河南省驻马店市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2015年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 ， B=y|y=2x+1， x R，则 R（ AB） =（ ） A（ ， 1 B（ ， 1） C（ 0， 1 D 0， 1 2已知复数 i，则下列命题中错误的是（ ） A |C D 为共轭复数 3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A B 4 C 2 D 4已知等比数列 公比分别为 q1= an+等比数列的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 6平面直角坐标系中，点（ 3， t）和（ 2t， 4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半轴的角 ， +45的终边上，则 t 的值为（ ） A 6 或 1 B 6 或 1 C 6 D 1 7已知实数 x， y 满足 ，则 z= 的取值范围是（ ） A 0， B ， 2） C ， D ， +） 8将函数 f（ x） =图象向右平 移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 9已知双 曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐进线与圆 x2+6y+3=0 相切，则此双曲线的离心率等于（ ） A B C D 10有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求2 盆黄菊花必须相邻， 2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是（ ） 第 3 页（共 24 页） A 12 B 24 C 36 D 48 11四面体 四个顶点均在半径为 2 的球面上，若 两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（ ） A B C 2 D 7 12若曲线 y=a 0）与 曲线 y=在公共切线，则 a 的取值范围为（ ） A B C ， +） D 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图，点 A 的坐标为（ 1， 0），点 C 的坐标为（ 2， 4），函数 f（ x） =在矩形 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 14如图，在平行四边形 ，已知 ， ， =3 ， =2，则 的值是 15已知 f（ x） =x，则 f（ x）的最小值为 16数列 通项 an= ，其前 n 项和为 三、解答题（ 6 小题， 70 分） 17如图， A、 B、 C、 D 为平面四边形 四个内角 （ ）证明： （ ）若 A+C=180， ， ， ， ，求 值 18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表： 第 4 页（共 24 页） 测试指标 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （ I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （ ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（ I）的前提下， （ i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （ 生产 5 件芯片乙所获 得的利润不少于 140 元的概率 19如图，四棱柱 ， 底面 边形 梯形， C、 D 三点的平面记为 ， 的交点为 Q （ ）证明： Q 为 中点； （ ）若 ， ，梯形 面积为 6， 0，求平面 与底面 成锐二面角的大小 20已知椭圆 ，过原点的两条直线 别于椭圆交于 A、 B 和 C、 D，记得到的平 行四边形 面积为 S （ 1）设 A（ C（ 用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 距离，并证明 S=2| （ 2）设 斜率之积为 ，求面积 S 的值 21设函数 f （ x） =（ x+1） a （ x 1）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（ 0， 2 e） （ 1）求 a 的值； （ 2）函数 f （ x）能否在 x=1 处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由 （ 3）当 1 x 2 时，试比较 与 大小 选做题（请在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分） 几何证明选讲 22已知 半圆 O 的直径， ， C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 点A 作 D，交半圆于点 E， （ ）求证： 分 （ ）求 长 第 5 页（共 24 页） 坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ），半径 r= （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）若 0， ），直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长 |取值范围 不等式选讲 24函数 f（ x） = （ ）若 a=5，求函数 f（ x）的定义域 A； （ ）设 B=x| 1 x 2，当实数 a， b B（ ，求证： |1+ | 第 6 页（共 24 页） 2015年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 ， B=y|y=2x+1， x R，则 R（ AB） =（ ） A（ ， 1 B（ ， 1） C（ 0， 1 D 0， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，求出 A 与 B 的解集，进而确定交集的补角即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 1） 0，且 x 1 0， 解得： x 0 或 x 1，即 A=（ ， 0 （ 1， +）， 