2009年上海市春季高考数学试卷答案与解析.doc

2009年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分34分）本大题共有11题，1（3分）（2009上海）函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）【考点】对数函数的定义域菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由函数的解析式知，令真数x10即可解出函数的定义域【解答】解：y=log2（x1），x10，x1函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）故答案为（1，+）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键2（3分）（2009上海）计算：（1i）2=2i（i为虚数单位）【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【分析】按照完全平方公式把要求的式子展开、化简【解答】解：（1i）2 =12i+i2 =2i，故答案为2i【点评】复数代数形式的乘方，按照多项式的乘方法则进行，再根据i2  =1 化简出最终结果3（3分）（2009上海）函数的最小正周期T=4【考点】三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】直接利用余弦函数的周期的求法，求出函数的周期即可【解答】解：因为函数，所以函数的最小正周期为：T=4故答案为：4【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，送分题4（3分）（2009上海）若集合A=x|x|1，集合B=x|0x2，则AB=x|1x2【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】求解绝对值得不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解【解答】解：A=x|x|1=x|x1或x1，B=x|0x2，AB=x|x1或x1x|0x2=x|1x2故答案为x|1x2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题5（3分）（2009上海）抛物线y2=x的准线方程为x=【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1抛物线y2=x的准线方程为x=故答案为：x=【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键6（4分）（2009上海）已知若，则与夹角的大小为 【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】欲求与夹角的大小，根据公式，代入数据计算得到夹角的余弦值，即可得到两个向量的夹角【解答】解：因为，所以=，所以与夹角的大小为故答案为【点评】本题考查数量积计算公式，应熟练掌握7（3分）（2009上海）过点A（4，1）和双曲线=1右焦点的直线方程为xy5=0【考点】直线的一般式方程；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由双曲线的方程找出a和b的值，根据c2=a2+b2求出双曲线的右焦点的坐标，然后根据右焦点坐标和点A的坐标写出直线的方程即可【解答】解：由于a2=9，b2=16，c2=25，故右焦点为（5，0）所求直线方程为y=（x5），即xy5=0故答案为：xy5=0【点评】此题考查学生会利用双曲线的简单性质求焦点的坐标，会根据两点坐标求直线的一般式方程，是一道综合题8（3分）（2009上海）在ABC中，若AB=3，ABC=75，ACB=60，则BC等于【考点】正弦定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据三角形内角和求得BAC，进而根据正弦定理求得BC【解答】解：根据三角形内角和定理知BAC=1807560=45根据正弦定理得=，即=，BC=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生对基础知识的运用9（3分）（2009上海）已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（x）=f（x）若方程f（x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为0【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】不妨设方程f（x）=0的实数解为x1，x2，x2009，且x1x2x2009，由f（x）=f（x），可知实数解关于原点对称，由此可求得答案【解答】解：设方程f（x）=0的实数解为x1，x2，x2009，不妨设x1x2x2009，又f（x）=f（x），如存在x0使f（x0）=0，则f（x0）=0，x1+x2009=0，x2+x2008=0，x1004+x1006=0，x1005=0，x1+x2+x2009=0故答案为：0【点评】本题考查偶函数的性质、方程的解，考查学生的观察能力，属基础题10（3分）（2009上海）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】压轴题；创新题型【分析】由题意知本题是一个古典概型，由分步计数原理试验发生所包含的总事件数266，满足条件的事件是10个字母的前6个个组成单词“monkey”，第二到第七个组成，第三到第八个组成，第四到第九个组成，第五到第十个，共有5种结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，由分步计数原理试验发生所包含的总事件数2610，满足条件的事件中“monkey”出现的可能方式有：10个字母的前6个组成单词“monkey”，第二到第七个组成，第三到第八个组成，第四到第九个组成，第五到第十个，共有5种结果其它四个字母没有限制，共有264种，由古典概型公式得到P=，故答案为：【点评】本题是一个古典概型，培养学生运用数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度11（3分）（2009上海）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间0，1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）那么原闭区间0，1上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是和 ；原闭区间0，1上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为，【考点】归纳推理菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】根据题意，可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍因为第一次操作后，原线段AB上的，均变成，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和，则它们的和可求根据题意，将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据，找出规律，列出通式即可【解答】解：第一次操作后，原线段AB上的，均变成，对应点扩大了2倍，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和，根据题意，得123411由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为为，所以恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为，故答案为：和 ；，【点评】此题的难点是理解题意，能够发现对应点之间的变化规律：下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍解答本题的难点是根据数据列出通式，方便比较数据之间的联系，通过列表格的形式，可以直观一些二选择题（本大题满分12分）12（3分）（2009上海）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【解答】解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，故选B【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系13（3分）（2009上海）过点P（0，1）与圆x2+y22x3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）Ax=0By=1Cx+y1=0Dxy+1=0【考点】直线的一般式方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】圆的直径所在直线符合题意，求出辞职显得斜率，用点斜式求直线的方程【解答】解：易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心为O（1，0）且过点P（0，1），故直线的斜率，则根据点斜式方程为 y1=1（x0），即 x+y1=0，故选 C【点评】本题考查用点斜式求求直线方程，判断圆的直径所在直线符合题意是解题的突破口14（3分）（2009上海）已知函数若f（x0）3，则x0的取值范围是（）Ax08Bx00或x08C0x08Dx00或0x08【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；分类讨论【分析】通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围【解答】解：当x0时，f（x0）=3，x0+11，x00 这与x0相矛盾，x当x0时，f（x0）=log2x03，x08综上：x08故选A【点评】本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题15（3分）（2009上海）函数的反函数图象是（）ABCD【考点】反函数；函数的图象菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题【分析】先画出条件中函数式的图象，再将其图象作关于直线y=x对称的图象即得【解答】解：作出函数的图象，如图，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，函数的反函数图象是：C故选C【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，16（12分）（2009上海）如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1AC=ACB=，AA1C=，侧棱BB1与底面所成的角为，AA1=4，BC=4求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积V【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】如图，在RtAA1C中求出AC，作B1H平面ABC，垂足为H，则B1BH=，求出B1H就是棱柱的高，然后求出斜三棱柱ABCA1B1C1的体积【解答】解：在RtAA1C中，AC=AA1tanAA1C=4=4作B1H平面ABC，垂足为H，则B1BH=，在RtB1BH中，B1H=BB1sinB1BH=AA1sin=4=6V=SABCB1H=446=48【点评】本题是基础题，考查斜三棱柱ABCA1B1C1的体积的求法，求出底面面积，它的高是本题的难点，注意正确分析，仔细体会17（14分）（2009上海）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）（1）求数列an的通项公式；（2）记S=a1+a2+an+若对任意正整数n，kSSn恒成立，求实数k的最大值【考点】数列递推式；数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）3an+1+2sn=3，3an+2sn1=3，两式相减，得3an+13an+2（SnSn1）=0，由此能求出数列an的通项公式（2）S=，由此能求出k的最大值【解答】解：（1）由题设条件得3an+1+2sn=3，3an+2sn1=3两式相减，得3an+13an+2（SnSn1）=0，即，n1 又，所以通项为：（2）S=，要kSSn恒成立，由于Sn递增所以只要kS=S1，即k的最大值为【点评】本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用18（14分）（2009上海）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】应用题【分析】利用待定系数法，先求出轨道方程，再利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，可求探测器位置的坐标，从而可求探测器在变轨时与火星表面的距离【解答】解：设所求轨道方程为，a+c=800+34，ac=8+34，a=438，c=396（4分）于是 b2=a2c2=35028所求轨道方程为 （8分）设变轨时，探测器位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=81975.1，又，解得 x0=239.7，y0=156.7（11分）探测器在变轨时与火星表面的距离为（14分）答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里（16分）【点评】本题以实际问题为载体，考查椭圆方程的运用，解题的关键是求出椭圆方程，利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，求出探测器位置的坐标19（16分）（2009上海）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）设an是首项为a，公差为d（d0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；（3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p0）上，求a与d之间所应满足的关系式【考点】曲线与方程；三点共线；轨迹方程菁优网版权所有【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；（3）顶点An的横、纵坐标，消去n1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式【解答】（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标=2（n+1）2，顶点An的纵坐标对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，所有顶点An均落在抛物线y2=2x上（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是+（n1）a，消去n1，可得为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p0）上，则有解之，得d=4p，a=8pa，d所应满足的关系式是：a=2d【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题20（18分）（2009上海）设函数fn（）=sinn+（1）ncosn，0，其中n为正整数（1）判断函数f1（）、f3（）的单调性，并就f1（）的情形证明你的结论；（2）证明：2f6（）f4（）=（cos4sin4）（cos2sin2）；（3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn（）的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；函数单调性的判断与证明；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】证明题；综合题；压轴题【分析】（1）设 12，1、20，根据三角函数的特点判断f1（1）f1（2）=（sin1sin2）+（cos2cos1）0，从而得出结论；（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22，同理原式右边也等于cos22，从而