2016年河北省张家口市高考数学考前模拟试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年河北省张家口市高考数学考前模拟试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 M=x| 2 x 3， N=y|y=） ，则 MN=（ ） A 1， 3） B 0， 3） C（ 2， 3） D 2， +） 2设 i 是虚数单位，则 | |=（ ） A B 3C D 2 3设条件 p： x 1） 0；结论 q：（ ） x 3 1，则 p 是 q 的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D非充分非必要条件 4已知 f（ x） = ，则 f（ 3） +f（ 1） =（ ） A 3B 1C 0D 1 5在等差数列 中， a8+0，则 2 ） A 6B 8C 10D 12 6某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了 50 名学生的体重（ 将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，体重在 45， 50）内适合跑步训练，体重在 50， 55）内适合跳远训练，体重在 55， 60）内适合投掷相关方面训练，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（ ） A 4： 3： 1B 5： 3： 1C 5： 3： 2D 3： 2： 1 7定义一种运算： =a1a2么函数 f（ x） = 的图象向左平移 k（ k 0）个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则 k 的最小值应为（ ） A B C D 8已知函数 f（ x）定义在 R 上， f（ x）是 f（ x）的导函数，且 f（ x） ， f（ 1） =1，则不等式 f（ x） + 的解集为（ ） 第 2 页（共 19 页） A x|x 1B x|x 1C x|x 1 或 x 1D x| 1 x 1 9若直线 2=0（ a 0， b 0）被圆 x2+x 4y+1=0 截得的弦长为 4，则 a2+ ） A B C D 2 10若实数 x， y 满足条件 ，且 z=2x+3y 的最大值是 15，则实数 a 的值为（ ） A 5B 4C 2D 1 11已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ） A 3： 1B 1： 3C 4： 1D 3： 2 12已知点 P 是 在平面内一点，且满足 3 +5 +2 = ，已知 面积为6，则 面积为（ ） A B 4C 3D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知总体的各个个体的值由小到大依次为 1， 3， 4， 8， a， c， 11， 23， 53， 86，且总体的中位数为 10，则 的值为 14在如图程序框图中，若任意输入的 t 2， 3，那么输出的 s 的取值范围是 ，15在 ，若 a， b， c 分别为内角 A、 B、 C 所对的边，则 的值为 16已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 ， 25 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 +2n， 前 n 项和为 比较 4n+ +1） 第 3 页（共 19 页） 18如图，四棱锥 P 底面 矩形， ， ，且侧面 正三角形，平面 平面 E 是棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 P 体积 19在一次商贸交易会上，某商家在柜台前开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖（ ）若抽奖规则是：从一 个装有 2 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 3 个球，当三个球同色时则中奖，求中奖概率； （ ）若甲计划在 9： 00 9： 40 之间赶到，乙计划在 9： 20 10： 00 之间赶到，求甲比乙提前到达的概率 20已知抛物线 C： p 0）的焦点 F 和椭圆 E： + =1 的右焦点重合，直线 交抛物线于 A， B 两点 （ ）若直线 l 的倾斜角为 135，求 |长； （ ）若直线 l 交 y 轴于点 M，且 =m ， =n ，试求 m+n 的值 21设函数 f（ x） =ax+g（ x） = （ 1）当 a= 1 时，求函数 y=f（ x）图象上的点到直线 x y+3=0 距离的最小值； （ 2）是否存在正实数 a，使得不等式 f（ x） g（ x）对一切正实数 x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由 请考生在第 22 24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分答题时用 2选修 4 1：几何证明选讲 22如图所示，已知 O 的直径为 O 的切线，由 P 作割线 次交 O 于B， C 两点，且 D=6， ， （ ）求 O 的面积大小； （ ）求 值 选修 4标系与参数方程 第 4 页（共 19 页） 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 4（ 0， 0 2），曲线 2（ 41） 3=0 （ ）求直线 l 与曲线 （ ）设直线 l 与曲线 ， B 两点，求 | 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+3| （ 1）求 x 的取值范围，使 f（ x）为常函数； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a0 有解，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016年河北省张家口市高考数学考前模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 