由 B 中 y=2x+1 1，即 B=（ 1， +）， AB=（ 1， +）， 则 R（ AB） =（ ， 1， 故选： A 2已知复数 i，则下列命题中错误的是（ ） A |C D 为共轭复数 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 复数 i，可得 =| ， =0即可判断出 【解答】 解 ： 复数 i， =| ，因此 A， B， D 正确 对于 C： =0 故选： C 3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） 第 7 页（共 24 页） A B 4 C 2 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该三棱锥的侧面 底面 交线 ， ， ， ， B=2据此即可计算出其体积 【解答】 解：由三视图可知：该三棱锥的侧面 底面 交线 ， ， ， ， B=2 = =4 故选 B 4已知等比数列 公比分别为 q1= an+等比数列的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出 【解答】 解：等比数列 公比分别为 q1=q2=q= =q，因此 an+等比数列； 第 8 页（共 24 页） 反之也成立，设 an+公比为 q 等比数列，则 an+， + = ，对于 n N*恒成立， q1=q2=q q1= an+等比数列 的充要条件 故选： C 5执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表 示的算法的功能 【解答】 解：框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值， S=0+1=1， k=1+1=2； 判断 k 10 不成立，执行 S=1+ ， k=2+1=3； 判断 k 10 不成立，执行 S=1+ + ， k=3+1=4； 判断 k 10 不成立，执行 S=1+ + + ， k=4+1=5； 第 9 页（共 24 页） 判断 i 10 不成立，执行 S= ， k=10+1=11； 判断 i 10 成立，输出 S= 算法结束 故选 B 6平面直角坐标系中，点（ 3， t）和（ 2t， 4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半轴的角 ， +45的终边上，则 t 的值为（ ） A 6 或 1 B 6 或 1 C 6 D 1 【考点】 两角和与差的 正切函数；任意角的三角函数的定义 【分析】 根据任意角的三角函数定义分别求出 +45），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于 出 后利用 和 +45是始边为 x 轴的非负半轴的角，得到满足题意 t 的值即可 【解答】 解：由题意得 ， +45） = = 而 +45） = = = ，化简得： t 6=0 即（ t 1）（ t+6） =0，解得 t=1， t= 6 因为点（ 3， t）和（ 2t， 4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半轴的角 ， +45的终边上，所以 t= 6 舍去 则 t 的值为 1 故选 D 7已知实数 x， y 满足 ，则 z= 的取值范围是（ ） A 0， B ， 2） C ， D ， +） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化 z= =1+ ，由其几何意义（动点与定点连线的斜率）得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， A（ 1， 0） z= = ， 第 10 页（共 24 页） 的几何意义为可行域内的动点与定点 P（ 1， 1）连线的斜率， z 的取值范围为 ， +） 故选： D 8将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角函数的最值，求出自变量 值，然后判断选项即可 【解答】 解：因为将函数 f（ x） =周期为 ，函数的图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 |x2|， 不妨 ， ，即 g（ x）在 ，取得最小值， 2 2） = 1，此时 = ， 不合题意， ， ，即 g（ x）在 ，取得最大值， 2 2） =1，此时 = ，满足题意 故选： D 9已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐进线与圆 x2+6y+3=0 相切，则此双曲线的离心率等于 （ ） A B C D 第 11 页（共 24 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线 y= x 与圆 x2+6y+3=0相切 圆心（ 0， 3）到渐近线的距离等于半径 r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出 【解答】 解：取双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线 y= x，即 由圆 x2+6y+3=0 化为 y 3） 2=6圆心（ 0， 3），半径 r= 渐近线与圆 x2+6y+3=0 相切， = 化为 该双曲线的离心率 e= = = = 故选： C 10有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求2 盆黄菊花必须相邻， 2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是（ ） A 12 B 24 C 36 D 48 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题设中的条件知，可以先把黄 1 与黄 2 必须相邻，可先将两者绑定，又白 1 与白2 不相邻，可把黄 1 与黄 2 看作是一盆菊花，与白 1 白 2 之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白 1 白 2 菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可 【解答】 解：由题意，第一步将黄 1 与黄 2 绑定，两者的 站法有 2 种，第二步将此两菊花看作一个整体， 与除白 1，白 2 之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有 