贵州省贵阳市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2015年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 3 0， B=x|0 x 2，则 AB=（ ） A x|1 x 2 B x|x 3，或 1 x 2 C x|x 3，或 0 x 2 D x|0 x 1 2设 i 为虚数单位，则复数 Z= 的共轭复数 为（ ） A 2 3i B 2 3i C 2+3i D 2+3i 3设 x， y R，则 “x， y 1”是 “x2+2”的（ ） A既不充分也不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D充分不必要条件 4甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为 V 甲 ，乙的体积为 V 乙 ，则（ ） A V 甲 V 乙 B V 甲 =V 乙 C V 甲 V 乙 D V 甲 、 V 乙 大小不能确定 5下列函数中，以 为最小正周期的奇函数是（ ） A y= y=4x+ ） C y= y=如图，在三棱锥 P ，不能证明 条件是（ ） A 平面 平面 平面 阅读程 序框图，为使输出的数据为 31，则 处应填的表达式为（ ） 第 2 页（共 22 页） A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 8已知 O 为坐标原点，点 A（ 1， 2），若点 M（ x， y）为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 0， 1 C 1， 3 D 1， 4 9已 知函数 f（ x）的图象如图所示，则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =e B f（ x） =e C f（ x） =e 1 D f（ x） =1） 10若点 A（ a， b）在第一象限且在 x+2y=4 上移动，则 ） A最大值为 2 B最小值为 1 C最大值 为 1 D没有最大值和最小值 11在 4， 4上随机取一个实数 m，能使函数 f（ x） =x3+x 在 R 上单调递增的概率为（ ） A B C D 12已知双曲线 与函数 y= 的图象交于点 P，若函数 y= 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 2， 0），则双曲线的离心率是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13图中阴影部分的面积等于 第 3 页（共 22 页） 14在 内角 A、 B、 C 所对边分别是 a、 b、 c，若 ， 形状一定是 15若直线 x+1=0 与 2x y+5=0 垂直，则二项式（ ） 5 的展开式中 系数为 16在平面直角坐标系中，已知点 P（ 3， 0）在圆 C：（ x m） 2+（ y 2） 2=40 内，动直线点 P 且交圆 C 于 A、 B 两点，若 面积的最大值为 20，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17设等差数列 前 n 项和为 知 3， 40 （ ）求数列 通项公式； （ ）若从数列 依次取出第 2， 4， 8， ， 2n， 项，按原来的顺序排成一个新数列 求数列 前 n 项和 18在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩（百分制）制成 如图所示的茎叶图： （ ）若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由； （ ）若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个，记选到的分数超过 87 分的个数为 ，求 的分布列和数学期望 19如图，在底面为梯形的四棱锥 S ，已知 0， 35，C= ， C=， O 为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值 第 4 页（共 22 页） 20设点 c， 0）， c， 0）分别是椭圆 C： =1（ a 1）的左、右焦点， 上任意一点，且 的最小值为 0 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）如图，动直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点 M， N 是直线 l 上的两点，且 l， l，求四边形 积 S 的最大值 21设函数 f（ x） = a 0） （ ）设 F（ x） = 2+f（ x），讨论函数 F（ x）的单调性； （ ）过两点 A（ f（ ， B（ （ 直线的斜率为 k，求证： 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所 做的第一题计分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 选修 4何证明选讲 22如图所示，圆 O 的两弦 于点 E，作 且交 延长线于点 F，圆 O 于点 G （ ）求证： （ ）如果 ，求 长 第 5 页（共 22 页） 选修 4标系与参数方程 23选修 4 4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，已知曲线 极 坐标方程为 =4线 参数方程为 （ t 为参数， 0 ），射线 =， =+ ， = 与曲线 于（不包括极点 O）三点 A、 B、 C （ I）求证： | | （ ）当 = 时， B， C 两点在曲线 ，求 m 与 的值 选修 4等式选讲 24设 f（ x） =|x 1| 2|x+1|的最大值为 m （ ）求 m； （ ）若 a， b， c （ 0， +）， b2+c2=m，求 ab+最大值 第 6 页（共 22 页） 2015年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 3 0， B=x|0 x 2，则 AB=（ ） A x|1 x 2 B x|x 3，或 1 x 2 C x|x 3，或 0 x 2 D x|0 