天津市和平区2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年天津市和平区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ） A组距 B频率 C组数 D频数 2抽查 10 件产品，设 “至少抽到 2 件次品 ”为事件 A，则事件 A 的互斥事件为（ ） A至多抽到 2 件次品 B至多抽到 2 件正品 C至少抽到 2 件正品 D至多抽到 1 件次品 3期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为 5 的学生召集起来开 座谈会，运用的抽样方法是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D抽签法 4若事件 A 与 B 是互为对立事件，且 P（ A） = P（ B） =（ ） A 0 B 1 5不等式 3x 4y+6 0 表示的平面区域在直线 3x 4y+6=0 的（ ） A右上方 B右下方 C左上方 D左下方 6如图给出的是计算 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 20 B i 20 C i 10 D i 10 7目标函数 z=x+y，变量 x， y 满足 ，则（ ） A ， B ，无最大值 C ，无最小值 D既无最大值，也无最小值 8已知不等式（ x+y）（ + ） 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 二 大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 9用辗转相除法或更相减损术求 459 与 357 的最大公约数是 第 2 页（共 17 页） 10某中学高一有 400 人，高二有 320 人，高三有 280 人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为 n 的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为 n= 11已知两个正变量 x， y，满足 x+y=4，则使不等式 + m 恒成立的实数 m 的取值范围是 ，当 x= ， y= 时等号成立 12如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入 n=6， m=4，那么输出的 p= 13如图，在矩形 ，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ 2， 0）且点 C 与点 D 在函数 f（ x） = 的图象上，若在矩形 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 14设 x y 满足 约束条件 ，若目标函数 z=y（ a 0， b 0）的最大值为 13，则 a+b 的最小值为 三 6 题 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 40 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ （ 1）红灯； （ 2）黄灯； （ 3）不是红灯 16雾霾天气是一种大气污染状态， 认为是造成雾霾天气的 “元凶 ”， 均值越小，空气质量越好国家环境标准设定的 均值（微克 /立方米）与空气质量等级对应关系如表： 均值 （微克 /立方米） 035 35 75 75115 115150 150250 250 以上 第 3 页（共 17 页） 空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级 轻度污染 4 级 中度污染 5 级 重度污染 6 级 严重污染 由某市城市环境监测网获得 4 月份某 5 天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示 （ ）试根据统计数据，分别写出两城区的 均值的中位数，并从中位数角度判断哪个 城区的空气质量较好？ （ ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为 3级轻度污染的概率； （ ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率 17已知 D 是以点 A（ 4， 1）， B（ 1， 6）， C（ 2， 3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部） （ 1）写出表示区域 D 的不等式组； （ 2）设点 B（ 1， 6）、 C（ 2， 3）在直线 4x 3y a=0 的异侧，求 a 的取值范围； （ 3）若目标函数 z=kx+y（ k 0）的最小值为 k 6，求 k 的取值范围 18已知 x 0， y 0，且 2x+8y ，求： （ 1） 最小值； （ 2） x+y 的最小值 19某市司法部门为了宣传宪法举办法律知识问答活动，随机对该市 18 68 岁的人群抽取一个容量为 n 的样本，并将样本数据分成五组： 18， 28）， 28， 38）， 38， 48）， 48，58）， 58， 68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第 1 组，第 2 组， ，第 5 组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第 1 组 18， 28） 5 2 组 28， 38） 18 a 第 3 组 38， 48） 27 4 组 48， 58） x 5 组 58， 68） 3 1）分别求出 a， x 的值； （ 2）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2， 3， 4 组每组应各抽取多少人？ （ 3）在（ 2）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率 第 4 页（共 17 页） 20某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 产品 A（件） 产品 B（件） 研制成本、搭载费用之和（万元） 20 30 计划最大资金额 300 万元 产品重量（千克） 10 5 最大搭载重量 110 千克 预计收益（万元） 80 60 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 第 5 页（共 17 页） 2015年天津市和平区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ） A组距 B频率 C组数 D频数 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图的做法，可得正确答案 【解答】 解：小长方形的长为组距，高为 ，所以小长方形的面积为：组距 =频率 故选 B 2抽查 10 件产品，设 “至少抽到 2 件次品 ”为事件 A，则事件 A 的互斥事件为（ ） A至多抽到 2 件次品 B至多抽到 2 件正品 C至少抽到 2 件正品 D至多抽到 1 件次品 【考点】 互斥事件与对立事件 【分析】 由于在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论 【解答】 解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件， 事件 A： “至少抽到 2 件次品 ”， 故 “至多抽到 1 件次品 ”与 A 是互斥事件， 故选： D 3期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全 体高一学生考号末位为 5 的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D抽签法 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据末位为 5 的学生的学生号码之间的关系进行判断即可 【解答】 解： 末位为 5 的学生的学生号码间距相同都为 10， 高一年级组运用的抽样方法是系统抽样， 故选： B 4若事件 A 与 B 是互为对立事件，且 P（ A） = P（ B） =（ ） A 0 B 1 【考点】 互斥事件与对立事件 【分析】 根据对立事件的概率公式 p（ ） =1 P（ A），解得即可 【解答】 解：因为对立事件的概率公式 p（ ） =1 P（ A） = 故先 C 5不等式 3x 4y+6 0 表示的平面区域在直线 3x 4y+6=0 的（ ） A右上方 B右下方 C左上方 D左下方 第 6 页（共 17 页） 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 根据二元一次不等式表示平面区域的性质确定不等式对应的平面区域即可 【解答】 解： 当 x=0， y=0 时， 3x 4y+6=6 0， 原点位于不等式 3x 4y+6 0 表示的平面区域内， 不等式 3x 4y+6 0 表示的平面区域位于直线 3x 4y+6=0 的左上方 故选： C 6如图给出的是计算 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 20 B i 20 C i 10 D i 10 【考点】 循环结构 【分析】 由程序中的变量、各语句的作 用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用+s 的值代替 s 得到新的 s，并用 n+2 代替 n、用 i+1 代替 i，直到条件满足时，输出最后算出的 s 值由此结合题意即可得到本题答案 【解答】 解：由题意，该程序按如下步骤运行 经过第一次循环得到 s= ， n=4， i=2； 经过第二次循环得到 s= + ， n=6， i=3； 经过第三次循环得到 s= + + ， n=8， i=4； 第 7 页（共 17 页） 看到 S 中最后一项的分母与 i 的关系是：分母 =2（ i 1） 20=2（ i 1）解得 i=11 时需要输出 所以判断框的条件应为 i 10 故选 D 7目标函数 z=x+y，变量 x， y 满足 ，则（ ） A ， B ，无最大值 C ，无最小值 D既无最大值，也无最小值 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数 z=x+ 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+y 得 y= x+z，平移直线 y= x+z， 由图象可知当直线 y= x+z 经过点 C 时， 直线 y= x+z 的截距最小，此时 z 最小 由 ，解得 ，即 C（ 2， 0）， 代入目标函数 z=x+y 得 z=2+0=2 即目标函数 z=x+y 的最小值为 2 无最大值 故选： B 8已知不等式（ x+y）（ + ） 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 求（ x+y）（ ）的最小值；展开凑定值 第 8 页（共 17 页） 【解答】 解：已知不等式（ x+y）（ ） 9 对任意正实数 x， y 恒成立， 只要求（ x+y ）（ ）的最小值 9 9 2 或 4（舍去）， 所以正实数 a 的最小值为 4， 故选项为 B 二 大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 9用辗转相除法或更相减损术求 459 与 357 的最大公约数是 51 【考点】 用辗转相除计算最大公约数 【分析】 根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数 【解答】 解：辗转相除法： 459=357 1+102， 357=102 3+51， 102=51 2 故 459 和 357 的最大公约数是 51， 故答案为： 51 10某中学高一有 400 人，高二有 320 人，高三有 280 人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为 n 