站法， 此时隔开了三个空，第三步将白 1，白 2 两菊花插入三个空，排法种数为 不同的排法种数为 2 2 6=24 故选 B 11四面体 四个顶点均在半径为 2 的球面上，若 两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（ ） A B C 2 D 7 【考点】 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 【分析】 由题意， =c =，进而可得 a2+4 2可求出四面体体积的最大值 第 12 页（共 24 页） 【解答】 解：由题 意， =c =， a2+b2+6， a2+4 2 7， = ， 四面体体积的最大值为 ， 故选： A 12若曲线 y=a 0）与曲线 y=在公共切线，则 a 的取值范围为（ ） A B C ， +） D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出两个函数的导 函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得 a 的范围 【解答】 解：由 y=a 0），得 y=2 由 y= y= 曲线 y=a 0）与曲线 y=在公共切线，则 设公切线与曲线 于点（ ），与曲线 于点（ ）， 则 ，将 代入 ，可得 2x2=， a= ，记 ， 则 ，当 x （ 0， 2）时， f（ x） 0 当 x=2 时， a 的范围是 ） 故选： C 第 13 页（共 24 页） 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图，点 A 的坐标为（ 1， 0），点 C 的坐标为（ 2， 4），函数 f（ x） =在矩形 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【考点】 定积分的简单应用；几何概型 【分析】 分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答 【解答】 解：由已知，矩形的面积为 4 （ 2 1） =4， 阴影部分的面积为 =（ 4x ） | = ， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ； 故答案为： 14如图，在平行四边形 ，已知 ， ， =3 ， =2，则 的值是 22 【考点】 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 【分析】 由 =3 ，可得 = + ， = ，进而由 ， ， =3 ， =2，构造方程，进而可得答案 【解答】 解： =3 ， = + ， = ， 又 ， ， =（ + ） （ ） =| |2 | |2=25 12=2， 故 =22， 故答案为： 22 15已知 f（ x） =x，则 f（ x）的最小值为 第 14 页（共 24 页） 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 化简 f（ x） =x=10x+10 x），从而利用基本不等式求最值 【解答】 解： f（ x） =x =10x+10 x） （当且仅当 x=0 时，等号成立）； 故答案为： 16数列 通项 an= ，其前 n 项和为 470 【考点】 数列的求和 【分析】 利用二倍角公式对已知化简可得， an= =然后代入到求和公式中可得， +32+302出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解 【解答】 解： an= = +32+302 + = 1+22 2 32） +（ 42+52 62 2） + = （ 12 32） +（ 42 62） +（ 22 32） +（ 52 62） + = 2（ 4+10+16+58）（ 5+11+17+59） = 2 =470 故答案为： 470 三、解答题（ 6 小题， 70 分） 17如图， A、 B、 C、 D 为平面四边形 四个内角 （ ）证明： （ ）若 A+C=180， ， ， ， ，求 值 第 15 页（共 24 页） 【考点】 三角函数恒等式的证明 【分析】 （ ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可 （ ）通过 A+C=180，得 C=180 A， D=180 B，利用（ ）化简 ，连结 ，利用余弦定理求出 结 出 后求解即可 【解答】 证明：（ ） = = 等式成立 （ ）由 A+C=180，得 C=180 A， D=180 B，由（ ）可知： = ，连结 ，有 2， ， ， ， 在 ，有 2 所以 22 则： = = 于是 = ， 连结 理可 得： = = ， 于是 = 所以 = = 18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表： 测试指标 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 第 16 页（共 24 页） （ I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （ ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（ I）的前提下， （ i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （ 生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的 概率 【分析】 （ ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解 （ ）（ ）先判断随机变量 X 的所有取值情况有 90， 45， 30， 15，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值 （ ）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5 n 件由题意，得 50n 10（ 5 n） 140，解不等式可求 n ，然后利用独立事件恰好发生 k 次的概率公式即可求解 【解答】 解：（ ）芯片甲为合格品的概率约为 ， 芯片乙为合格品的概率约为 （ ）（ ）随机变量 X 的所有取值为 90， 45， 30， 15. ； ； 所以，随机变量 X 的分布列为： X 90 45 30 15 P （ ）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5 