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x+3）（ x 1） 0， 解得： x 3 或 x 1，即 A=x|x 3 或 x 1， B=x|0 x 2， 则 AB=x|1 x 2， 故选： A 2设 i 为虚数单位，则复数 Z= 的共轭复数 为（ ） A 2 3i B 2 3i C 2+3i D 2+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的混合运算，化简求解即可 【解答】 解：复数 Z= = = =2+3i 复数 Z= 的共轭复数 为： 2 3i 故选： A 3设 x， y R，则 “x， y 1”是 “x2+2”的（ ） A既不充分也不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D充分不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 若 x， y 1”，则 “x2+2”；反之不成立，如取 x=0， y=3即可判断出 【解答】 解：若 “x， y 1”，则 “x2+2”； 反之不成立，如取 x=0， y=3 因此 “x， y 1”，则 “x2+2”的充分不必要条件 故选： D 4甲乙两个几何体的正视图和侧视 图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为 V 甲 ，乙的体积为 V 乙 ，则（ ） 第 7 页（共 22 页） A V 甲 V 乙 B V 甲 =V 乙 C V 甲 V 乙 D V 甲 、 V 乙 大小不能确定 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 甲几何体为四棱锥，乙几何体为甲几何体切去一个三棱锥后剩下的三棱锥 【解答】 解：由三视图可知甲几何体为四棱锥 S 几何体为三棱锥 S 中底面 正方形， 平面 D=1， 甲几何体的体积大于以几何体的体积 故选 C 5下列函数中，以 为最小正周期的奇函数是（ ） A y= y=4x+ ） C y= y=考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 由条件利用两角和差的三角公式，二倍角公式，诱导公式化简所给的函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论 【 解答】 解： y=2x+ ）是非奇非偶函数，故排除 A； y=4x+ ） =偶函数，故排除 B； y=奇函数，周期为 = ，故满足条件 第 8 页（共 22 页） y= 偶函数，故排除 D， 故选： C 6如图，在三棱锥 P ，不能证明 条件是（ ） A 平面 平面 平面 考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 利用线面垂直的判定与性质，即可得出结论 【解答】 解：对于 A， C=P，则 平面 合题意； 对于 B， 能证明 题意； 对于 C，平面 平面 面 面 C， 平面 合题意； 对于 D， 平面 合题意； 故选： B 7阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则 处应填的表达式为（ ） A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 【考点】 程序框图 【分析】 分析程 序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第 9 页（共 22 页） 第四圈 31 5 否 故最后当 i 4 时退出， 故选： B 8已知 O 为坐标原点，点 A（ 1， 2），若点 M（ x， y）为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 0， 1 C 1， 3 D 1， 4 【考点】 简单线性规划；平面向量数量积的运算 【分析】 由约束条件作出可行域，化 为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形结合得到最 优解，代入最优解的坐标得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 令 z= = x+2y，得 y= x+ z 由图可知，当直线 y= x+ z 过 A（ 1， 1）时直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值，等于z= 1+2=1； 当直线过 B（ 0， 2）时直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值， z=2 2=4， 的取值范围是 1， 4 故选： D 9已知函数 f（ x）的图象如图所示，则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =e B f（ x） =e C f（ x） =e 1 D f（ x） =1） 第 10 页（共 22 页） 【考点】 函数的图象；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 结合函数的图象，利用函数的定义域，最值以及单调性进行判断即可 【解答】 解：函数关于 y 轴对称，则函数 f（ x）为偶函数 f（ 0）有意义，则排除 D若 f（ x） =1），则 f（ 0） = 1）无意义，不满足条件 f（ 0） 0， p 排除 C，若 f（ x） =e 1，则 f（ 0） =1 1=0，不满足条件 当 x=0 时，函数 f（ x）取得最大值，排除 B， 故选： A 10若点 A（ a， b）在第一象限且在 x+2y=4 上移动，则 ） A最大值为 2 B最小值为 1 C最大值为 1 D没有最大值和最小值 【考点】 对数的运算性质；基本不等式 【分析】 由题意结合基本不等式的性质求得 最大值，再由对数的运算性质得答案 【解答】 解 ：由题意可得， ， 则 4=a+2b ， 2 故选： C 11在 4， 4上随机取一个实数 m，能使函数 f（ x） =x3+x 在 R 上单调递增的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 利用导数求出函数 f（ x）为增函数的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：若 