A x R， x+a 0 B x R， x+a 0 C x R， x+a 0 D x R， x+a 0 3以下命题正确的是（ ） A经过空间中的三点，有且只有一个平面 B空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 C空间中，两条异面直线所成角的范围是（ 0， D如果直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l 平等于平面 4已知圆 M 的方程为 2x 5y=0，则下列说法中正确的是（ ） A圆 M 的圆心为（ 1， ） B圆 M 的半径为 C圆 M 被 x 轴截得的弦长为 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 5已知 a， b， c 是三条不重合的直线， ， 是两个不 重合的平面，直线 l ，则（ ） A a c， b ca b B a ， b a b C a c， c a D a la 6 “a= 1”是 “直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7某几何体的三视图（单位： 图，则这个几何体的表面积为（单位： ）A 24+4 B 48+8 C 24+8 D 48+4 8已知 P（ 331）和 Q（ 221），则 | |的取值范围是（ ） A（ 1， 25） B 1， 25 C 1， 5 D（ 1， 5） 9若直线 l 的方向向量为 =（ 1， 1， 2），平面 的法向量为 =（ 3， 3， 6），则（ ） A l B l C l D l 与 与斜交 10已知矩形 顶点都在半径为 5 的球 P 的球面上，且 ， ，则棱锥 P体积为（ ） 第 2 页（共 16 页） A 5 B 30 C D 10 11已知不等式组 表示的平面区域为 D，则区域 D 的面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 12在平面直角坐标系 ，圆 M 的方程为 x2+8x 2y+16=0，若直线 y+3=0 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 M 有公共点，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， B 0， +） C ， 0 D（ ， 0， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案直接填在题中横线上 13平面直角坐标系中，直线 3x y+2=0 关于点（ 1， 1）对称的直线方程是 14若命题 “存在实数 1， 2，使得 ex+ m 0”是假命题，则实数 m 的取值范围为 15已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为 16如图，已知平行六面体 ， 平面 于点 E、 K 为 外心，则 = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤 17已知直线 3 a） x+（ 2a 1） y+5=0， 2a+1） x+（ a+5） y 3=0若 a 的值 18设命题 p：方 程 =0 有两个不相等的负根，命题 q： x R， （ m 2） x 3m+10 0 恒成立 （ 1）若命题 p、 q 均为真命题，求 m 的取值范围； （ 2）若命题 p q 为假，命题 p q 为真，求 m 的取值范围 19如图，在底面为平行四边形的四棱锥 O ， 平面 E 为 点，D=2， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 B E 的余弦值 第 3 页（共 16 页） 20已知圆 C 过坐标原点 O，且与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，圆心坐标为（ t， t）（ t 0） （ 1）若 面积为 2，求圆 C 的方程； （ 2）直线 2x+y 6=0 与圆 C 交于点 D、 E，是否存在 t 使得 |若存在，求出 不存在，请说明理由 21如图，在四棱锥 O ， 20， 平面 E 为 中点，C= ， 分 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四面体 体积 22已知实数 x、 y 满足 ，目标函数 z=x+ （ 1）当 a= 2 时，求目标函数 z 的取值范围； （ 2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求 的最大值 第 4 页（共 16 页） 2015年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的 A、 B、 C、 D 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号代号写在答题卡上 1直线 x+ y+2=0 的倾角为（ ） A B C D 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正 切值等于斜率求得答案 【解答】 解：由 x+ y+2=0，得直线斜率为 ， 设直线的倾斜角为 （ 0 ）， 则 故选： B 2命题 “ x R， x+a 0”的否定是（ ） A x R， x+a 0 B x R， x+a 0 C x R， x+a 0 D x R， x+a 0 【考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 “ x R， x+a 0”的否定是： x R， x+a 0 故选： C 3以下命题正确的是（ ） A经过空间中的三点，有且只有一个平面 B空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 C空间中，两条异面直线所成角的范围是（ 0， D如果直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l 平等于平面 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解： 当空间三点在同一条直线上时，不能确定一个平面 经过空间内三点，不一定有且只有一个平面故 A 项不正确； 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补， 命题 B 错误； 第 5 页（共 16 页） 根据两条异面直线所成角的定义，可得空间中，两条异面直线所成角的范围是（ 0， ，正确； 当直线 L 在平面内时，结论不成立， 错 误 故选： C 4已知圆 M 的方程为 2x 5y=0，则下列说法中正确的是（ ） A圆 M 的圆心为（ 1， ） B圆 M 的半径为 C圆 M 被 x 轴截得的弦长为 