中微补充讲义8

中微补充讲义8第九讲 第二节 Bertrand 均衡平新乔 古诺均衡是寡头之间的产量竞争或占领市场份额的竞争，企业的决策变量是定产量。Bertrand均衡讲的是寡头之间的价格竞争（价格战），企业的决策变量是定价格。当然，价格竞争也是为了占领市场，而占领市场是为了追求最大的利润。我们分六点来讨论Bertrand均衡。一、市场结构1、假设：l 市场上只有两个生产企业（）；l 产品同质；l 每个企业的成本函数都为： 这里，小写的既是边际成本，又是平均成本，还是单位成本。l 市场需求函数为： 这里，这一点保证了在时（即竞争均衡时）消费者剩余为正。2、企业()的利润表达式由于产品同质，所以价格战的结果为三个：或赢、或输、或平局。由于每个企业生产每单位的成本都为，从而企业()的利润就为每单位产品的利润与销售量的乘积。从而： （） （9.26）二、价格决策与利润线在公式（9.26）中可以看到，企业的利润取决于与对手定价之间的差异。如果我们把的水平看作给定，则就取决企业自己的价格选择。从而可以画出作为函数的利润线。见图9.3：图9.3 作为函数的利润线图（9.3）之所以要画成左、中、右三个，是由于的对手企业的定价可能有三种情形：，。这里，是独占市场时的最优价格。中的上标“”有两个含义：既表示垄断（monopoly），又表示极大（max）。当独占市场（在的条件下）时，这是关于的一条抛物线，这条抛物线与横轴有两个交点：与，这条抛物线的极大值点是，处于与之间的中点。由于有，与三种可能。因此，与的对应关系也要分三种状态来加以讨论：（） 。这时对手企业是亏本的。如果，则消费者都来买的产品，但由于，的利润必负，为左图点以左的那段用黑线描出的负值利润线线段。如，则仍有。但如，不管是，还是，由于决定了老百姓不会买的产品，失去了市场，从而。从而，当时，为横轴上在点以右（不包含点）的那一段。（） 。这时对手企业利润为正，该怎么办呢？只要，则就占领全部市场。的利润线就为中图与对应的向上升的那段实线段。当但时，有；但当时，。注意，当时，由于与平分市场，所以，会从上升的线段突然降至上面那个与线垂直坐标一半高度对应的黑点，这是垄断利润的一半。当时，又丧失市场，从而线又与横轴重合。（）。只要，则必独占市场，线又会与垄断利润线重合，但不含那一点所对应的利润线数值。当，为利润线垂直高度的一半（与平分市场且平分利润）。当时，这又与横轴重合。三、企业的价格反应函数根据上面对与之间关系的分析，又考虑到的利润极大化目标；从而，我们可以把企业的定价写成对的反应函数。注意：反应函数与古诺模型的反应函数的本质相同，都是指为满足极大化目标的对的最优反应。显然，当时，从图9.3（左）可以看出，取（让）是的最优反应；当时，取（让）是的最优反应；当时，的定价只要在（）的范围内，是找不到最优点的，因为只要，那么总是的增函数，利润极大化点不存在；而一旦达到点，则会一下子跌至（）。当时，取就是最优选择，从而是的价格反应函数。综上所述，的价格反应函数是一个分段函数： （9.27）四、反应线把公式（9.27）用图表示出来，我们得到图（9.4）： （左）企业1的价格反应线 （右）企业2的价格反应线 图9.4 价格反应线在9.4（左）图中，是，即企业对的反应线。如，则的反应线便是。又由于是无数多个可能的点，从而，对应于，就为（不含线上点）从线以右出发的任一条水平线，这实质上形成了不含线的一个满足的平面。但在点，这条线是一条黑线，因给出了一个特定的值，从而是所有（，）点的轨迹。在，由于没有最优解，从而没有反应线。当时，就是企业1的反应线。9.4（右）图是关于企业的价格反应线。五、Bertrand均衡与古诺均衡解的求法一样，Bertrand均衡便是企业的价格反应线与企业的价格反应线的交集。记Bertrand均衡为（,），则这里，与的上标“B”表示Bertrand。从图9.4中立即可以看出，在本节给