山东省青岛市市北区2015届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 32 页） 2015 年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1 6 的相反数是（ ） A 6 B 6 C D 2下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ） A r 6 B r=6 C r 6 D r 6 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 5从青岛到济南有南线和北线两条高速公路，南线全长 400 千米，北线全长 320 千米甲、乙两辆客车分别有南线和北线从青岛同 时驶往济南，已知客车甲在南线高速公路上行驶的平均速度比客车乙在北线高速公路上快 20 千米 /小时，两车恰好同时到达济南若设客车乙从青岛到济南的平均速度是 x 千米 /小时，则根据题意可得方程（ ） A = B = C +20= D = 6如图，在平行四边形 ， E 是 的一点， ： 3，连接 D 交于点 F，则 S S S ） A 2： 5： 25 B 4： 9： 25 C 2： 3： 5 D 4： 10： 25 第 2 页（共 32 页） 7在同一直角坐标系中，函数 y=k 和 y=kx+k（ k 0）的图象大致是（ ） A B C D 8如图，正方形 ， ，点 E 在边 ，且 折至 长 边 点 G，连接 列结论： C； S 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9计算： +（ 3） 0+ = 10 2014 年，青岛市全年全市实现生产总值（ ，这个数用科学记数法表示为 11如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1， 三个顶 点都在格点上，以 O 为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若把 着点 O 顺时针旋转 90，得到 点B 旋转后的对应点 坐标为 12如图，是抛物线 y=bx+c（ a 0）图象的一部分已知抛物线的对称轴为 x=2，它与 x 轴的一个交点是（ 1， 0）则抛物线与 x 轴的另一个交点是 ； a+b+c 0（填 “或 =或 ”） 第 3 页（共 32 页） 13如图，在方格纸中， 以每个小方格的边长为单位 1， 顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点 P，使 以 E、 P、 D 为顶点的三角形相似，则点 P 所在的格点坐标可以是 14如图， n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 别为边 2， 的中点， 面积为 面积为 面积为 （用含 n 的式子表示） 三、解答题（共 10 小题，满分 78 分） 15作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，已知 作其外接圆的圆心 第 4 页（共 32 页） 16（ 1）化简：（ 1+ ） （ 2）已知 A（ 4， 2）和 B（ a， 4）是反比例函数 y= 的图象上的两点，求 k 值和点 B 的坐标 17 2011 年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放 100 份问卷，并全部收回统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图： 消费者年收入统计表 年收入（万元） 9 12 24 被调查的消费者数（人） 10 50 30 9 1 请你根据以上信息，回答下列问题： （ 1）补全统计表和统计图； （ 2）打算购买住房面积小于 100 平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为 ； （ 3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？ 18在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 16 份），并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 50 元、 30 元、 20 元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元 （ 1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数； （ 2）如果你在该商场消费 125 元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由 第 5 页（共 32 页） 19如图，数学课外活动小组测电视塔 高度，他们在点 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45，自 C 方向前进 40 米到达点 E，在点 E 处测得 B 的仰角为 37（ A、 C、 E 三点在一条直线上）求电视塔的高度 h（结果精确到 ，参考数据： ， ， ） 20某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具 （ 1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（ x 40），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y（件） 销售玩 具获得利润 w（元） （ 2）在（ 1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元 21如图，在 ， 0，以 一边向外作等边三角形 E 为 中点，连结 交于点 F （ 1）求证： （ 2）若 B=30，判断并证明四边形 形状 第 6 页（共 32 页） 22在一条笔直的公路上有 A、 B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原 路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（ 行驶时 x（ h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （ 1）写出 A、 B 两地之间的距离； （ 2）求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （ 3）若两人之间保持的距离不超过 3，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的取值范围 23如图 1，四边形 ， AB=a， CD=b（ a b），点 E、 F 分别是 的点，且 距离分别为 初步尝试 小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实： （ 1）当 = 时，有 ； （ 2）当 = 时，有 该同学思考研究（ 2）的过程如下 ： 作 G，作 点 M，交 点 N 显然 D=b， B CD=a b 易证， 得 = ， 即， = 而由 = ，得 = = ， 第 7 页（共 32 页） 代入上式，则 = 解得 （ a b） H+HF=b+ （ a b） = 类比发现 沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现： 当 = 时， ； 当 = 时， ； 当 = 时， ； 当 = 时， （其中 m、 n 均为正整数，下同） 推广证明 当 = 时， ； 请证明你的结论 实际应用 请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题 情景 如图 2，有一块四边形耕地 00 米， 00 米， 00 米，在 取点E，使 00 米，以点 E 处为起点开挖平行于两底的水渠 相交于点 F 问题 ？