的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为 n= 200 【考点】 简单随机抽样 【分析】 根据抽样的性质，每个个体被抽到的概率相等，建立方程即可 【解答】 解：在抽样中，每个个体被抽到的概率相等， 则 n= 000 00， 故答案为： 200 11已知两个正变量 x， y，满足 x+y=4， 则使不等式 + m 恒成立的实数 m 的取值范围是 （ ， ，当 x= ， y= 时等号成立 【考点】 基本不等式 【分析】 运用乘 1 法，可得 + = （ x+y）（ + ） = （ 5+ + ），由基本不等式可得最小值，进而得到 m 的范围和相应 x， y 的值 【解答】 解： x 0， y 0，且 x+y=4，可得 + = （ x+y）（ + ） = （ 5+ + ） （ 5+2 ） = ， 当且仅当 y=2x= ， + 取得最小值 ， 由不等式 + m 恒成立，可得 m 第 9 页（共 17 页） 故答案为：（ ， ， ， 12如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入 n=6， m=4，那么输出的 p= 2520 【考点】 程序框图 【分析】 通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环 结果写出，得到输出的结果 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=6， m=4， k=1， p=1 p=3 不满足条件 k 4，执行循环体， k=2， p=12 不满足条件 k 4，执行循环体， k=3， p=60 不满足条件 k 4，执行循环体， k=4， p=360 不满足条件 k 4，执行循环体， k=5， p=2520 满足条件 k m，退出循环，输出 p 的值为 2520 故答案为： 2520 13如图，在矩形 ，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ 2， 0）且点 C 与点 D 在函数 f（ x） = 的图象上，若在矩形 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据函数的解析式求出 A， C， D 的坐标，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解： B 的坐标为（ 2， 0）， 当当 x=2 时， f（ 2） =2+1=3，即 C（ 2， 3）， 第 10 页（共 17 页） 由 f（ x） = x+1=3，得 x= 4，即 D（ A（ 4， 0）， 则矩形 面积 S=6 3=18， 阴影部分的面积 S= ， 则对应的面积 S= = ， 故答案为： 14设 x y 满足约束条件 ，若目标函数 z=y（ a 0， b 0）的最大值为 13，则 a+b 的最小 值为 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 a， b 的关系，然后利用基本不等式求 a+b 的最小值 【解答】 解：由 z=y（ a 0， b 0）得 y= z， 作出可行域如图： a 0， b 0， 直线 y= z 的斜率为负，且截距最大时， z 也最大 平移直线 y= z，由图象可知当 y= z 经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 也最大 由 ，解得 ，即 A（ 1， 4） 此时 z=13， 即 ， 则 a+b =2 =2 3=6， 当且仅当 a=b=3 时取 =号， 故最小值为 6， 故答案为： 6 第 11 页（共 17 页） 三 6 题 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 40 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 50秒（没有两灯同时亮 ），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ （ 1）红灯； （ 2）黄灯； （ 3）不是红灯 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式分别进行求解即可 【解答】 解：全部时间为 40+5+50=95 秒，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型， 记 “看见红灯 ”为事件 A， “看见黄灯 ”为事件 B， “看见绿灯 ”为事件 C， “看见的不是红灯 ”为事件 D， 则（ 1） P（ A） = （ 2） P（ B） = （ 3） P（ D） =P（ B） +P（ C） = 16雾霾天气是一种大气污染状态， 认为是造成雾霾天气的 “元凶 ”， 均值越小，空气质量越好国家环境标准设定的 均值（微克 /立方米）与空气质量等级对应关系如表： 均值 （微克 /立方米） 035 35 75 75115 115150 150250 250 以上 空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级 轻度污染 4 级 中度污染 5 级 重度污染 6 级 严重污染 由某市城市环境监测网获得 4 月份某 5 天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示 （ ）试根据统计数据，分别写出两城区的 均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？ 