M=x| 2 x 3， N=y|y=） ，则 MN=（ ） A 1， 3） B 0， 3） C（ 2， 3） D 2， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 N 中 y 的范围确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 N 中 y=） y=，得 到 N=0， +）， M=（ 2， 3）， MN=0， 3）， 故选： B 2设 i 是虚数单位，则 | |=（ ） A B 3C D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数求模 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简 ，然后代入复数模的公式计算 【解答】 解： = ， | |=|1 i|= 故选： C 3设条件 p： x 1） 0；结论 q：（ ） x 3 1，则 p 是 q 的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D非充分非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 求出 p， q 的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 x 1） 0 得 0 x 1 1，即 1 x 2，即 p： 1 x 2， 由（ ） x 3 1，得 x 3 0，即 q： x 3， p 是 q 的充分不必要条件， 故选： B 4已知 f（ x） = ，则 f（ 3） +f（ 1） =（ ） A 3B 1C 0D 1 第 6 页（共 19 页） 【考点】 抽象函数及其应用；函数的值 【分析】 由 f（ x）的解 析式，可得 f（ 1） =1； f（ 3） =f（ 2） f（ 1） = f（ 0），再由第一段解析式，运用对数的运算性质即可得到所求和 【解答】 解：由 f（ x） = ，可得： f（ 1） =（ 1） =， f（ 3） =f（ 2） f（ 1） =f（ 1） f（ 0） f（ 1） = f（ 0） = ， 即有 f（ 3） +f（ 1） =0+1=1 故选： D 5在等差数列 中， a8+0，则 2 ） A 6B 8C 10D 12 【考点】 等差数列的性质 【分析】 根据等差数列的通项，写出所给的条件 a8+0 的变形式，用首项和公差来表示，化简以后得到第八项的值，把要求的式子进行整理，结果也是第八项，得到结果 【解答】 解： 在等差数列 ， a8+0， 50， 2， 2d=2 故选 D 6某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了 50 名学生的体重（ 将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，体重在 45， 50）内适合跑步训练，体重在 50， 55）内适合跳远训练，体重在 55， 60）内适合投掷相关方面训练，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（ ） A 4： 3： 1B 5： 3： 1C 5： 3： 2D 3： 2： 1 【考点】 频率分布直方图 【分析】 分别求出体重在 45， 50）内的频率为 =重在 50， 55）内频率为 =重在 55， 60）内频率为 =可求得结论 【解答】 解： 体重在 45， 50）内的频率为 =重在 50， 55）内频率为 =重在 55， 60）内频率为 = ： 3： 1 故可估计跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为 5： 3： 1， 第 7 页（共 19 页） 故选： B 7定义一种运算： =a1a2么函数 f（ x） = 的图象向左平移 k（ k 0）个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则 k 的最 小值应为（ ） A B C D 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】 利用新定义求得 f（ x）的解析式，然后求出平移后的解析式，取 x=0，可得 k=n ，由此可得 k 的最小值 【解答】 解：由新定义可得， f（ x） = = = 图象向左平移 k 个单位后，所得函数解析式为 y= 所得图象关于 y 轴对称， k =n ，即 k= k 0， k 的最小值应为 故选： A 8已知函数 f（ x）定义在 R 上， f（ x）是 f（ x）的导函数，且 f（ x） ， f（ 1） =1，则不等式 f（ x） + 的解集为（ ） A x|x 1B x|x 1C x|x 1 或 x 1D x| 1 x 1 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 不等式可整理为 f（ x） ，构造函数 g（ x） =f（ x） ，通过导函数判断函数 g（ x）的单调性求出解集 【解答】 解： f（ x） + ， f（ x） ， 令 g（ x） =f（ x） ， g（ 1） = ， g（ x） g（ 1）， g（ x） =f（ x） 0， g（ x）为减函数， 第 8 页（共 19 页） x 1， 故选： B 9若直线 2=0（ a 0， b 0）被圆 x2+x 4y+1=0 截得的弦长为 4，则 a2+ ） A B C D 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的性质及点到直线的距离公式得到 a+b=1 由此利用均值定理能求出当且仅当a=b= 时， a2+ 【解答】 解： 圆 x2+x 4y+1=0 的圆心（ 1， 2），半径 r= =2， 直线 2=0（ a 0， b 0）被圆 x2+x 4y+1=0 截得的弦长为 4， 圆心（ 1， 2）到直线 2=0（ a 0， b 0）的距离： d= =0， a+b=1， a2+ 