（提问即可，不必求解） 第 8 页（共 32 页） 24如图，在四边形 ， ， D=4， 于点 O，在线段 ，动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 出发向点 B 做匀速运动，同时动点 N 从点 做匀速运动，当点 M、 N 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点 M、 N 做垂线，分别交 点 E、 F，连接 运动时间为 x 秒，在运动过程中四边形 M、 N 重合除外） （ 1）求点 N 的运动速度； （ 2）当 x 为多少时，矩形 正方形？ （ 3）当 x 为多少时，矩形 面积 S 最大？并求出最大值 第 9 页（共 32 页） 2015 年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1 6 的相反数是（ ） A 6 B 6 C D 【考点】相反数 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答 【解答】解：实数 6 的相反数是 6 故选 A 【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键 2下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解 ：第一个图形，是轴对称图形但也是中心对称图形； 第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图形，不是轴对称图形，是中心对称图形； 第四个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形 故选： B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ） 第 10 页（共 32 页） A r 6 B r=6 C r 6 D r 6 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】探究型 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可 【解答】解： 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离 d=6， r 6 故选 C 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关系完成判定直线 l 和 O 相交 d r 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环， 故选： D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图 5从青岛到济南有南线和北线两条高速公路，南线全长 400 千米，北线全长 320 千米甲、乙两辆客车 分别有南线和北线从青岛同时驶往济南，已知客车甲在南线高速公路上行驶的平均速度比客车乙在北线高速公路上快 20 千米 /小时，两车恰好同时到达济南若设客车乙从青岛到济南的平均速度是 x 千米 /小时，则根据题意可得方程（ ） A = B = C +20= D = 【考点】由实际问题抽象出分式方程 第 11 页（共 32 页） 【分析】设客车乙从青岛到济南的平均速度是 x 千米 /小时，则客车甲从青岛到济南的平均速度是（ x+20）千米 /小时，根据题意可得，甲走 400 千米跟乙走 320 千米所用的时间相等，据此列方程即可 【解答】解：设客车乙从青岛到济南的平均速度是 x 千米 /小时，则客车甲从青岛到济南的平均速度是 （ x+20）千米 /小时， 由题意得， = 故选 B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 6如图，在平行四边形 ， E 是 的一点， ： 3，连接 D 交于点 F，则 S S S ） A 2： 5： 25 B 4： 9： 25 C 2： 3： 5 D 4： 10： 25 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质 【专题】计算题；压轴题 【分析】根据平行四边形的性质求出 B， 出 ： 5，根据相似三角形的判定推出 出 面积比，根据三角形的面积公式求出 面积比，即可求出答案 【解答】解：根据图形知： 边 边 的高相等，并设这个高为 h， 四边形 平行四边形， B， ： 3， ： 5， 第 12 页（共 32 页） = = ， = = ， = = = = S S S ： 10： 25， 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出 和 的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求 7在同一直角坐标系中，函数 y=k 和 y=kx+k（ k 0）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】二次函数 的图象；一次函数的图象 【分析】可先根据一次函数的图象判断 k 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误 【解答】解： A、由一次函数 y=kx+k 的图象可得： k 0，此时二次函数 y=图象应该开口向上，错误； B、由一次函数 y=kx+k 图象可知， k 0，此时二次函数 y=图象顶点应在 y 轴的负半轴，错误； C、由一次函数 y=kx+k 可知， y 随 x 增大而减小时，直线与 y 轴交于负半轴，错误； D、正确 故选： D 【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标 第 13 页（共 32 页） 8如图，正方形 ， ，点 E 在边 ，且 折至 长 边 点 G，连接 列结论： C； S 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【专题】几 何综合题；压轴题 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 直角 ，根据勾股定理可证 C；通过证明 平行线的判定可得 于 S S 得面积比较即可 【解答】解： 正确 理由： D=G， B= 0， 正确 理由： E= ，设 G=x，则 x 在直角 ，根据勾股定理，得（ 6 x） 2+42=（ x+2） 2， 解得 x=3 =6 3= 正确 理由： G， F， F， 等腰三角形， 又 第 14 页（共 32 页） 80 错误 理由： S E= 3 4=6 ， ， 高， S S ： 2， S 6= 3 故 不正确 正确的个数有 3 个 故选： C 【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算 ，有一定的难度 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9计算： +（ 3） 0+ = 2 【考点】实数的运算；零指数幂 【分析】分别根据数的开方法则及 0 指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 【解答】解：原式 = 6+1+3 = 2 故答案为： 2 【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则及 