2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|x 3， B=x|x 2，则（ A=（ ） A x|x 2 B x|1 x 3 C x|2 x 3 D x|2 x 3 2设 i 是虚数单位，则复数 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3已知非零平面向量 ， ， “| + |=| |”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必 要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 42 B 19 C 8 D 3 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ，则 B=（ ） A B C D 6已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A B C D 7某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的 是（ ） 第 2 页（共 19 页） （注：结余 =收入支出） A收入最高值与收入最低值的比是 3： 1 B结余最高的月份是 7 月 C 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 8若圆 y 1） 2=曲线（ x 1） y=1 没有公共点，则半径 r 的取值范围是（ ） A 0 r B 0 r C 0 r D 0 r 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知函数 则 f（ f（ 1） = 10已知双曲线 过抛物线 x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 11已知递增的等差数列 n N*）的首项 ，且 等比数列，则数列 通项公式 ； a4+a8+= 12已知不等式组 表示的平面区域为 D若直线 y=a（ x+1）与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值范围是 13已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 5） 2=5，过圆心 C 的直线 l 交圆 C 于 A， B 两点，交 y 轴于点 P若 A 恰为 中点，则直线 l 的方程为 14甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从 1（ 1 必须报）开始连续报数，每人一 次最少要报一个数，最多可以连续报 7 个数（如，一个人先报数 “1， 2”，则下一个人可以有 “3”，“3， 4”， ， “3， 4， 5， 6， 7， 8， 9”等七种报数方法），谁抢先报到 “100”则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 （ 0）的最小正周期为 第 3 页（共 19 页） （ ）求 的值； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16已知数列 前 n 项和 ， n N* （ ）求数列 通项公式； （ ）若 ，求数列 前 n 项和 17某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如表： 阅读名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数 1 3 3 1 2 （ ）试根据上述数据，求这个班 级女生阅读名著的平均本数； （ ）若从阅读 5 本名著的学生中任选 2 人交流读书心得，求选到男生和女生各 1 人的概率； （ ）试判断该班男生阅读名著本数的方差 与女生阅读名著本数的方差 的大小 （只需写出结论）（注：方差 ，其中为 平均数） 18如图，在三棱柱 ， 底面 0， C=2， M， N 分别为 中点， P 为侧棱 的动点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 P 为线段 中点，求证： 平面 （ ）试判断直线 平面 否能够垂直若能垂直，求 值；若不能垂直，请说明理由 19已知椭圆 C： 的焦点分别 为 （ ）求以线段 直径的圆的方程； （ ）过点 P（ 4， 0）任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N在 x 轴上是否存在点 Q，使得 80？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 20已知函数 （ k R） （ ）若 k=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； 第 4 页（共 19 页） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 k 0，若函数 f（ x）在区间 上 存在极值点，求 k 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|x 3， B=x|x 2，则（ A=（ ） A x|x 2 B x|1 x 3 C x|2 x 3 D x|2 x 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 直接利用集合的基本运算求解即可 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=x|x 3， B=x|x 2，则（ A=x|x 3x|x 2=x|2 x 3， 故选： D 2设 i 是虚数单位，则复数 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的除法运算进行化简计算 【解答】 解： = = =1+i 故选： A 3已知非零平面向量 ， ， “| + |=| |”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 非零平面向量 ， ，利用数量积运算性质可得： “| + |=| |”= =0“ ”，即可判断出结论 【解答】 解：非零平面向量 ， ， “| + |=| |” = =0“ ”， 非零平面向量 ， ， “| + |=| |”是 “ ”的充要条件 故选： C 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 6 页（共 19 页） A 42 B 19 C 8 D 3 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=4 时不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 19 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， S=1 满足条件 i 4， S=3， i=2 满足条件 i 4， S=8， i=3 满足条件 i 4， S=19， i=4 不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 19 故选： B 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ，则 B=（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 根据条件和正弦定理得出 出 B 【解答】 解：在 ， ， ， 又 ， B= 故选： C 6已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面 