2 a 0， b 0， a2+ 2 =1 = 当且仅当 a=b= 时， a2+最小值 故选： B 10若实数 x， y 满足条件 ，且 z=2x+3y 的最大值是 15，则实数 a 的值为（ ） A 5B 4C 2D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出可行域，结合图形分析出目标函数 z=2x+3y 取得最大值时对应点的坐标，把其代入目标函数再结合目标函数 z=2x+3y 的最大值为 5，即可求出实数 a 的值 【解答】 解：实数 x， y 满足不等式组 ，如图， 由图可知， 可得 A（ 3a， 3a），即当 x=3a， y=3a 时， 目标函数 z=2x+3y 的最大值是 15 15=6a+9a，解得： a=1 故选： D 第 9 页（共 19 页） 11已知一个空间几何体的三视图如图所示 ，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ） A 3： 1B 1： 3C 4： 1D 3： 2 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由三视图可以看出，几何体是正四棱锥，求出高，设出球心，通过勾股定理求出球的半径，再求球的体积、表面积，即可求出球的体积与表面积之比 【解答】 解：由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为 正方形，高为 1， 球心在高的延长线上，球心 到底面的距离为 h，所以（ h+1） 2 ， 所以 h=0 故此几何体外接球的半径为 1 球的体积 13= ，表面积为 422=4， 所以球的体积与表面积之比为 1： 3， 故选： B 12已知点 P 是 在平面内一点，且满足 3 +5 +2 = ，已知 面积为6，则 面积为（ ） A B 4C 3D 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 由条件 便可得到 ，若设 点为D， 点为 E，则可得到 ，从而得出 P， D， E 三点共线，并且 P 在中位线，这样即可得出 ，从而便可得出 面积 【解答】 解：根据条件， = ； 第 10 页（共 19 页） 取 点 D， 点 E，连接 ： ； ； P， D， E 三点共 线，且 P 在线段 ，如图所示： 则， ； ； 故选： C 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知总体的各个个体的值由小到大依次为 1， 3， 4， 8， a， c， 11， 23， 53， 86，且总体的中位数为 10，则 的值为 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据中位数的定义，求出 a+c 的值，再利用诱导公式计算 的值 【解答】 解：根据题意， =10， a+c=20； = 故答案为： 14在如图程序框图中，若任意输入的 t 2， 3，那么输出的 s 的取值范围是 10，6 ， 【考点】 程序框图 第 11 页（共 19 页） 【分析】 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 的值，分类讨论即可得解 【解答】 解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出 的值， 当 t 2， 0）时， 105t 0； 当 t0， 3时， 24t=2（ t 1） 2 2 2， 6， 综上得： 10S6 故答案为： 10， 6 15在 ，若 a， b， c 分别为内角 A、 B、 C 所对的边，则 的值为 0 【考点】 正弦定理的应用 【分析】 由 正弦定理将原式化为三内角的三角函数关系式，然后化简即可 【解答】 由正弦定理知： 代入得 = = = = =0 故答案为： 0 16已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意画出图形，过点 M 作 x 轴，得到 过求解直 角三角形得到 M 坐标，代入双曲线方程可得 a 与 b 的关系，结合 a， b， c 的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率 【解答】 解：设双曲线方程为 =1（ a 0， b 0）， 如图所示， | 20， 过点 M 作 x 轴，垂足为 N，则 0， 在 ， |2a， 0， 即有 |2a， |2 a， 故点 M 的坐标为 M（ 2a， a）， 第 12 页（共 19 页） 代入双曲线方程得 =1， 即为 a2= 则 e= = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 ， 25 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 +2n， 前 n 项和为 比较 4n+ +1） 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）根据已知条件，先 设 通项为 差为 d，由 ， 25，解得即可； （ ）化简 +2n=4n+2n，根据前 n 项和公式，即可求出答案，再比较即可 【解答】 解：（ ）根据已知条件，先设 通项为 差为 d， 则 ，解得 ， n 1， （ ）由（ ）知， +2n=22n 1+2n= 4n+2n， Tn=b1+b2+（ 41+42+43+4n） +2（ 1+2+3+n） = +n2+n= 4n+n2+n ， = 第 13 页（共 19 页） 4n+ +1） 4n+n2+n （ 4nn2+n2+n） =4n（ 0， 4n+ +1） 18如图，四棱锥 P 底 面 矩形， ， ，且侧面 正三角形，平面 平面 E 是棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 P 体积 【考点】 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）连接 点为 O，利用 中位线，可得 用线面平行的判定，可得 平面 （ 2）取 点 H，先证明 