f（ x） =x3+x 在 R 上单调递增， 则 f（ x） 0 恒成立， 即 f（ x） =3 0， 即判别式 =44 3 3 0， 即 9， 得 3 m 3， 则对应的概率 P= = = ， 故选： D 12已知双曲线 与函数 y= 的图象交于点 P，若函数 y= 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 2， 0），则双曲线的离心率是（ ） 第 11 页（共 22 页） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率 【解答】 解：设 P（ m， ）， 函数 y= 的导数为 y= ， 可得切线的斜率为 ， 又在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 2， 0）， 可得 = ，解得 m=2， 即 P（ 2， ）， 可得 =1，又 c2=a2+c=2， 解得 a=b= ， 则双曲线的离心率是 e= = ， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13图中阴影部分的面积等于 1 【考点】 定积分 【分析】 根据题意，所求面积为函数 3区间 0， 1上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案 【解答】 解：根据题意，该阴影部分的面积为 =（ 13 03） =1 故答案为： 1 14在 内角 A、 B、 C 所对边分别是 a、 b、 c，若 ， 形状一定是 直角三角形 【考点】 三角形的形状判断 【分析】 直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状 第 12 页（共 22 页） 【解答】 解： = ，即 ， 由余弦定理可得： = ， 整理可得 a2+b2= 三角形是直角三角形 故答案为：直角三角形 15若直线 x+1=0 与 2x y+5=0 垂直，则二项式（ ） 5 的展开式中 系数为 80 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 直线 x+1=0 与 2x y+5=0 垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得 a则二项式（ ） 5 化为 ，可得 = （ 2r =（ 1） 5 5 令 3r 5=4，解得 r 即可得出 【解答】 解： 直线 x+1=0 与 2x y+5=0 垂直， 2= 1， 解得 a=2 则二项式（ ） 5 化为 ， = （ 2r =（ 1） 5 5 令 3r 5=4，解得 r=3 0 展开式中 系数为 80 故答案为： 80 16在平面直角坐标系中，已知点 P（ 3， 0）在圆 C：（ x m） 2+（ y 2） 2=40 内，动直线点 P 且交圆 C 于 A、 B 两点，若 面积的最大值为 20，则实数 m 的取值范围是 3 m 1 或 7 m 9 【考点】 直线与圆的位置 关系 【分析】 根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论 【解答】 解：圆 C：（ x m） 2+（ y 2） 2=40，圆心 C（ m， 2），半径 r=2 ， S 0 当 0 时 S 取最大值 20， 此时 等腰直角三角形， r=4 ， 则 C 到 离 =2 ， 第 13 页（共 22 页） 2 2 ，即 2 2 ， 20 （ m 3） 2+4 40，即 16 （ m 3） 2 36， 圆 C：（ x m） 2+（ y 2） 2=40 内， | ，即（ m 3） 2 36， 16 （ m 3） 2 36， 3 m 1 或 7 m 9， 故答案为： 3 m 1 或 7 m 9 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17设等差数列 前 n 项和为 知 3， 40 （ ）求数列 通项公式； （ ）若从数列 依次取出第 2， 4， 8， ， 2n， 项，按原来的顺序排成一个新数列 求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列 通项公式 （ ）由已知得 = 2 2n+7= 2n+1+7，由此能求出数列 前 n 项和 【解答】 解：（ ） 等差数列 前 n 项和为 3， 40， ，解得 ， d= 2， 2n+7 （ ） 数列 依次取出第 2， 4， 8， ， 2n， 项，按原来的顺序排成一个新数列 = 2 2n+7= 2n+1+7， （ 22+23+2n+1） +7n 第 14 页（共 22 页） = +7n =4+7n 2n+2 18在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的 6 次培 训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图： （ ）若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由； （ ）若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个，记选到的分数超过 87 分的个数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）分别求出从甲、乙两名学生中的平均成绩和方差，得到甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛 （ ） 的所有可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）学生甲的平均成绩 = =82， 学生乙的平均成绩 = =82， 又 = （ 68 82） 2+（ 76 82） 2+（ 79 82） 2+（ 86 82） 2+（ 88 82） 2+（ 95 82）2=77， = （ 71 82） 2+（ 75 82） 2+（ 82 82） 2+（ 84 82） 2+（ 86 82） 2+（ 94 82） 2= ， 则 = ， ， 说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳 定，故应选择学生乙参加知识竞赛 （ ） 的所有可能取值为 0， 1， 2， 则 