第四章--随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 4 1数学期望 4 1数学期望 布莱士 帕斯卡 两个赌徒甲 乙向他提出了一个问题 甲乙两个人赌博 两人获胜的机率相等 约定谁先赢满5局 谁就获得100法郎 甲赢了4局 乙赢了3局 时间很晚了 他们都不想再赌下去了 那么 这个钱应该怎么分 甲的期望所得值就是0 0 25 100 0 75 75乙的期望所得值就是0 0 75 100 0 25 25 一 数学期望的由来 设X为甲获得的法郎 Y为乙获得的法郎 4 1数学期望 二 离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为P X xk pk k 1 2 若级数绝对收敛 则称级数为随机变量X的数学期望 记为E X 即 4 1数学期望 关于定义的几点说明 1 E X 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的算术平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 也称均值 2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值 它不应随可能值的排列次序而改变 4 1数学期望 例1 设有10个同种电子元件 其中2个废品 装配仪器时 从这10个中任取1个 若是废品 扔掉后重取1只 求在取到正品之前已取出的废品数X的期望 解 X的分布律为 4 1数学期望 例2 某车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机的 且两者到站的时间相互独立 其规律为一旅客8 20到车站 求他候车时间的数学期望 8 108 308 50到站时刻9 109 309 50概率 4 1数学期望 例3 4 1数学期望 三 连续型随机变量的数学期望 4 1数学期望 例4 例5 设X的概率密度为求解 4 1数学期望 4 1数学期望 几种重要分布的数学期望 4 1数学期望 四 随机变量函数的数学期望 1 离散型随机变量函数的数学期望 若Y g X 且 则有 4 1数学期望 例6设 X 202 0 40 30 3 P 则E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 E 3X2 5 3E X2 5 13 4 思考 4 1数学期望 2 连续型随机变量函数的数学期望 若X是连续型r v 其密度为f x 则g X 的期望为 例7 4 1数学期望 4 1数学期望 1 设C是常数 则有 证明 2 设X是一个随机变量 C是常数 则有 证明 例如 五 数学期望的性质 4 1数学期望 4 设X Y是相互独立的随机变量 则有 3 设X Y是两个随机变量 则有 一般地 E aX bY aE X bE Y 数学期望是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 2 数学期望的性质 4 1数学期望 六 小结 4 2方差 4 2方差 现有两批灯泡 第一批灯泡寿命为 一半约950小时 另一半约1050小时 平均寿命为1000小时 第二批灯泡寿命为一半约1300小时 另一半约700小时 平均寿命为1000小时 问题 哪批灯泡的质量更好 质量更稳定 单从平均寿命这一指标无法判断 进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度 4 2方差 一 方差的定义 1 方差是一个特殊的函数g X X E X 2的期望 2 方差用来度量随机变量与其数学期望 即均值 的偏离程度 4 2方差 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 二 方差的计算 1 利用定义计算 4 2方差 证明 2 利用公式计算 4 2方差 证明 三 方差的性质 1 设C是常数 则有 2 设X是一个随机变量 C是常数 则有 证明 4 2方差 3 设X Y相互独立 D X D Y 存在 则 证明 注 相互独立时 乘积的期望等于期望的乘积 4 2方差 综上 设X Y相互独立 E X E Y D X D Y 存在 a b c是常数 则 注意 对任意的随机变量X Y都有E aX bY aE X bE Y 例1 设随机变量X具有0 1分布 其分布律为 解 4 2方差 4 2方差 例2 解 4 2方差 解 例3 4 2方差 解 例4