0 指数幂的运算法则是解答此题的关键 10 2014 年，青岛市全年全市实现生产总值（ ，这个数用科学记数法表示为 011 【考点】科学记数法 表示较大的数 第 15 页（共 32 页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】解：将 用科学记数法表示为： 1011 故答案为： 1011 【点评】此题 考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 11如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1， 三个顶点都在格点上，以 O 为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若把 着点 O 顺时针旋转 90，得到 点B 旋转后的对应点 坐标为 （ 4， 2） 【考点】坐标与图形变化 【分析】作 y 轴， x 轴，根据 出 长，得到答案 【解答】解：如图，作 y 轴， x 轴， 由题意得， C=4， C=2， 点 坐标为：（ 4， 2）， 故答案为：（ 4， 2） 第 16 页（共 32 页） 【点评】本题考查的是旋转的旋转和三角形全等的性质，正确理解旋转的旋转中心、旋转角和旋转分析是解题的关键 12如图，是抛物线 y=bx+c（ a 0）图象的一部分已知抛物线的对称轴为 x=2，它与 x 轴的一个交点是（ 1， 0）则抛物线与 x 轴的另一个交点是 （ 5， 0） ； a+b+c 0（填 “ 或 =或 ”） 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线的对称轴为 x=2，它与 x 轴的一个交点是（ 1， 0），求出另一个交点；根据x=1 时， y 0，确定 a+b+c 的符号 【解答】解： 对称轴为 x=2，它与 x 轴的一个交点是（ 1， 0）， 另一个交点为（ 5， 0）， 当 x=1 时， y 0， a+b+c 0 故答案为：（ 5， 0）； 【点评】本题考查的是二次函数图象 与系数的关系，灵活运用抛物线的对称性和抛物线上点的特点是解题的关键 第 17 页（共 32 页） 13如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位 1， 顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点 P，使 以 E、 P、 D 为顶点的三角形相似，则点 P 所在的格点坐标可以是 （ 3， 6） 【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质 【分析】利用 0， = 可判断 据相似比计算出 而得到一个符合条件的点 P 的坐标 【解答】解： ， ， 0， ， 若 0， = 时， = ，解得 ， 此时 P 点坐标为（ 3， 6）， 所以当点 P 坐标为（ 3， 6）时，使 以 E、 P、 D 为顶点的三角形相似 故答案为（ 3， 6） 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似也考查了坐标与图形性质 第 18 页（共 32 页） 14如图， n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 别为边 2， 的中点， 面积为 面积为 面积为 （用含 n 的式子表示） 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】由 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 别为边 2， 的中点，即可求得 面积，又由 可得 后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案 【解答】解： n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一 直线上，点 别为边 ， 的中点， 1 = ， S 1 = ， S 1 = ， S 1 = ， S 1 = ， S S ） 2=（ ） 2， 即 = ， 第 19 页（共 32 页） 故答案为： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键 三、解答题（共 10 小题，满分 78 分） 15作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，已知 作其外接圆的圆心 【考点】作图 复杂作图；三角形的外接圆与外心 【专题】作图题 【分析】先分别作 垂直平分线 l、 l，直线 l 与 l相交于点 O，然后以点 O 为圆心， O 即可 【解答】解：如图，点 O 为所求 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 16（ 1）化简：（ 1+ ） （ 2）已知 A（ 4， 2）和 B（ a， 4）是反比例函数 y= 的图象上的两点，求 k 值和点 B 的坐标 第 20 页（共 32 页） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的混合运算 【分析】（ 1）先算括号里面的，再算乘法即可； （ 2）先根据点 A 在反比例函数 y= 的图象上求出 k 的值，再把点 B（ a， 4）代入求出 a 的值即可 【解答】解：（ 1）原式 = = ； （ 2） A（ 4， 2）和 B（ a， 4）是反比例函数 y= 的图象上的两点， 2= ，解得 k=8， 反比例函数的解析式为 y= ， 4= ，解得 a=2 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混和运算的法则是解答此题的关键 17 2011 年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的 消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放 100 份问卷，并全部收回统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图： 消费者年收入统计表 年收入（万元） 9 12 24 被调查的消费者数（人） 10 50 30 9 1 请你根据以上信息，回答下列问题： （ 1）补全统计表和统计图； （ 2）打算购买住房面积小于 100 平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为 52% ； （ 3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？ 