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为 0 1 2 第 15 页（共 22 页） P 所以数学期望 = 19如图，在底面为梯形的四棱锥 S ，已知 0， 35，C= ， C=， O 为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 正三角形，且 ， ， ，且 ， 此能证明 平面 （ ）以 O 为原点，分别以 成直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出 二面角 A C 的余弦值 【解答】 证明：（ ） 在 ， C， ， O 为 点， 正三角形，且 ， ， 在 ， =O 为 点， ，且 ， 在 ， 直角三角形，且 ， 又 D=O， 平面 解：（ ）如图，设直线 于点 E，则 两垂直， 以 O 为原点，分别以 成直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 由（ ）知 5，且 35， 0， x 轴， 又 在 ， ， A（ 0， 1， 0）， B（ 2， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， S（ 0， 0， ）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， ）， =（ 2， 1， ）， =（ 0， 1， ）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 则 ，令 z= 1，得 =（ 0， ， 1）， | |=2， 第 16 页（共 22 页） 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 a= ，得 =（ ）， = = = ， 二面角 A C 的余弦值是 20设点 c， 0）， c， 0）分别是椭圆 C： =1（ a 1）的左、右焦点， 上任意一点，且 的最小值为 0 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）如图，动直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点 M， N 是直线 l 上的两点，且 l， l，求四边形 积 S 的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （ 1）利用 的最小值为 0，可得 =x2+ x a， a，即可求椭圆 C 的方程； （ 2）将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程中，得到关于 x 的一元二次方程，由直线 仅有一个公共点知， =0，即可得到 m， k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到 当 k 0 时，设直线 l 的倾斜角为 ，则 | |即可得到四边形 积 S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当 k=0 时，四边形矩形，即可得出 S 的最大值 【解答】 解：（ 1）设 P（ x， y），则 =（ x+c， y）， =（ x c， y）， =x2+ x a， a， 由题意得， 1 c=1， 椭圆 C 的方程为 ； （ 2）将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 中，得（ 2） 2=0 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知， =164（ 2）（ 22） =0， 化简得： 设 ， ， 当 k 0 时，设直线 l 的倾斜角为 ， 则 | | | | S= （ d1+= = = ， ， 当 k 0 时， |m| 1， |m|+ 2， S 2 当 k=0 时，四边形 矩形， S=2 所以四边形 积 S 的最大值为 2 第 18 页（共 22 页） 21设函数 f（ x） = a 0） （ ）设 F（ x） = 2+f（ x），讨论函数 F（ x）的单调性； （ ）过两点 A（ f（ ， B（ （ 直线的斜率为 k，求证： 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出导函数的解析式，化简 F（ x） = 2+f（ x），然后求解 F（ x）的导数，通过导函数的符号，讨论函数 F（ x）的单调性； （ ）求出过两点 A（ f（ ， B（ （ 直线的斜率 k 的表达式，利用分析法证明 转化为证明 ，通过左右两个不等式，两次构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最值即可证明 【解答】 （ ）解： f（ x） =+1，所以 ， 函数 F（ x）的定义域为（ 0， +），而 当 0 时，即 a 1 时，恒有 F（ x） 0，函数 F（ x）在（ 0， +）上是增函数； 当 0，即 0 a 1 时，令 F（ x） 0，得（ 0，解得 ； 令 F（ x） 0，得（ 0，解得 ； 综上，当 a 1 时，函数 F（ x）在（ 0， +）上是增函数； 当 0 a 1 时，函数 F（ x）在 上为增函数，在 上为减函数 （ ）证明： = ， 要证 ，因为 0， 第 19 页（共 22 页） 即证 ，令 ，则 t 1， 则只要证 ， 设 g（ t） =t 1 ， 故 g（ t）在 1， +）上是增函数 所以当 t 1 时， g（ t） =t 1 g（ 1） =0，即 t 1 立 要证 ，由于 t 1，即证 t 1 设 h（ t） = t 1），则 h（ t） =0（ t 1）， 故函数 h（ t）在 1， +）上是增函数， 所以当 t 1 时， h（ t） = t 1） h（ 1） =0，即 t 1 立 由 知成立，得证 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 选修 4何证明选讲 22如图所示，圆 O 的两弦 于点 E，作 且交 延长线于点 F，圆 O 于点 G （ ）求证： （ ）如果 ，求 长 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 （ ）由同位角相等得出 圆中同弧所对圆周角相等