试析辩证思想在数学解题中的应用.doc

试析辩证思想在数学解题中的应用摘 要本文讨论辩证思想在数学解题中的应用.我们着重从代数,几何两方面加以归纳，并总结得出: 在代数中,主要的辩证思想有矛盾的转化,特殊与一般的互易,已知与未知的互易,常量与变量的互易,对立统一的规律,整体与局部,正与反等等；在几何中，主要的辩证思想有矛盾的转化,动与静,割与补等等.然后再对每一辩证思想通过举若干例子加以分析、说明，示例其在数学解题中的功用.关键词：辩证思想;数学解题;代数;几何;应用1. 引言辩证思想普遍存在于任何学科,在数学中更是充满了丰富的辩证思想。在数学教学中通过培养学生的辩证唯物主义观点，使学生逐步理解和掌握实践与认识，对立与统一，运动与变化等辩证唯物主义观点，能使学习过程成为再发现，再创造的过程，从而激发起学习的积极性，树立学好数学的信心，进一步形成克服困难，勇于追求新知的良好的思维品质.因此,培养学生在解题中的辩证思维能力,不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学思想方法的熟练掌握,有利于学生思维的灵活性的培养,有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观,而且能使学习和研究问题更加深入,更能触及数学的本质.本文将从代数和几何两方面来阐析辩证思想在数学解题中的应用.2. 辩证思想在代数解题中的应用2.1矛盾的转化 数学解题过程实际上就是矛盾转化过程,就是从已知到未知的一个过程,在数学解题中采用转化的方法有:等量转化,换元转化,等价转化等等.例1 设是对除以外的一切实数有定义的实值函数,并且 , 求. (美国普特南数学竞赛试题)分析 换元法是将函数方程中的变量进行适当的换元,就可得到一个新的函数方程,再与原函数方程构成了一个方程组,然后通过方程组就可以求出原函数方程解 在中,以代x, 得 在中,以代x,得 由 消去,得. 2.2用特殊和一般相结合的辩证关系解题.辩证唯物主义认为: 特殊和一般是矛盾的两个方面,普遍性存在于特殊性之中,又可以统一在同一事物之中,特殊性较普遍性远为广泛和丰富多样,在数学教学中,当我们要解决有些非常抽象的题目时,可以先就它的特殊情况进行探讨,再从中归纳、发现问题的一般规律，从而获得解题的途径。例2 解方程 分析 去根号的方法显然很繁，从特殊情况易求，而且易知满足题设方程，猜测它只有这个根，再做论证，以确定原方程的根。解 （1）显然满足方程，不满足方程，又由根式的意义知不可能满足方程。（2）若，令则，即故依次类推, 得，所以，不是原方程的根。 （3）若 ，令，与（2）同法，得，从而，所以，也不是原方程的根。综上所述，原方程只有唯一根。例3 将代数式分解为，试求常数。分析 通常将展开，利用比较系数，解一个较复杂的方程组，若注意到以上分解对于一切实数均成立，于是不妨取也应有同样的,这时得 同理取 得 由，解得。特殊一般特殊，往往是找到解决问题的突破口.2.3几个量间的互易2.3.1 已知与未知的互易在解题过程中,运用已知与未知这一对矛盾的互相转化,可以更加容易的找到解决的方法例5 解方程. 分析 关于的三次方程对学生来说是难以解决的,但若从题目结构特征发现:方程左边的数字2是的平方,把已知数”看作未知数,则原方程就转化为关于的一元二次方程,问题便得以解决.解 将原方程变为关于的方程.解得,故关于的原方程解为。2.3.2 常量与变量间的互易例6化简 (2002北京市中学生数学竞赛试题)分析 通常大家都直接用分母有理化方法解决，但若注意到数字特征且原式分母正好也有和，利用常量，变量互易，又得另解。解 令则，所以 ，即.2.4对立统一规律数学解题的思维过程实质是一个变更问题的过程,即逐步地变换问题的表达方式,使问题从给出的初始状态化归为所要达到的目标状态. 这个变化就需要我们从问题的本质去寻找解决的途径,要善于从新的角度新的观点去考虑问题,因此,考虑问题时就可以从对立的方面去思考.主要的方法有:大中见小,小中见大;新以旧衡,旧以新观等等.2.4.1大中见小,以小见大自然界本来就是一幅由种种联系和相互作用交织起来的画面,但为了研究方便,人们又不得不把它分割成小块,孤立地进行考察,有时却需把元素置于系统之中,把特殊置于一般中, 把局部置于总体中,有意识地放大考虑问题的视角. 在数学解题中,对于找不到范围解决的问题, 时而需要先判定它的解可能存在的更大的范围或区域, 然后设法把解的可能存在区域逐步引入缩小,直到找出正确的解为止;时而却要将本来较小的范围或区域扩大到离目标较近的范围或区域,直至逼近.例7将1至9九个数字分成3组,排成3个三位数,使它们的比为1 3 5,求这3个数. (竞赛数学教程)分析( 1) 9个数字的全排列数为,此数很大, 这一验证工作很繁重, 因此可考虑用逐步缩小范围的方法来解题.(2)设所求的3个三位数分别为且满足 (1)显然, 必小于2, 否则可推出 ,与(1)式矛盾.由于 0,因此必为5.(3) 必为奇数,否则可推出与的末位数字不同,即该两数必不相同,与(1)式矛盾,于是只能取3, 5, 7或9,由于 = 5,因此5.当 = 7 时, 由( 1 ) 式得 = , 即= 1,这与 的取值重复,所以 只能取3或9,至此,验证的范围大大缩小了.(4)令 = 3,于是= 9, .