第 21 页（共 32 页） 【 考点】频数（率）分布直方图；统计表；算术平均数 【专题】计算题；图表型 【分析】（ 1）被调查的 100 人减去其他收入的人数即可得到 年收入在 6 万元的人数； （ 2）用小于 100 的人数除以总人数即可得到小于 100 平米的所占比例； （ 3）用加权平均数计算即可 【解答】解：（ 1） 100 10 30 9 1=50 人， 年收入为 6 万元的有 50 人； 如图； （ 2）由统计图可知打算购买住房面积小于 100 平方米的消费者人数为 52 人， 52 100=52%； （ 3） =元） 故被调查的消费者平均每人年收入为 元 【点评】本题考查了条形统计图的相关知识，解题的关键是根据条形统计图求出除去年收入在 6 万元以下的人数 第 22 页（共 32 页） 18在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 16 份），并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 50 元、 30 元、 20 元的购物券，凭购物券 可以在该商场继续购物如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元 （ 1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数； （ 2）如果你在该商场消费 125 元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由 【考点】概率的意义 【专题】计算题 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等 【解答】解：（ 1） 50 +30 +20 =）； （ 2） 10 元， 选择转转盘 【点评】关键是得到转一次转盘得到奖券的平均金额 19如图，数学课外活动小组测电视塔 高度，他们在点 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45，自 C 方向前进 40 米到达点 E，在点 E 处测得 B 的仰角为 37（ A、 C、 E 三点在一条直线上）求电视塔的高度 h（结果精确到 ，参考 数据： ， ， ） 第 23 页（共 32 页） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】在 ，得到 B=h，在 ，根据 =求出 h 即可 【解答】解：在 ， B=h， 在 ， = 解得， ， 即 h 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 20某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售 出 10 件玩具 （ 1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（ x 40），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000 10x 销售玩具获得利润 w（元） 10300x 30000 （ 2）在（ 1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】（ 1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600（ x 40） 10=1000 10x，利润 =（ 1000 10x）（ x 30） = 10300x 30000； （ 2）令 10300x 30000=10000，求出 x 的值即可； 【解答】解：（ 1） 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000 10x 销售玩具获得利润 w（元） 10300x 30000 （ 2） 10300x 30000=10000， 解之得： 0 0， 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润 第 24 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查 了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出 W 与 x 的函数关系 21如图，在 ， 0，以 一边向外作等边三角形 E 为 中点，连结 交于点 F （ 1）求证： （ 2）若 B=30，判断并证明四边形 形状 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定 【分析】（ 1）根据直角三角形的性质和等边三角形的性质得到 C， D，由全等三角形的判定定理 可证得 （ 2）根据菱形的判定定理四条边相等的四边形是菱形证得 【解答】解：（ 1） E 是 点， 0 C， D， 在 ， ， （ 2） B=30， 0， 等边三角形， E= D= C=A， 四边形 菱形 第 25 页（共 32 页） 【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解 题的关键 22在一条笔直的公路上有 A、 B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（ 行驶时 x（ h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （ 1）写出 A、 B 两地之间的距离； （ 2）求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （ 3）若两人之间保持的距离不超过 3，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的取值范围 【考点】一次 函数的应用 【分析】（ 1） x=0 时甲的 y 值即为 A、 B 两地的距离； （ 2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点 M 的坐标以及实际意义； （ 3）分相遇前和相遇后两种情况求出 x 的值，再求出最后两人都到达 B 地前两人相距 3 千米的时间，然后写出两个取值范围即可 【解答】解：（ 1） x=0 时，甲距离 B 地 30 千米， 所以， A、 B 两地的距离为 30 千米； （ 2）由图可知，甲的速度： 30 2=15 千米 /时， 乙的速度： 30 1=30 千米 /时， 30 （ 15+30） = ， 30=20 千米， 第 26 页（共 32 页） 所以，点 M 的坐标为（ ， 20），表示 小时后两车相遇，此时距离 B 地 20 千米； （ 3）设 x 小时时，甲、乙两人相距 3 若是相遇前，则 15x+30x=30 3， 解得 x= ， 若是相遇后，则 15x+30x=30+3， 解得 x= ， 若是到达 B 地前，则 15x 30（ x 1） =3， 解得 x= ， 所以，当 x 或 x 2 时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（ 3）要分情 况讨论 23如图 1，四边形 ， AB=a， CD=b（ a b），点 E、 F 分别是 的点，且 距离分别为 初步尝试 小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实： （ 1）当 = 时，有 ； （ 2）当 = 时，有 该同学思考研究（ 2）的过程如下： 作 G，作 点 M，交 点 N 显然 D=b， B CD=a b 易证， 得 = ， 即， = 第 27 页（共 32 页） 而由 = ，得 = = ， 代入上式，则 = 解得 （ a b） H+HF=b+ （ a b） = 类比发现 沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现： 当 = 时， ； 当 = 时， ； 当 = 时， ； 当 = 时， （其中 m、 n 均为正整数，下同） 推 广证明 当 = 时， ； 请证明你的结论 实际应用 请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题 情景 如图 2，有一块四边形耕地 00 米， 00 米， 00 米，在 取点E，使 00 米，以点 E 处为起点开挖平行于两底的水渠 相交于点 F 问题 水渠 长为多少米 ？（提问即可，不必求解） 第 28 页（共 32 页） 【考点】相似形综合题 【专题】探究型 【分析】作 ，交 ，作 ，交 ，则有 B=CD=b，B CD=a b易证， 得 = ，即 = ，然后根据 的值求出 的值，从而求出 而可求出 F）的值由于在求 值时用到 C、 因而可提出 “水渠 长为多少米？ ”这个问题 【解答】解：