2016年福建省漳州市高考理科数学模拟试卷(5月)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（理科）（ 5 月份） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知复数 z= （ ） A |z|=2 B =1 i C z 的实部为 1 D z+1 为纯虚数 2已知 x） = ，则 x+ ） =（ ） A B C D 3已知命题 p： m R， ，命题 q： x R， x2+ 0 恒成立，若 p q 为假命题，则数 m 的取值范围 是（ ） A m 2 B m 2 C m 2 或 m 2 D 2 m 2 4从 1， 2， 3， 4， 5 中任取 2 个不同的数，在取到的 2 个数之和为偶数的条件下，取到的2 个数均为奇数的概率为（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值是（ ） A 31 B 63 C 64 D 127 6在 ， ， ， B= ，则 面积是（ ） A B C 2 D 3 7在（ ） n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 第 2 页（共 21 页） 8已知函数 f（ x） = 有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 4， +） B 4， +） C（ ， 4 D（ ， 4） 9己知 O 为坐标原点，双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别为 焦点为 F，以 直径作圆交 异于原点 O 的点 A，若点 B 在 ，且 =2 ，则双曲线的离心率等于（ ） A B C 2 D 3 10如图，网格的小正方形的边长是 1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体 积是（ ） A 1 B C D 2 11已知点 P 在 （不含边界），且 =x +y ，则 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） 12已知函数 f（ x） =+则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的周期为 B f（ x）在（ ， 0）上单调递减 C f（ x）的最大值为 D f（ x）的图象关于直线 x= 对称 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13设向量 ， 是夹角为 的单位向量，若 = + ，则 | |= 14直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 2 ，则 k= 15在四面体 P ， 平面 正三角形， ， ，则该四面体外接球的表面积等于 16已知 R，则（ e ） 2+（ e ） 2 的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知递增的等差数列 前 n 项和为 等比数列，且 5最小值为 20 第 3 页（共 21 页） （ I）求 （ ）设 bn=，求数列 前 n 项和 18某鞋店随机抽取了一年内 100 天的日销售量 （单位：双），结果统计如表： 日销售量 0， 100 100， 200 200， 300 300， 400 日销售量等级 差 中 良 优秀 天数 20 45 20 15 （ 1）若本次抽取的样本数据有 30 天是夏季，其中有 8 天为销售量等级优秀，根据提供的统计数据，完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95%有把握认为 “该鞋店日销售等级为优秀与季节有关 ”？ 非优秀 优秀 总计 夏季 非夏季 总计 100 （ 2）已知该鞋店每人固定成本为 680 元，每双鞋销售利润为 6 元，试估计该鞋 店一年的平均利润 附： P（ 9如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， D， 0点分 E， F， G， H 别是棱 共面的四点，且 （ 1）证明： （ 2）若点 E， F， G， H 分别是棱 中点，求二面角 E B 的余弦值 20已知抛物线 焦点 F 与椭圆 + 的上顶点重合，直线 y=kx+1 交于 M、 N 两点，分别以 M、 N 为切点作曲线 两条切线交与点 P （ 1）求抛物线 方程； （ 2） 若直线 抛物线 焦点，判断点 P 是否在抛物线 准线上，并说明理由； 若点 P 在椭圆 ，求 积 S 的最大值及相应的点 P 的坐标 21已知函数 f（ x） =1（ a R） （ 1）证明：当 a 1 时， f（ x）有唯一的零点； （ 2）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 21 页） 22如图， O 的一条切线，切点为 B， 是 O 的割线， B （ 1）证明： D （ 2）证明： 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 （其中 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 = 和 = （ 0 ）与圆C 分别异于极点 O 的 A， B 两点 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）求 |最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+a| |2x 3|， a R （ 1）若 a=2，求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若存在实数 x 使得 f（ x） 2a 成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（理科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知复数 z= （ ） A |z|=2 B =1 i C z 的实部为 1 D z+1 为纯虚数 【考点】 复数代数形式的乘除 运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简 z，则答案可求 【解答】 解： z= = ， z+1=i 为纯虚数 故选： D 2已知 x） = ，则 x+ ） =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 