这时 的值还有5种取值可能: 2, 4, 6, 7, 8,逐一验证后,均不符合条件.所以c1 = 9,于是问题归结为求,使, 的值有5种可能 2, 3, 4, 6, 8,逐一验证后可知= 2.于是,由(1)式可得所求3个三位数分别为129,387, 645.2.4.2新以旧衡,旧以新观人们在解题时,常常会一味地用刚学的知识去解决问题,产生一种思维定势,当学会新的知识时会忘记运用旧的知识,从而走进死胡同而不能解决问题.我国古代也有温故而知新的说法.然后通过学习新的知识,可以使许多原有的解题思路更为广阔,更为灵活,有时还能起到事半功倍的效果.例8 已知 求证.分析 (1) 这是一道常见的数学题,通常是在教学三角函数这章内容时出现的, 因而解题思路局限于三角函数和恒等变形的圈子,做起来较为繁琐,但能跳出来,与旧的知识“代数变换”联系起来,证明就非常简捷. (2) 令,则,这样命题就等价为:已知,求证.这里的已知式与求证式很显然是关于对称的, 所以只要证明就可以了,由已知式得到化简整理得,以替代,同时替代就可以使已知式化为.故命题成立例9 为非负数,求证:.分析 (1) 这是一道典型的不等式证明题,在学习了复数知识之后,再做这道题时,灵感即时闪现. (2)观察到求证式左边为算术根之和,且括号内出现平方和,由此结构特征, 联想到复数的模, 故不等式左端可视作复数的模之和. (3)由于为非负数,右端则有.由于复数的模的性质,设复数则 所以原不等式得证.对立统一规律这一辩证思想方法在数学解题中除了上述几种应用外,还有,异中求同,同中求异;寓正于反,化反为正等等情形.2.5整体与局部的辩证思维在考虑问题时,要从整体考虑,但在必要时候也应该从局部考虑,从而更方便地解决问题.例 10 求的最值.分析 由于,所以可以把看成一个整体,令,则容易求出它的最值. 解略.2.6正与反的辩证思维思维具有正向思维和逆向思维,学生除了能从正向理解外,还应该进行逆向思考.在这一方面,突出的方法有反证法.例11 函数满足(1)对任意非负整数n, 有;(2)对任意的;求的值. (2001年英国数学奥林匹克竞赛试题(第一轮)分析 设,用反证法证明是唯一解,从而.解设，其中k为非负整数，由(2)得 若k=0,则,矛盾,故.根据(1)有 若,则,从而,由(1)得 与矛盾,故是唯一解.当时,式为,此函数满足条件(1)(2),故得唯一解3. 辩证思想在几何中的应用3.1矛盾的转化矛盾的转化这一思想不仅仅在代数中应用的到,在几何学中也有相当大的应用.例12如图,设是圆内接正三角形.P是外接圆BC上的一点,连结PA交BC边于Q点.求证: . (2000年河北省高中数学竞赛试题)分析在几何教学中,教师如能运用辩证唯物主义的思想方法引导学生看问题,强调不同的概念之间的联系和转化,几何题的解题思路还是有章可循的.(1) 因为线段PA,PB,PC不在同一直线上,通常比较PA与PB+PC较难.从题目结论PA=PB+PC出发,说明线段PA可以分成PB与PC这两条线段的和,这样只需要在PA上截取PD=PC问题就转化成了只需证PB=AD即可,要证两条线段相等,常用的方法就是正两个三角形全等,即证明,证两个三角形全等对多数学生也就不难了,这中转化其实自然运用了辩证法中关于毛段的转化观点;(2) 的分析和证题中的转化过程,这里不再赘述.3.2动与静 我们知道,运动是物质的固有属性,是永恒的,绝对的,而静止是相对的.在解题中,要善于发现隐含着保持不变的因素,去研究相对变化的几何图形的某中特性,认识“动中有静”,“静中有动”这一运动变化的辩证关系.并运用这一对立关系去解题.例子13 定长为m的线段AB的两个端点在双曲线 的右支上移动(),那么,AB的中点M的横坐标的最小值为_.(用a,b,m表示) (2002年安徽省高中数学竞赛试题)分析 线段的两个端点是在变化中,可这两点是在双曲线上的,两点所在坐标之间的关系是相同,就需要把握住这一点.解 设A,B,M在双曲线右准线上的射影为,右焦点为F,离心率为e.由双曲线定义,有 所以M的横坐标3.3割与补在解题时,对立体几何图形施行割补术,使矛盾转化,也是一种常用的辩证思想方法. 例14 在四面体ABCD中,设直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于_. (2003年全国高中数学联赛试题)分析 单凭图形用普通求体积的方法四和很难求出四面体的体积,但运用辩证思想,对整个图形进行拼补,就能比较容易的解决本题.过点C作CE平行且等于AB,以为底面,BC为侧棱作棱柱ABF-ECD,则所求的四面体体积等于上述棱柱体积的.解 如图,过点C作CE平行且等于AB,以为底面,BC为侧棱作棱柱ABF-ECD,则所求的四面体体积等于上述棱柱体积的.而AB与CD的公垂线MN,就是棱柱ABF-ECD的高,则 因此, 所以, 4.总结在数学问题中充满着矛盾,除了上述介绍的代数上,几何上的方法外,还有其他的方法,在解题时要注意运用这些辩证思想,有策略地综合地运用,达到变通和解决问题的目的.参考文献1 李绪银, 浅谈解题教学中的辩证唯物主义教育J,中小学理科教学,2005，24(5)：422 杨予兰, 初中代数中的辩证思维方法J,中学教学数学,1999增刊:148-1493 王爱茹,刘福会, 漫谈数学中的哲学思想J,高等农业教育,2005,6:60-624 莫晓云, 数学教