积是（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图得到该四棱锥的直观图，结合四棱锥的侧面积公式进行求解即可 【解答】 解：由由三视图得该几何体的直观图如图： 其中矩形 边长 ， ，高 ， B=1， 则 B= ， C= = = ， ， 则四棱锥的侧面 S=S 2 1+ + 22+ =3+ ， 故选： B 7某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ） 第 8 页（共 19 页） （注：结余 =收入支出） A收入最高值与收入最低值的比是 3： 1 B结余最高的月份是 7 月 C 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 【考点】 函数的图象与图象变化 【分析】 根据折现统计图即可判断各选项 【解答】 解：由图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 3： 1，故A 正确， 由图可知 ，结余最高为 7 月份，为 80 20=60，故 B 正确， 由图可知， 1 至 2 月份的收入的变化率为与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确， 由图可知，前 6 个月的平均收入为 （ 40+60+30+30+50+60） =45 万元，故 D 错误， 故选： D 8若圆 y 1） 2=曲线（ x 1） y=1 没有公共点，则半径 r 的取值范围是（ ） A 0 r B 0 r C 0 r D 0 r 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 求得圆的圆心和半径，设圆与曲线 y= 相切的切点为（ m， n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围 【解答】 解：圆的圆心为（ 0， 1），半径 为 r， 设圆与曲线 y= 相切的切点为（ m， n）， 可得 n= ， y= 的导数为 y= ， 可得切线的斜率为 ， 由两点的斜率公式可得 （ ） = 1， 即为 n 1=m（ m 1） 2， 由 可得 n 1=0， 化为（ n 1）（ ） =0， 即有 n 1=0，解得 n= 或 ， 第 9 页（共 19 页） 则有 或 可得此时圆的半径 r= = 结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候， r 的范围是（ 0， ） 故选： C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知函数 则 f（ f（ 1） = 2 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可 【解答】 解：由分段函数的表达式得 f（ 1） =（ 1） 2=1， 则 f（ 1） =1+3） =， f（ f（ 1） =f（ 1） =2， 故答案为： 2 10已知双曲线 过抛物线 x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 【考点】 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线的方程，求出 m，然后求解双曲线的渐近线方程 【解答】 解：抛物线 x 的焦点（ 2， 0），代入双曲线方程，可 得 ，解得 m=4， 双曲线方程为： 渐近线方程为： 故答案为： 第 10 页（共 19 页） 11已知递增的等差数列 n N*）的首项 ，且 等比数列，则数列 通项公式 n ； a4+a8+= 2n+4 【考点】 数列的求和 【分析 】 通过记递增的等差数列 公差为 d（ d 0），利用 等比数列可知公差 d=1，进而可知数列 首项、公差均为 1 的等差数列，计算即得结论 【解答】 解：记递增的等差数列 公差为 d（ d 0）， 由 可知， +d， +3d， 又 等比数列， =（ 1+d） 2=1+3d， 整理得： d2=d， 解得： d=1 或 d=0（舍）， 数列 首项、公差均为 1 的等差数列， an=n， 数列 是首项为 4、公差为 4 的等差数列， a4+a8+=4（ n+1） + 4=2n+4， 故答案为： n， 2n+4 12已知不等式组 表示的平面区域为 D若直线 y=a（ x+1）与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值范围是 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 画出满足约束条件不等式组 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 y=a（ x+1）中，求出 y=a（ x+1）对应的 a 的端点值即可 【解答】 解：满足约束条件不等式组 的平面区域如图示： 因为 y=a（ x+1）过定点（ 1， 0） 所以当 y=a（ x+1）过点 B，由 ，解得 A（ 3， 3），得到 3=a（ 3+1），解得 a= ， 又因为直线 y=a（ x+1）与平面区域 D 有公共点 所以 0 a 故答案为： 第 11 页（共 19 页） 13已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 5） 2=5，过圆心 C 的直线 l 交圆 C 于 A， B 两点，交 y 轴于点 P若 A 恰为 中点，则直线 l 的方程为 2x y 1=0 或 2x+y 11=0 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 由题意可设直线 L 的方程为 y 5=k（ x 3）， P（ 0， 5 3k），设 A（ B（ x2，联立直线与圆的方程，然后由方程的根与系数关系可得， x1+ A 为 中点可得 立可求 而可求 k，即可求解直线方程 【解答】 解：由题意可得， C（ 3， 5），直线 L 的斜率存在 可设直线 L 的方程为 y 5=k（ x 3） 令 x=0 可得 y=5 3k，即 P（ 0， 5 3k），设 A（ B（ 联立直线与圆的方程，消去 y 可得（ 1+6（ 1+x+9=0 由方程的根与系数关系可 得， x1+， A 为 中点 把 代入 可得 ， ， =8 k= 2 直线 l 的方程为 y 5= 2（ x 3），即 2x y 1=0 或 2x+y 11=0 故答案为： 2x y 1=0 或 2x+y 11=0 14甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从 1（ 1 必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报 7 个数（如，一个人先 报数 “1， 2”，则下一个人可以有 “3”，“3， 4”， ， “3， 4， 5， 6， 7， 8， 9”等七种报数方法），谁抢先报到 “100”则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 1， 2， 3， 4 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报 7 个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为 8 的倍数即可 【解答】 解： 至少拿 1 个，至多拿 7 个， 两人每轮总和完全可控制的只有 8 个， 第 12 页（共 19 页） 把零头取掉后，剩下的就是 8 的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次 后）都是拿走 8 个，即先取 4 个，以后每次如果乙报 a，甲报 8 a 即可，保证每一轮两人报的和为 8 即可，最终只能甲抢到 100 故先开始甲应取 4 个 故答案为： 