利用诱导公式，可得 x+ ） = x），即可得出结论 【解答】 解： x+x+ = ， x+ ） = x） = 故选 A 3已知命题 p： m R， ，命题 q： x R， x2+ 0 恒成立，若 p q 为假命题，则数 m 的取值范围是（ ） A m 2 B m 2 C m 2 或 m 2 D 2 m 2 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：由于 1， 1，可得 p 是真命题若命题 q 是真命题：则 0，解得 2 m 2若 p q 为真命题， p 与 q 都为真命题：可得 2 m 2即可得出 p m 的取值范围 【解答】 解：命题 p： m R， 1， 1，是真命题 命题 q： x R， x2+ 0 恒成立 ，则 =4 0，解得 2 m 2 第 6 页（共 21 页） 若 p q 为真命题， p 与 q 都为真命题：可得 2 m 2 p q 为假命题， m 2 或 m 2 故选： C 4从 1， 2， 3， 4， 5 中任取 2 个不同的数，在取到的 2 个数之和为偶数的条件下，取到的2 个数均为奇数的概率为（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件 A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件 概率，然后直接利用条件概率公式求解 【解答】 解： P（ A） = = ， P（ = = 由条件概率公式得 P（ B|A） = = = 故选： D 5执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值是（ ） A 31 B 63 C 64 D 127 【考点】 程序框图 【分析】 方法一：执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 k=6 时，不满足条件 k 6，输出 S 的值为 63， 方法二：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可 知：该程序的作用是累加并输出 20+21+22+23+24+25 值，并输出 【解答】 解：方法一：执行程序框图，有 k=0， S=0 满足条件 k 6， S=1， k=1 满足条件 k 6， S=1+2=3， k=2 满足条件 k 6， S=3+22=7， k=3， 满足条件 k 6， S=7+23=15， k=4 满足条件 k 6， S=15+24=31， k=5， 第 7 页（共 21 页） 满足条件 k 6， S=31+25=63， k=6 不满足条件 k 6，输出 S 的值为 63 方法二：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是 累 加 S=2+21+22+23+24+25=63 故选： B 6在 ， ， ， B= ，则 面积是（ ） A B C 2 D 3 【考点】 正弦定 理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 值，进而根据三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解：在 ， ， ， B= ， 由余弦定理： 2C得： 13=9+2 3 ，整理解得： 或 1（舍去） S 3 4 =3 故选： D 7在（ ） n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出 n；利用二项展开式的通 项公式求出通项，令 x 的指数为 0 求出常数项 【解答】 解：依题意， +1=5， n=8 二项式为（ ） 8，其展开式的通项 令 解得 k=6 故常数项为 ） 2（ ） 6=7 故 选 B 第 8 页（共 21 页） 8已知函数 f（ x） = 有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 4， +） B 4， +） C（ ， 4 D（ ， 4） 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 按分段函数分类讨论函数值的取值，从而确定 a 的取值范围 【解答】 解： 当 x 0 时， f（ x） =x+ 2 =4， （当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立）； 当 x 0 时， a 2x+a 1+a， 函数 f（ x） = 有最小值， a 4， 故选 B 9己知 O 为坐标原点，双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别为 焦点为 F，以 直径作圆交 异于原点 O 的点 A，若点 B 在 ，且 =2 ，则双曲线的离心率等于（ ） A B C 2 D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出 A， B 的坐标，结合点 y= x 上，建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：双曲线的渐近线方程 y= x， y= x， F（ c， 0）， 圆的方程为 x2+，将 y= x 代入 x2+，得 x） 2= ， 即 ，则 ，则 x= ，此时 y = ，即 A（ ， ）， 设 B（ m， n），则 n= m， 则 =（ m ， n ）， =（ c， ）， =2 ， 第 9 页（共 21 页） （ m ， n ） =2（ c， ） =（ a 2c， b） 则 m =a 2c， n =b， 即 m= a 2c， n= b， 即 b= （ a 2c） = b+ b， 即 3b= b， 则 =3， 故选： D 10如图，网格的小正方形的边长是 1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积是（ ） A 1 B C D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几 何体一个三棱锥，把三棱锥放在对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的位置关系和椎体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 如图：三棱锥 D 其中外面的是正方体，棱长为 2， 几何体的体积是 V= 第 10 页（共 21 页） = = ， 故选： B 11已知 点 P 在 （不含边界），且 =x +y ，则 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 由条件及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出 x， y （ 0，1），并且有 y 趋向 1 时， x 趋向 0，而 y 趋向 0 时， x 趋向 1，而对于 ： y 越大， x 越小时其值越大，反之越小，这样便可得出 ，即得出 的取值范围 【解答】 解：如图， 根据条件及 得： 0 x 1， 0 y 1； y 越大， x 越小时， 越大，且 y 趋向 1 时， x 趋向 0； ； 同样， y 越小， x 越大时， 越小，且 y 趋向 0 时， x 趋向 1； ； ； 即 的取值范围为 故选： A 第 11 页（共 21 页） 12已知函数 f（ x） =+则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的周期为 B f（ x）在（ ， 0）上单调递减 C f（ x）的最大值为 D f（ x）的图象关于直线 x= 对称 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 验证 f（ 0）与 f（ ）是否相等判断 A，根据复合函数的单调性判断 B，计算 f（ 0）与 比较大小判断 C 【解答】 解：（ A） f（ 0） =+f（ ） = 1） =1 不是 f（ x）的周期故 A 错误 （ B）当 x （ ， 0）时， y=增函数， y=增函数，且 （ ， 0），（ 0， ） y=增函数， y=增函数， f（ x）在（ ， 0）上是增函数，故 B 错误 （ C） f（ 0） =+= ， 不是 f（ x）的最大值，故 C 错误 （ D） f（ +x） =+x） +x） = + = f（ x） = x） + x） =+ = f（ +x） =f（ x） x= 是 f（ x）的对称轴，故 D 正确 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13设向量 ， 是夹角为 的单位向量，若 = + ，则 | |= 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知求得 ，再由 | |=| |= ，展开后得答案 【解答】 解： ，且 ， 的夹角为 ， 第 12 页（共 21 页） 则 | |=| |= = 故答案为： 1 14直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 2 ，则 k= 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线 y= 的距离 d，根据弦长公式列出方程求出 k 的值 【解答】 解：由题意得，圆心坐标是（ 2， 3），半径 r=2， 圆心到直线 y= 的距离 d= = ， 截得的弦长为 2 ，且 ， ，解得 k= 1， 故答案为： 1 15在四面体 P ， 平面 正三角形， ， ，则该四面体外接球的表面积等于 16 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 由题意把 A、 B、 C、 P 扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，然后求出球的表面积 【解答】 解：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、 B、 C、 P 扩展为三棱柱， 上下底 面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径， ， 正三角形， ， =2 所求球的表面积为： 4 22=16 故答案为： 16 16已知 R，则（ e ） 2+（ e ） 2 的最小值为 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 第 13 页（共 21 页） 【分析】 本题应用了两点间距离公式，及导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可 【解答】 解：由题意可转化为点 A（ ）与点 B（ ）间的距离最小值的平方 点 A 在函数 y=，点 B 在函数 y=，这两个函数关于 y=x 对称，所以转化为函数 y=y=x 的距离的最小值 2 倍的平方 此时 ， y=率为 1 的切线方程为 y=x 1，它与 y=x 的距离为 故原式的最小值为 2 故答案为： 2 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知递增的等差数列 前 n 项和为 等比数列，且 5最小值为 20 （ I）求 （ ）设 bn=，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求 和；等差数列的通项公式 【分析】 （ I）通过记等差数列 公差为 d（ d 0），利用 等比数列化简可知d=过 5最小值为 20 即可确定 d=2，进而计算可得结论； （ ）通过（ I） 、裂项可知 = ，进而利用分组法求和及并项相消法计算即得结论 【解答】 解：（ I）记等差数列 公差为 d（ d 0）， 等比数列， = =（ a1+d）（ d）， 整理得： d2= d= 5d 5 9n） ， 9n= ，且 42 36=52 45= 20， 20 = 20，即 d=2， n； （ ）由（ I）可知 Sn=n（ n+1）， ， bn=2n+（ ）， 2+22+2n） +（ 1 + + ） 第 14 页（共 21 页） = +（ 1 ） =2n+1 1 18某鞋店随机抽取了一年内 100 天的日销售量（单位：双），结果统计如表： 日销售量 0， 100 100， 200 200， 300 300， 400 日销售量等级 差 中 良 优秀 天数 20 45 20 15 （ 1）若本次抽取的样本数据有 30 天是夏季，其中有 8 天为销售量等级优秀，根据提供的统计数据，完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95%有把握认为 “该鞋店日销售等级为优秀与季节有关 ”？ 