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可 【解答】 解：圆 M 的一般方程为 2x 5y=0， 则（ x+1） 2+（ y ） 2= 圆的圆心坐标（ 1， ），半径为 ， A 正确， B 不正确 令 x=0，可得 y=0 或 M 被 x 轴截得的弦长为 C 不正确 令 y=0，可得 x=0 或 2，圆 M 被 y 轴截得的弦长为 2， D 不正确 故选 ： A 5已知 a， b， c 是三条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，直线 l ，则（ ） A a c， b ca b B a ， b a b C a c， c a D a la 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中，由平行公理得 a b；在 B 中， a 与 b 相交、平行或异面；在 C 中， a 或 a；在 D 中， a 或 a 【解答】 解：由 a， b， c 是三条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，直线 l ，知： 在 A 中， a c， b ca b，由平行公理得 A 正确； 在 B 中 ， a ， b a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误； 在 C 中， a c， c a 或 a，故 C 错误； 在 D 中， a la 或 a，故 D 错误 故选： D 6 “a= 1”是 “直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 “a= 1”“直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”； “直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”“a= 1 或 a= 2” 【解答】 解：当 a= 1 时，直线 a2+a） x+2y 1=0 的斜率 ，直线 x+（ a+1） y+4=0的斜率 存在， 当 “直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”时， （ a2+a） 1+2（ a+1） =0， 第 6 页（共 16 页） 解得 a= 1 或 a= 2 “a= 1”是 “直线 a2+a） x+2y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 垂直 ”的充分不必要条件 故选： A 7某几何体的三视图（单位： 图，则这个几何体的表面积为（单位： ）A 24+4 B 48+8 C 24+8 D 48+4 【考点】 由三视图求面积、 体积 【分析】 几何体为侧放的直三棱柱，棱柱的底面为侧视图三角形，棱柱的高为 4 【解答】 解：由三视图可知几何体为侧放的直三棱柱，棱柱的底面为侧视图中的等边三角形，棱柱的高为 4 棱柱的表面积 S= +3 4 4=48+8 故选 B 8已知 P（ 331）和 Q（ 221），则 | |的取值范围是（ ） A（ 1， 25） B 1， 25 C 1， 5 D（ 1， 5） 【考点】 空间两点间的距离公式；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 求出 |利用三角函数的这种，求出 |取值范围 【解答】 解： P（ 331）和 Q（ 221）， |= = ， |取值范围是 1， 5 故选： C 9若直线 l 的方向向量为 =（ 1， 1， 2），平面 的法向量为 =（ 3， 3， 6），则（ ） A l B l C l D l 与 与斜交 【考点】 平面的法向量 【分析】 由已知得 ，从而得到 l 【解答】 解： 直线 l 的方向向量为 =（ 1， 1， 2）， 平面 的法向量为 =（ 3， 3， 6）， = ， ， 第 7 页（共 16 页） l 故选： B 10已知矩形 顶点都在半径为 5 的球 P 的球面上，且 ， ，则棱锥 P体积为（ ） A 5 B 30 C D 10 【考点】 球内接多面体 【分析】 根据题意求出矩形 对角线的长 用球的截面圆性质求出球心到矩形的距离，从而得出棱锥 P 高，进而可得棱锥的体积 【解答】 解： 矩形 ， ， 矩形的对角线的长 ， 根据球 P 的半径 为 5，可得球心到矩形的距离 d= = ， 棱锥 P 高 h= ， 可得 P 体积为 V= =10 故选： D 11已知不等式组 表示的平面区域为 D，则区域 D 的面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的形状进行求面积即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 得 ，即 A（ 0， 2）， 由 得 ，即 C（ 1， 1）， 第 8 页（共 16 页） 由 ，得 ，即 B（ 3， 1）， 则 F（ 0， 1）， E（ 3， 1）， 则区域 D 的面积 S= = =6 2=4， 故选： C 12在平面直角坐标系 ，圆 M 的方程为 x2+8x 2y+16=0，若直线 y+3=0 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 M 有公共点，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， B 0， +） C ， 0 D（ ， 0， +） 【考点】 直线与圆的位 置关系 【分析】 将圆 C 的方程整理为标准形式，找出圆心 M 的坐标与半径 r，根据直线 y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 M 有公共点，得到以 M 为圆心， 2为半径的圆与直线 y+3=0 有公共点，即圆心到直线 y+3=0 的距离小于等于 2，利用点到直线的距离公式列出关于 k 的不等式求出不等式的解集即可得到 k 的范围 【解答】 解：将圆 M 的方程整理为标准方程得：（ x 4） 2+（ y 1） 2=1， 圆心 C（ 4， 1），半径 r=1， 直线 y+3=0 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半 径的圆与圆 M 有公共点， 只需圆 C：（ x 4） 2+（ y 1） 2=4 与 y+3=0 有公共点， 圆心（ 4， 1）到直线 y+3=0 的距离 d= 2， 解得： k 0 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案直接填在题中横线上 13平面直角坐标系中，直线 3x y+2=0 关于点（ 1， 1）对称的直线方程是 3x y 6=0 【考点】 直线的一般式方程 【 分析】 在所求直线上取点（ x， y），关于点（ 1， 1）对称的点的坐标为（ 2 x， 2 y），代入直线 