第 12 页（共 17 页） （ ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为 3级轻度污染的概率； （ ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 【分析 】 （ I）由茎叶图可知甲乙两个城市 5 天数据由小到大排列，求出中位数，比较两个中位数的大小可得哪个城市的空气质量较好； （ 茎叶图可知在抽取的五天中，甲城市空气质量等级为 3 级轻度污染的频数为 3，进而得到频率，进而估算出概率； （ ）从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，共有 25 种不同情况，统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数，代入古典概型概率计算公式可得答案 【解答】 解：（ ）甲城市 5 天数据由小到大排列： 59， 83， 87， 95， 116， 乙城市 5 天数据由小到大排列： 66， 68， 85， 88， 98， 甲的中位数是 87，乙的中位数是 85， 乙城市的空气质量较好 （ ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为 3 级轻度污染的频率为， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为 3 级轻度污染的概率为 （ ）设事件 A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同， 由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有 25 个结果，分别记为： （ 59， 66），（ 59， 68），（ 59， 85），（ 59， 88）（ 59， 98） （ 83， 66），（ 83， 68），（ 83， 85），（ 83， 88）（ 83， 98） （ 87， 66），（ 87， 68），（ 87， 85），（ 87， 88）（ 87， 98） （ 95， 66），（ 95， 68），（ 95， 85），（ 95， 88）（ 95， 98） ， 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 2 级良的为甲 59，乙 66，乙 68； 同为 3 级轻度污染的为甲 83，甲 87，甲 95； 乙 85，乙 88，乙 98；则空气质量等级相同的为： （ 59， 66），（ 59， 68）， （ 83， 85），（ 83， 88），（ 83， 98）， （ 87， 85），（ 87， 88），（ 87， 98）， （ 95， 85），（ 95， 88），（ 95， 98）， 共 11 个结果 第 13 页（共 17 页） 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为 17已知 D 是以点 A（ 4， 1）， B（ 1， 6）， C（ 2， 3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部） （ 1）写出表示区域 D 的不等式组； （ 2）设点 B（ 1， 6）、 C（ 2， 3）在直线 4x 3y a=0 的异侧，求 a 的取值范围； （ 3）若目标函 数 z=kx+y（ k 0）的最小值为 k 6，求 k 的取值范围 【考点】 简单线性规划 【分析】 （ 1）先分别求出 方程，结合二元一次不等式组表示平面区域进行表示， （ 2）根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式关系进行求解即可 （ 3）根据线性规划的知识建立直线斜率关系进行求解即可 【解答】 解：（ 1） A（ 4， 1）， B（ 1， 6）， C（ 2， 3）为顶点， 则直线方程 得 7x 5y 23=0， ，即 x+3y 7=0， ，即 9x+y+15=0， 则对应的不等式组为 （ 2） 点 B（ 1， 6）、 C（ 2， 3）在直线 4x 3y a=0 的异侧， 将点的坐标分别代入得（ 14 a）（ 17 a） 0， 即（ a 14）（ a+17） 0，得 17 a 14 （ 3） z=kx+y（ k 0）的最小值为 k 6，这也是将点 B（ 1， 6）的坐标代入的结果， B 是目标函数的 最优解， y= kx+z， 0 k k 0，（ k 0， 这种情况不存在） ， 0 k ，即 k 0 第 14 页（共 17 页） 18已知 x 0， y 0，且 2x+8y ，求： （ 1） 最小值； （ 2） x+y 的最小值 【考点】 基本不等式 【分析】 （ 1）利用 基本不等式构建不等式即可得出； （ 2）由 2x+8y=形得 + =1，利用 “乘 1 法 ”和基本不等式即可得出 【解答】 解：（ 1） x 0， y 0， 2x+8y ， x+8y 2 ， 8， 64当且仅当 x=4y=16 时取等号 故 最小值为 64 （ 2）由 2x+8y=： + =1， 又 x 0， y 0， x+y=（ x+y） =10+ + 10+ =18当且仅当 x=2y=12 时取等号 故 x+y 的最小值为 18 19某市司法 部门为了宣传宪法举办法律知识问答活动，随机对该市 18 68 岁的人群抽取一个容量为 n 的样本，并将样本数据分成五组： 18， 28）， 28， 38）， 38， 48）， 48，58）， 58， 68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第 1 组，第 2 组， ，第 5 组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第 1 组 18， 28） 5 2 组 28， 38） 18 a 第 3 组 38， 48） 27 4 组 48， 58） x 5 组 58， 68） 3 1）分别求出 a， x 的值； （ 2）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2， 3， 4 组每组应各抽取多少人？ （ 3）在（ 2）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率 第 15 页（共 17 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由回答对的人数：每组的人数 =回答正确的概率，分别可求得要求的值 ； （ 2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数； （ 3）记抽取的 6 人中，第 2 组的记为 3