平面 点 F，可证 平面 而可求三棱锥 P 体积 【解答】 （ 1）证明：在矩形 ，连接 点为 O，则 O 是 点 又 E 是 点，所以 中位线，所以 又 面 面 所以 平面 （ 2）解：取 点 H，则由 B，得 又平面 平面 平面 面 B， 所以 平面 取 点 F，由 E 是 点，得 所以 平面 ， 由题意可求得： S ， ， ， 则 第 14 页（共 19 页） 19在一次商贸交易会上，某商家在柜台前开展促销抽奖活 动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖（ ）若抽奖规则是：从一个装有 2 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 3 个球，当三个球同色时则中奖，求中奖概率； （ ）若甲计划在 9： 00 9： 40 之间赶到，乙计划在 9： 20 10： 00 之间赶到，求甲比乙提前到达的概率 【考点】 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）记 “三个球同色 ”为事件 A，记两红球为 1， 2 号，四个白球分别为 3， 4， 5，6 号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值； （ ）设甲乙到达时间分别为 9： 00 起第 x， y 小时，则 0x ， y1，利用几何概型计算对应的概率 【解答】 解：（ ）记 “三个球同色 ”为事件 A，记两红球为 1， 2 号，四个白球分别为 3， 4，5， 6 号， 从 6 个球中抽取 3 个的所有可能情况有： （ 1， 2， 3），（ 1， 2， 4），（ 1， 2， 5），（ 1， 2， 6），（ 1， 3， 4），（ 1， 3， 5）， （ 1， 3， 6），（ 1， 4， 5），（ 1， 4， 6），（ 1， 5， 6），（ 2， 3， 4），（ 2， 3， 5）， （ 2， 3， 6），（ 2， 4， 5），（ 2， 4， 6），（ 2， 5， 6），（ 3， 4， 5），（ 3， 4， 6）， （ 3， 5， 6），（ 4， 5， 6）共 20 个基本事件； 其中事件 A 包含（ 3， 4， 5），（ 3， 4， 6），（ 3， 5， 6），（ 4， 5， 6）共 4 种情况； 则中奖概率为 P（ A） = = ； （ ）设甲乙到达时间分别为 9： 00 起第 x， y 小时，则 0x ， y1； 甲乙到达时间（ x， y）为图中正方形区域， 甲比乙先到则需满足 x y，为图中阴影部分区域， 则甲比乙提前到达的概率为 P（ B） =1 = 第 15 页（共 19 页） 20已知抛物线 C： p 0）的焦点 F 和椭圆 E： + =1 的右焦点重合，直线 交抛物线于 A， B 两点 （ ）若直线 l 的倾斜角为 135，求 |长； （ ）若直线 l 交 y 轴于点 M，且 =m ， =n ，试求 m+n 的值 【考点】 抛物线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 （ ）根据椭圆和抛物线的定义即可求出 p 的值，求出直线 l 的方程， 联立方程组，得到 x1+，根据焦点弦定理即可求出 | （ ）设直线 l： y=k（ x 1）， l 与 y 轴交于 M（ 0， k），设直线 l 交抛物线于 A（ B（ 与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合且 =m ， =n ，运用向量的坐标表示，可得 m， n，由此可得结论 【解答 】 解：（ ）据已知得椭圆 E 的右焦点为 F（ 1， 0）， =1， 故抛物线 C 的方程为 x， 直线 l 的倾斜角为 135， y= x+1， 于是 得到（ x+1） 2=4x，即 6x+1=0， 设 A（ B（ x1+， |p+x1+， （ ）根据题意知斜率必存在，于是设方程为 y=k（ x 1），点 M 坐标为 M（ 0， k）， A（ B（ l 与抛物线 C 的交点， ，得到 2（ ）x+， =16（ ） 0， x1+ ， ， =m ， =n ， （ y1+k） =m（ 1 （ y2+k） =n（ 1 m= ， n= m+n= + = = = 1 第 16 页（共 19 页） 21设函数 f（ x） =ax+g（ x） = （ 1）当 a= 1 时，求函数 y=f（ x）图象上的点到直线 x y+3=0 距离的最小值； （ 2）是否存在正实数 a，使得不等式 f（ x） g（ x）对一切正实数 x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由 【考点】 导数的运算；函数恒成立问题；点到直线的距离公式 【分析】 （ 1）平移直线 x y+3=0 当它与函数 y=f（ x）图象相切时，切点即为函数 y=f（ x）图象上到直线 x y+3=0 距离最小的点，此时切线的斜率等于函数 y=f（ x）在切点处的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于 1 入手 （ 2）若不等式 f（ x） g（ x）对一切正实数 x 都成立，我们可以构造函数 F（ x） =f（ x）g（ x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出 F（ x）的最大值，根据 F（ x） 0恒成立 F（ x）的最大值 0 进行求解 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） = x+ ，令 f（ x） =1，得 所求距离的最小值即为 到直线 x y+3=0 的距离 （ 2）假设存在正数 a，令 F（ x） =f（ x） g（ x）（ x 0），则 F（ x） 由 得 时， F（ x） 0， F（ x）为减函数； 当 时， F（ x） 0， F（ x）为增函数 即 a1 所以 a 的取值范围是 1， +） 请考生在第 22 24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分答题时用 2选修 4 1：几何证明选讲 第 17 页（共 19 页