3x y+2=0，可得直线方程 【解答】 解：在所求直线上取点（ x， y），关于点（ 1， 1）对称的点的坐标为（ 2 x， 2 y）， 代入直线 3x y+2=0，可得 3（ 2 x）（ 2 y） +2=0 即 3x y 6=0， 故答案为： 3x y 6=0 14若命题 “存在实数 1， 2，使得 ex+ m 0”是假命题，则实数 m 的取值范围为 （ ， e+4 【考点】 特称命题 【分析】 根据特称命题是假命题 ，则特称命题的否定是全称命题为真命题，进行求解即可 【解答】 解： 命题 “存在实数 1， 2，使得 ex+ m 0”是假命题， 即命题 “任意实数 x 1， 2，使得 ex+ m 0”是真命题， 第 9 页（共 16 页） 即 ex+ m， 设 f（ x） =ex+， 则函数 f（ x）在 1， 2上为增函数， 则 f（ x）的最小值为 f（ 1） =e+1+3=e+4， 故 m e+4， 故答案为：（ ， e+4 15已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为 45 【考点】 直线与平面所成的角 【分析 】 由已知正四菱锥 P ，所有棱长都相等，设棱长为 2， D=O，连结平面 侧棱与底面所成角，由此能求出侧棱与底面所成角的大小 【解答】 解：由已知正四菱锥 P ，所有棱长都相等，设棱长为 2， D=O，连结 平面 侧棱与底面所成角， 则 = ， ， = ， = = ， 5 侧棱与底面所成角为 45 故答案为： 45 16如图，已知平行六面体 ， 平面 于点 E、 K 为 外 心，则 = 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 运用三棱锥的体积公式即得 第 10 页（共 16 页） 【解答】 解： 面面平行的判定定理可得：面 面 以 K， F 到面 距离相等，设为 h， = =， 又 =3S = 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤 17已知直线 3 a） x+（ 2a 1） y+5=0， 2a+1） x+（ a+5） y 3=0若 a 的值 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 直接利用平行线的充要条件，列出方程求解即可 【解答】 解：直线 3 a） x+（ 2a 1） y+5=0， 2a+1） x+（ a+5） y 3=0 可得：（ 3 a）（ a+5） =（ 2a 1）（ 2a+1） 解得 a= 2 或 a= ，但是 a= 2 时，两条直线重合， a= 时，满足题意 a 的值： 18设命题 p：方程 =0 有两个不相等的负根，命题 q： x R， （ m 2） x 3m+10 0 恒成立 （ 1）若命题 p、 q 均为真命题，求 m 的取值范围； （ 2）若命题 p q 为假，命题 p q 为真，求 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 （ 1）根据一元二次方程与一元二次函数的关系进行转化求解即可 （ 2）根据复合命题 p q 为假，命题 p q 为真，得到 p、 q 一真一假，进行求解即可 【解答】 解：构造函数 f（ x） = 方程 =0 有两个不相等的负根 函数 f（ x） = 图象与 x 轴负半轴有两个不同的交点 满足的条件为 ，即 实数 m 的取值范围 m 1 故实数 m 的取值范 围（ 1， +）， 若命题 q 为真，则有 =4（ m 2） 2 4（ 3m+10） 0 解得 2 m 3 第 11 页（共 16 页） 若 p、 q 均为真命题，则 ，即 1 m 3 （ 2）由 p q 为真， p q 为假知， p、 q 一真一假 当 p 真 q 假时， ， 即 m 3； 当 p 假 q 真时， ， 即 2 m 1 实数 m 的取值范围是 m 3 或 2 m 1 综上可述，实数 m 的取值范围为（ 3， +） 2， 1 19如图，在底面为平行四边形的四棱锥 O ， 平面 E 为 点，D=2， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 B E 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知得 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 A 为坐 标原点，分别以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A 用向量法能求出二面角 B E 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 又 ， ， 在 ， 平面 又 面 平面 平面 解：（ 2）由（ 1）知 两垂直， 以 A 为坐标原点，分别以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A 第 12 页（共 16 页） 则 A（ 0， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， O（ 0， 0， 2）， B（ 0， 1， 0）， E（ 0， ， 1）， =（ 2， 1， 0）， =（ 0， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 2， 1）， 又平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， = = = ， 二面角 B E 的余弦值为 20已知圆 C 过坐标原点 O，且与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，圆心坐标为（ t， t）（ t 0） （ 1）若 面积为 2，求圆 C 的方程； （ 2）直线 2x+y 6=0 与圆 C 交于点 D、 E，是否存在 t 使得 |若存在，求出 不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）根据圆的方程求出 A， B 的坐标，利用 面积为 2，即可求圆 C 的方程； （ 2）求出 斜率，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）由题设知，圆 C 的方程为（ x t） 2+（ y t） 2=2 当 y=0 时， x=0 或 2t，则 A（ 2t， 0）； 当 x=0 时， y=0 或 2t，则 B（ 0， 2t）， S | |2t|2t|=2， t 0， t=1 圆 C 的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=2； （ 2） | 直线 斜率 k= 2， 斜率为 1 t=2 或 t= 2不满足斜率的积为 1， 不存在 t 使得 | 第 13 页（共 16 页） 21如