非优秀 优秀 总计 夏季 非夏季 总计 100 （ 2）已知该鞋店每人固定成本为 680 元，每双鞋销售利润为 6 元，试估计该鞋店一年的平均利润 附： P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由题意得 2 2 列联表，利用公式求出 临界值比较，即可得出结论； （ 2）求出该鞋店日平均销售量、日平均利润，即可估计该鞋店一年的平均利润 【解答】 解：（ 1）由题意得 2 2 列联表： 非优秀 优秀 总计 夏季 22 8 30 非夏季 63 7 70 总计 85 15 100 有 95%有把握认为 “该鞋店日销售等级为优秀与季节有关 ”； （ 2）由题意得，该鞋店日平均销售量为 50 +150 +250 +350 =180双， 则该鞋店的日平均利润为 180 6 680=400 元， 可估计该鞋店一年的平均利润为 400 365=146000 元 19如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， D， 0点分 E， F， G， H 别是棱 共面的四点，且 第 15 页（共 21 页） （ 1）证明： （ 2）若点 E， F， G， H 分别是棱 中点，求二面角 E B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的 性质 【分析】 （ 1）根据线面平行的性质定理证明 平面 可； （ 2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可 【解答】 解：（ 1） 面 平面 平面 面 面 面 H， （ 2） 菱形， 设 D=O， 则 O 是 中点， H 是 中点， 平面 平面 建立以 O 为坐标原点 ， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 设 ，则 A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， E（ ， ， 0）， H（ 0， 0， 1）， C（ ，0， 0）， D（ 0， 1， 0）， F（ ， ， 0）， G（ ， ， 1）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，即 ，令 x=1，则 y= ， z=0，即 =（ 1， ， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，则 ，令 x= 1，则 y=z= ， 即 =（ 1， ， ）， ， = = ， 第 16 页（共 21 页） 二面角 E B 是锐二面角， 二面角 E B 的余弦值是 20已知抛物线 焦点 F 与椭圆 + 的上顶点重合，直线 y=kx+1 交于 M、 N 两点，分别以 M、 N 为切点作曲线 两条切线交与点 P （ 1）求抛物线 方程； （ 2） 若直线 抛物线 焦点，判断点 P 是否在抛物线 准线上，并说明理由； 若点 P 在椭圆 ，求 积 S 的最大值及相应的点 P 的坐标 【考点】 抛物线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）利用抛物线 焦点 F 与椭圆 + 的上顶点重合，求出p，即可求抛物线 方程； （ 2） 求出以 M、 N 为切点的切线方程，联立可得 P（ ， ），直线 抛物线 焦点，方程为 y=，与抛物线 y 联立，消去 y，可得 44=0，即可证明点 P 在抛物线 准线上； 由 ，消去 y 得 44m=0，求 出 | P 到直线 y+m=0 的距离d= ，可得 面积 S= |MN|d，即可求 积 S 的最大值及相应的点 P 的坐标 【解答】 解：（ 1）椭圆 + 的上顶点为（ 0， 1）， 抛物线 焦点 F 与椭圆 + 的上顶点重合， =1， p=2， 抛物线 方程为 y； （ 2） 设 M（ N（ 则 y= y= x， 第 17 页（共 21 页） 以 M 为切点的切线方程为 y x 即 y= 同理以 N 为切点的切线方程为 y= 联立可得 P（ ， ） 直线 抛物线 焦点，方程为 y=，与抛物线 y 联立，消去 y，可得 44=0， 4， P（ ， 1） 抛物线 准线方程为 y= 1， 点 P 在抛物线 准线上； 由 ，消去 y 得 44m=0， x1+k， 4m， P（ ， ）可化为 P（ 2k， m） 代入椭圆方程得 k2+， | |4 P 到直线 y+m=0 的距离 d= ， 面积 S= |MN|d=4 |k2+m|=4 =4 4 = ， 即 m= 时， S 取最大值 ， 此时 k= ，点 P 坐标为（ ， ） 21已知函数 f（ x） =1（ a R） （ 1）证明：当 a 1 时， f（ x）有唯一的零点； （ 2）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求导，构造辅助函数 g（ x） =f（ x） = g（ x） = a，当 a 1 时，可知 g（ x）在 R 上单调递增， g（ 0） =0，即可判断 f（ x）在 0， +）上为增函数，在（ ， 0）上为减函数，由 f（ x） =0，即可证明，当 a 1 时， f（ x）有唯一的零点； 第 18 页（共 21 页） （ 2）分类，当 a 0 时，由函数的单调性可知 f（ ） 0，不满足 f（ x） 0；当 0 a 1，设 h（ x） =f（ x） = 据余弦函数性质可知存在 （ 0， ），使得 a，且 h（ x） = 0， 为减函数， f（ x）在 0， 减函数，故当 x （ 0， ， f（ x） f（ 0） =0，不符合题意，由（ 1）可知：当 a 1 时， f（ x） 0，因此， 若 f（ x） 0，实数 a 的取值范围 1， +） 【解答】 解：（ 1）证明：因为 f（ x） = x R） 令 g（ x） = g（ x） = a， 所以当 a 1 时， g（ x） = a 0，即 g（ x）在 R 上单调递增， 又 g（ 0） = ， 所以 x 0， +）， f（ x） 0，当 x （ ， 0）， f（ x） 0， 所以 f（ x）在 0， +）上为增函数，在（ ， 0）上为减函数， 又 f（ 0） =0，所以当 x 0， +）， f（ x） 0， 当 x （ ， 0），对 x R 恒成立，即当 a 1 时， f（ x） 0， 且当且仅当 x=0， f（ x） =0， 故当 a 1 时， f（ x）有唯一的零点； （ 2） 当 a 0 时， f（ ） = （ ） 2 1 1 0， 所以当 a 0，不符合题意； 当 0 a 1 时， 因为 f（ x） = h（ x） = x （ 0， ）， h（ x） = a， 因为 a （ 0， 1），所以存在 （ 0， ），使得 a， 因为 （ 0， ）上为单调递减，所以当 x 0， h（ x） 0， h（ x） = 0， 为减函数， 即 f（ x） =h（ x） h（ 0） =0， 所以 f（ x）在 0， 减函数，故当 x （ 0， ， f（ x） f（ 0） =0， 故当 0