河南省南阳市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（每题 5 分） 1学校为了解高二年级 1201 名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A 10 B 20 C 30 D 40 2 值为（ ） A B C D 3如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为， ，则一定有（ ） A B C = D ， 的大小不确定 4若 ） +） = ，则 ） +）等于（ ） A B C D 5已知单位向量 ， 满足 |3 2 |= ，则 |3 + |=（ ） A 1 B 4 C 2 D 6若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人 被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（ ） A B C D 7下列说法中，正确的个数为（ ） （ 1） （ 2）已知向量 =（ 6， 2）与 =（ 3， k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k 0 （ 3）若向量 能作为平面内所有向量的一组基底 （ 4）若 ，则 在 上的投影为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f（ x）的图象的是（ ） 第 2 页（共 19 页） A将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 9运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 10 ，若 2B+C） +2，则 一定是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 11已知函数 f（ x） = 0），如果存在实数 得对任意的实数 x，都有 f（ f（ x） f（ 016）成立，则 的最小值为（ ） A B C D 12已知 一点 O 满足 = ，若 任意投一个点，则该点 ） A B C D 二、填空题（每题 5 分） 第 3 页（共 19 页） 13从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间 150， 250）内的户数为 14如图所示， 在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 截去一个半径为 3 的小扇形剩下扇环的面积为 15在等腰直角三角形 ，已知 C=1， E， F 分别是边 的点，且 =m ，=n ，其中 m， n （ 0， 1）且 m+2n=1，若 中点分别为 M， N，则 | |的最小值是 16已知定义域为 R 的奇函数 f（ x）满足：当 x 0 时， f（ x） =函数 g（ x） =f（ x） 零点的个数为 三、解答题 17已知向量 =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3 y）， =（ 4， 1） （ 1）若四边形 平行四边形，求 x， y 的值； （ 2）若 等腰直角三角形，且 B 为直角，求 x， y 的值 18某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ 2）利用（ ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 第 4 页（共 19 页） 参考数据：（ 3） （ +（ 2） （ 1） +（ 1） （ +1 4 19已知向量 =（ =（ x R 设函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值 20某小组共有 A、 B、 C、 D、 E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克 /米 2）如表所示： A B C D E 身高 重指标 ）从该小组身高低于 同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 下的概率 （ ）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在 的概率 21在 ，已知 关于 x 的方程 x+1） p+1=0 的两个实根 （ 1）求角 C； （ 2）求实数 p 的取值集合 22函数 y=x+）（ A 0， 0）在 x （ 0， 7）内取到一个最大值和一个最小值，且当 x= 时， y 有最大值 3，当 x=6 时， y 有最小值 3 （ 1）求此函数解析式； （ 2）写出该函数的单调递增区间； （ 3）是否存在实数 m，满足不等式 ） ）？若存在，求出 m 值（或范围），若不存在，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 2015年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1学校为了解高二年级 1201 名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A 10 B 20 C 30 D 40 【考点】 系统抽样方法 【分析】 由题意知了解 1201 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40 的样本， 1201 除以 40 不是整数，先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30 个人，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相 等 【解答】 解：了解 1201 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的样本， 1201 除以 40 不是整数， 先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30 个人， 则分段的间隔 k 为 30 故选： C 2 值为（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果 【解答】 解： 3 360+1050） = 30） = ， 故选： A 3如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为， ，则一定有（ ） A B C = D ， 的大小不确定 【考点】 众数、中位数、平均数；茎叶图 【分析】 去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出 ， ，由此能示出结果 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：去掉一个最高分和一个最低分后， = （ 81+85+85+84+85） =84， = （ 84+84+86+84+87） =85 故选： B 4若 ） +） = ，则 ） +）等于（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 利用诱导公式求得 ，平方可得 值，再利用诱导公式化简要求的式子为 而得 出结论 【解答】 解： ） +） =， 平方可得 ， 则 ） +） = = ， 故选： B 5已知单位 向量 ， 满足 |3 2 |= ，则 |3 + |=（ ） A 1 B 4 C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据 ， 是单位向量得出 | |=| |=1，再根据 |3 2 |= 求出 的值，从而求出 |3 + |的值 【解答】 解： ， 是单位向量， | |=| |=1， 又 |3 2 |= ， 9 12 +4 =7， 即 9 12 +4=7， = ； =9 +6 + =9+6 +1=13， |3 + |= 故选： D 6若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（ ） A B C D 第 7 页（共 19 页） 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数，根据概率公式计算即可 【解答】 解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，共有 0 种方法， 其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有 3 种方法， 故甲、乙同时被录用的 概率为 ， 故选： A 7下列说法中，正确的个数为（ ） （ 1） （ 2）已知向量 =（ 6， 2）与 =（ 3， k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k 0 （ 3）若向量 能作为平面内所有向量的一组基底 （ 4）若 ，则 在 上的投影为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量 【分析】 （ 1）利用向量的加法运算进行化简 （ 2）利用向量的数量积判断 （ 3）判断两个向量是否共线 （ 4）利用向量投影的定义判断 【解答】 解：（ 1）根据向量的加法运算法则可得， ，所以（ 1）正确 （ 2）当 k= 1 时， ，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为 180，但不是钝角，所以（ 2）错误 （ 3）因为 ，所以向量 共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（ 3）错误 （ 4）当 方向相同时， 在 上的投影为 当 方向相反时， 在 上的投影为 所以（ 4）错误 故正确是（ 1） 故选 A 8函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f（ x）的图象的是（ ） 第 8 页（共 19 页） A将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐 标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象，可得 A=1， = ， =2 再根据五点法作图可得 2 += ， = ， f（ x） =2x+ ） 将 y=图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，可得 y=图象； 然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移 个单位，可得 y=x+ ） =2x+ ）的图象， 故选： D 9运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知 ：该程序的作用是利用循环计算 第 9 页（共 19 页） S=值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得： 该程序的作用是利用循环计算 S=值并输出， 由于： S= （ = （ = （ = = = 故选： C 10 ，若 2B+C） +2，则 一定是（ ） A锐角三角形 B钝 角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 【考点】 三角形的形状判断 【分析】 条件即 B+B+C） +2，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得A+B） =0，故 A+B= ， C= ， 从而得到 状一定是直角三角形 【解答】 解： 2B+C） +2，即 B+B+C） +2 B+C） B+C） +2， 即 A） A） +2 ，即 即 A+B） =0， A+B） =0 第 10 页（共 19 页） A+B= ， C= ，故 状一定是直角三角形 故选 C 11已知函数 f（ x） = 0），如果存在实数 得对任意的实数 x，都有 f（ f（ x） f（ 016）成立，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 【分析】 由题意可得区间 016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得 f（ x） =2x+ ） + ，再根据 2016 ，求得 的最小值 【解答】 解：由题意可得， f（ 函数 f（ x）的最小值， f（ 016）是函数 f（ x）的最大值 显然要使结论成立，只需保证区间 016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可 又 f（ x） = =2x+ ） + ， 故 2016 ，求得 ， 故则 的最小值为 ， 故选： D 12已知 一点 O 满足 = ，若 任意投一个点，则该点 ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 要求该概率即求 S S 比值由 = ，变形为， 3 = ，得到 O 到 距离是 E 到 离的一半， B 到 距离是 O 到 离的 3 倍，两三角形同底，面积之比转化为概率 【解答】 解：以 ， 为邻边作平行四边形 + = = ， 3 = ， 作 两个三等分点 E， F，则 = = ， O 到 距离是 E 到 离的一半， B 到 距离是 O 到 离的 3 倍，如 图 S S 故 任意投一个点，则该点 的概率为 ， 故选： C 第 11 页（共 19 页） 二、填空题（每题 5 分） 13从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间 150， 250）内的户数为 52 【考点】 频率分布直方图 【分析】 先求出用电量落在区间 150， 250）内频率，由此能求出用电量落在区间 150， 250）内的户数 【解答】 解：由用电量落在区间 150， 250）内频率为： 1（ 50= 用电量落在区间 150， 250）内的户数为： 100 2 故答案为： 52 14如图所示，在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 截去一个半径为 3 的小扇形剩下扇环的面积为 5 【考点】 扇形面积公式 【分析】 观察图形得出留下部分的面积等于扇形 去扇形 面积，然后根据扇形面积的公式得出结果 第 12 页（共 19 页） 【解答】 解： S 留下 = 72 32 =5 故答案为： 5 15在等腰直角三角形 ，已知 C=1， E， F 分别是边 的点，且 =m ，=n ，其中 m， n （ 0， 1）且 m+2n=1，若 中点分别为 M， N，则 | |的最小值是 【考点】 向量的模 【分析】 如图所示，建立直角坐标系由 =m ， =n ，其中 m， n （ 0， 1），可得 =（ m， 0）， =（ 0， n）利用 = ， = 可得= = 再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出 【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系 B（ 1， 0）， C（ 0， 1） =m ， =n ，其中 m， n （ 0， 1）， =m（ 1， 0） =（ m， 0）， =（ 0， n） = = = = = = 又 m， n （ 0， 1）， m+2n=1 n = = = ，当且仅当n= ， m= 时取等号 故答案为： 16已知定义域为 R 的奇函数 f（ x）满足：当 x 0 时， f（ x） =函数 g（ x） =f（ x） 零点的个数为 7 第 13 页（共 19 页） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 将 函数 g（ x） =f（ x） 零点的个数转化为 f（ x）的图象与 图象的交点个数，由数形结合可以得知答案 【解答】 解：函数 f（ x） =奇函数，且它的周期为 = ， g（ x） =f（ x） ， 函数 g（ x） =f（ x） 零点的个数为 相当于 f（ x） =零点个数， 即 f（ x）与 交点个数， 画出二者图象，由数形结合， 可知，在（ ， 0）有 3 个交点， 0 处有一个交点，（ 0， +）有 3 个交点， 故共有 7 个交点 函数 g（ x） =f（ x） 零点的个数为 7 个， 故答案为： 7 三、解答题 17已知向量 =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3 y）， =（ 4， 1） （ 1）若四边形 平行四边形，求 x， y 的值； （ 2）若 等腰直角三角形，且 B 为直角，求 x， y 的值 【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （ 1）分别求出 ， ，根据向量相等，求出 x， y 的值即可；（ 2）根据 等腰直角三角形，得到关于 x， y 的方程组，解出即可 【解答】 解：（ 1） =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3 y）， =（ 1， 5）， =（ 1 x， y），由 = ， 得 x= 2， y= 5； （ 2） =（ 3， 1）， =（ x 1， y）， B 为直角，则 ， 3（ x 1） y=0， 又 | |=| |， （ x+1） 2+0，再由 y=3（ x 1）， 第 14 页（共 19 页） 解得： 或 18某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ 2）利用（ ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民 家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 参考数据：（ 3） （ +（ 2） （ 1） +（ 1） （ +1 4 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）先求出年份代号 t 和人均纯收入 y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a 的值，写出线性回归方程； （ 2）由（ 1）知 ， b=0， 2009 年至 2015 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 元，求得 2017 年的年份代号 t=9 代入（ 1）的回归方程，得 y 的值 【解答】 解：（ 1）由所给数据计算得 = =4， = = （ ） 2=9+4+1+0+1+4+9=28， （ ）（ ） =（ 3） （ +（ 2） （ 1） +（ 1） （ +1 4， 4 分 = = =4= 所求回归方程为 y= 分 第 15 页（共 19 页） （ 2）由（ 1）知， b=0，故 2009 年至 2015 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 元 将 2017 年的年份代号 t=9 代入（ 1）的回归方程，得 y= 故预测该地区 2017 年该地区居民家庭人均纯收入约为 元 12 分 19已知向量 =（ =（ x R 设函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用两 个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数 f（ x） =2x ），从而得到 f（ x）的最小正周期； （ 2）由 x 的范围求得相应的范围，再由正弦曲线 y= ， 上的图象进一步求得 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值 【解答】 解：（ 1）由向量 =（ =（ x R， 得 f（ x） = = = 函数 f（ x）的最小正周期 T= ； （ 2）当 x 0， 时， ， 由正弦曲线 y= ， 上的图象可知 当 即 时 f（ x）取最大值 1 当 即 x=0 时 f（ x）取最小值 函数 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值分别为 1， 20某小组共有 A、 B、 C、 D、 E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克 /米 2）如表所示： A B C D E 身高 重指标 ）从该小组身高低于 同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 下的概率 （ ）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在 的概率 第 16 页（共 19 页） 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）写出从身高低于 同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2 人身高都在 下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解； （ ）写出从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2人的身高都在 上且体 重指标都在 的事件，利用古典概型概率计算公式求解 【解答】 （ ）从身高低于 同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： （ A， B），（ A， C），（ A， D），（ B， C），（ B， D），（ C， D）共 6 个 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的 2 人身高都在 下的事件有：（ A， B），（ A， C），（ B， C）共 3 个 因此选到的 2 人身高都在 下的概率为 p= ； （ ）从该小组同 学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： （ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ B， C），（ B， D），（ B， E），（ C， D），（ C， E），（ D， E）共 10 个 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在 的事件有： （ C， D）（ C， E），（ D， E）共 3 个 因此选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在 的概率 p= 21在 ，已知 关于 x 的方程 x+1） p+1=0 的两个实根 （ 1）求角 C； （ 2）求实数 p 的取值集合 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 （ 1）先由根系关系得出 与积，由正切的和角公式代入求值，结合 A，B 的范围即可计算得解 A+B 的值，利用三角形内角和定理即可求 C 的值 （ 2）由（ 1）可求 A， B 的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数 f（ x） =x2+px+p+1，则函数的两个零点均在