n 件 依题意，得 50n 10（ 5 n） 140，解得 所以 n=4，或 n=5 设 “生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元 ”为事件 A， 则 19如图，四棱柱 ， 底面 边形 梯形， C、 D 三点的平面记为 ， 的交点为 Q （ ）证明： Q 为 中点； （ ）若 ， ，梯形 面积为 6， 0，求平面 与底面 成锐二面角的大小 第 17 页（共 24 页） 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）由已知得平面 平面 而 此能证明 Q 为 中点 （ 2）法一：在 ，作 足为 E，连接 平面 与底面 此求出平面 与底面 成二面角的大小 （ 3）法二：以 D 为原点， 别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面 与底面 成二面角的大小 【解答】 （ 1）证明： Q=B， ， 平面 平面 平面 这两个平面的交线相互平行， 即 对应边相互平行， ， Q 为 中点 （ 2）解法一：如图 1 所示，在 ，作 足为 E，连接 又 E=A， 所以 平面 以 所以 平面 与底面 成二面角的平面角 因为 以 S S 又因为梯形 面积为 6， ， 所以 S ， 于是 =1， 故平面 与底面 成二面角的大小为 （ 3）解法二：如图 2 所示， 以 D 为原点， 别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系 设 ， BC=a，则 a 因为 S 四边形 26， 所以 a= 第 18 页（共 24 页） 从而可得 C（ 1， ， 0）， ， 0， 4）， 所以 1， ， 0）， =（ ， 0， 4） 设平面 法向量 =（ x， y， 1）， 由 ， 得 ， 所以 =（ ， ， 1） 又因为平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 所以 ， = = ， 故平面 与底面 成二面角的大小为 20已知椭圆 ，过原点的两条直线 别于椭圆交于 A、 B 和 C、 D，记得到的平行四边形 面积为 S 第 19 页（共 24 页） （ 1）设 A（ C（ 用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 距离，并证明 S=2| （ 2）设 斜率之积为 ，求面积 S 的值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式 【分析】 （ 1）依题意，直线 方程为 y= x，利用点到直线间的距离公式可求得点 C 到直线 距离 d= ，再利用 |2|2 ，可证得S=|AB|d=2|当 的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （ 2）方法一：设直线 斜率为 k，则直线 斜率为 ，可得直线 方程，联立方程组 ，可求得 而可求得答案 方法二：设直线 斜率分别为 、 ，则 = ，利用 A（ C（ x2，椭圆 上，可求得面积 S 的值 【解答】 解：（ 1）依题意，直线 方程为 y= x，由点到直线间的距离公式得：点 C 到直线 距离 d= = ， 因为 |2|2 ，所以 S=|AB|d=2| 当 的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （ 2）方法一：设直线 斜率为 k，则直线 斜率为 ， 设直线 方程为 y=立方程组 ，消去 y 解得 x= ， 根据对称性，设 ，则 ， 同理可得 ， ，所以 S=2| 第 20 页（共 24 页） 方法二：设直线 斜率分别为 、 ，则 = ， 所以 2 =4 = 2 A（ C（ 椭圆 上， （ ）（ ） = +4 +2（ + ） =1， 即 4（ + ） =1， 所以（ 2= ，即 | ， 所以 S=2| 21设函数 f （ x） =（ x+1） a （ x 1）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（ 0， 2 e） （ 1）求 a 的值； （ 2）函数 f （ x）能否在 x=1 处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由 （ 3）当 1 x 2 时，试比较 与 大小 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方 程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2； （ 2）函数 f （ x）不能在 x=1 处取得极值求出导数，讨论 x 1， 0 x 1 函数的单调性，即可得到结论； （ 3）当 1 x 2 时， 运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论 【解答】 解：（ 1） f（ x） =+1 a， 依题设得 =f（ e），即 e+1 a（ e 1）（ 2 e） =e ， 解得 a=2； （ 2）函数 f （ x）不能在 x=1 处取得极值 因为 f（ x） = 1，记 g（ x） =ln x+ 1，则 g（ x） = 当 x 1 时， g（ x） 0，所以 g（ x）在（ 1， +）是增函数， 所以 g（ x） g（ 1） =0，所以 f（ x） 0； 当 0 x 1 时， g（ x） 0，所以 g（ x）在（ 0， 1）是减函数， 所以 g（ x） g（ 1） =0，即有 f（ x） 0 由 得 f （ x）在（ 0， +）上是增函数， 第 21 页（共 24 页） 所以 x=1 不是函数 f （ x）极值点 （ 3）当 1 x 2 时， 证明如下：由（ 2）得 f （ x）在（ 1， +）为增函数， 所以当 x 1 时， f（ x） f （ 1） =0 即（ x+1） 2（ x 1），所以 因为 1 x 2，所以 0 2 x 1， 1，所以 = ， 即 +得 + = 选做题（请在 22、 23、 24 三题中任选一 题作答，若多做，则按所做的第一题计分） 几何证明选讲 22已知 半圆 O 的直径， ， C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 点A 作 D，交半圆于点 E， （ ）求证： 分 （ ）求 长 【考点】 圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ ）连接 为 C，所以 证明 可证得分 （ ）由（ ）知 ，从而 E，利