1， 2， 3， 4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 （ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数的最值；三角函数的周期性 及其求法 【分析】 （ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） = ，由周期公式解方程可得 =1； （ ）由（ ）可知 ，由 和三角函数区间的最值可得 【解答】 解：（ ）由三角函数公式化简可得： f（ x） = = = = f（ x）的最小正周期为 ， 解方程可得 =1； （ ）由（ ）可知 ， 当 ，即 时， f（ x）取得最大值是 ； 当 ，即 时， f（ x）取得最小值是 f（ x）在区间 的最大值为 ，最小值为 第 13 页（共 19 页） 16已知数列 前 n 项和 ， n N* （ ）求数列 通项公式； （ ）若 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）由数列的求和公式，通过当 n 2 时， an=1，验证 n=1 时，数列的通项公式是否满足所求结果，即可求解数列 通项公式 （ ）由（ ）可求出 n 为偶数时，当 n 为奇 数时，分别求出数列的和即可 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ）由 ， 当 n 2 时， 当 n=1 时， 1=1，而 4 1 3=1， 所以数列 通项公式 n 3， n N* （ ）由（ ）可得 ， 当 n 为偶数时， ， 当 n 为奇数时， n+1 为偶数， n+1 =2（ n+1）（ 4n+1） = 2n+1 综上， 17某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如表： 阅读名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数 1 3 3 1 2 （ ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数； （ ）若从阅读 5 本名著的学生中任选 2 人交流读书心得，求选到男生和女生各 1 人的概率； （ ）试判断该班男生阅读名著本数的 方差 与女生阅读名著本数的方差 的大小 （只需写出结论）（注：方差 ，其中为 平均数） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）根据数表中的数据，求出女生阅读名著的平均本数即可； （ ）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值； （ 用公 式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可 【解答】 解：（ ）女生阅读名著的平均本数为 本； 第 14 页（共 19 页） （ ）设事件 A=从阅读 5 本名著的学生中任取 2 人，其中男生和女生各 1 人 ， 男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为 生阅读 5 本名著的 2 人分别记为 从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是： 其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果，分别是： 则 ； （ 生阅读名著本数的平均数是 = （ 1 3+2 1+3 2+4 1+5 3） =3， 方差是 = 3 （ 2） 2+（ 1） 2+2 02+12+3 22= 女生阅读名著本数的平均数是 =3， 方差 = （ 2） 2+3 （ 1） 2+3 02+12+2 22= 所以 18如图，在三棱柱 ， 底面 0， C=2， M， N 分别为 中点， P 为侧棱 的动点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 P 为线段 中点，求证： 平面 （ ）试判断直线 平面 否能够垂直若能垂直，求 值；若不能垂直，请说明理由 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由已知 推导出 底面 而 平面 此能证明平面 平面 （ ）取 点 D，连结 四边形 平行四边形，从而 而 平面 一步推导出 而 平面 而平面 平面 此能证明 平面 （ ）假设 平面 直，则 PB=x， 推 导出，从而得到直线 平面 能垂直 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明：（ ）由已知， M 为 点，且 C，所以 又因为 底面 以 底面 因为 面 以 又 C=B， 所以 平面 又因为 面 所以平面 平面 （ ）取 点 D，连结 由于 D， M 分别为 中点，所以 1A 则四边形 平行四边形，所以 又 面 面 以 平面 由于 D， N 分别为 中点，所以 又 P， M 分别为 中点，所以 则 面 面 以 平面 由于 N=D，所以平面 平面 由于 面 以 平面 10 分 解：（ ）假设 平面 直， 由 面 设 PB=x， 当 ， 所以 以 由已知 ， 所以 ，得 由于 ， 因此直线 平面 能垂直 19已知椭圆 C： 的焦点分别为 （ ）求以线段 直径的圆的方程； 第 16 页（共 19 页） （ ）过点 P（ 4， 0）任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N在 x 轴上是否存在点 Q，使得 80？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程 【 分析】 （ I） 然后求解以线段 直径的圆的方程 （ 存在点 Q（ m， 0），直线 斜率存在，分别设为 价于 k1+设直线 l 的方程为 y=k（ x 4）与椭圆方程联立，利用 0求出 设 M（ N（ 利用韦达定理，通过 ，求出 m=1说明存在点 Q（ 1， 0），使得 80 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ I）因为 ， ，所以 所以以线段 直径的圆的方程为 x2+ （ 存在点 Q（ m， 0），使得 80， 则直线 斜率存在，分别设为 等价于 k1+ 依题意，直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y=k（ x 4） 由 ，得（ 2） 1624=0 因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点，所以 0 即（ 162 4（ 2）（ 324） 0，解得 设 M（ N（ 则 ， ， y1=k（ 4）， y2=k（ 4） 令 ，（ m） m） ，（ m） k（ 4） +（ m） k（ 4） =0， 当 k 0 时， 2 m+4）（ x1+8m=0， 所以 ， 第 17 页（共 19 页） 化简得， ， 所以 m=1 当 k=0 时，也成立 所以存在点 Q（ 1， 0），使得 80 20已知函数 （ k R） （ ）若 k=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）的 单调区间； （ ）设 k 0，若函数 f（ x）在区间 上存在极值点，求 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ） k=1，求出函数 f（ x）的定义域，函数的导数，求出曲线 y=f（ x）在点（ 0，f（ 0）处切线的斜率，然后求解切线的方程 （ ）求出函数 f（ x）的定义域为 x|x k，导函数，（ 1）当 k 0 时，求出令 f（ x） 0，令 f（ x） 0，求出函数 的单调区间即可 （ 2）当 k=0 时，当 k= 2