湖北省黄冈市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，则 MN 为（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 2已知 a， b， c R，那么下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 若 ，则 a b C若 0，则 D若 0，则 3已知点（ 3， 1）和点（ b， 4）均在直线 3x 2y a=0 上，则 值为（ ） A B 35 C 35 D 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内 所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 5已知等比数列 公比 q 1，则下面说法中不正确的是（ ） A +等比数列 B对于 k N*， k 1， 1+ 2对于 n N*，都有 0 D若 对于任意 n N*，都有 下列命题中，真命题的是（ ） A已知 f（ x） =，则 f（ x）的最小值是 2 B已知数列 通项公式为 an=n+ ，则 最小项为 2 C已知实数 x， y 满足 x+y=2，则 最大值是 1 D已知实数 x， y 满足 ，则 x+y 的最小值是 2 7在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 8函数 y=一条对称轴为 x= ，则直线 l： by+c=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 9已知直四棱柱 ，底面 正方形， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 10设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0 c ，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（ ） A B C D 11如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n（ n 1， n N*）个点，相应的图案 中总的点数记为 + + + =（ ） A B C D 12已知曲线 =1 与直线 y=2x+m 有两个交点，则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 4） （ 4， +） B（ 4， 4） C（ ， 3） （ 3， +） D（3， 3） 二 13一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为 1 的菱形，俯视图是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 14已知 0 x 1，则函数 y= + 的最小值为 15已知实数 x， y 满足 ，则 = 的取值范围是 16在平面直角坐标系中，设三角形 顶点分别为 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0），点 P（ 0， p）在线段 （异于端点），设 a， b， c， p 均为非零实数，直线 别交 点 E， F，一同学已正确算的 方程：（ ） x+（ ） y=0，请你求 方程：（ ） x+（ ） y=0 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知两条直线 =0， a 1） x+y+b=0，求满足下列条件的 a， b 值 第 3 页（共 20 页） （ ） 点（ 3， 1）； （ ） 原点到这两直线的距离相等 18设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a= B 为钝角 （ 1）求 B A 的值； （ 2）求 取值范围 19设数列 足 2+3n 1， n N* （ 1）求数列 通项； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 20某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次 A， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600元 /辆和 2400 元 /辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天要以不少于 900 人运完从甲地去乙地的旅客，且 使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 21对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 22如图，在底面是正方形的四棱锥 P ， 面 点 E， C 中点， G 为 一点 （ ）求证： （ ）确定点 G 在线段 的位置，使 平面 说明理由； （ ）当二面角 B D 的大小为 时，求 底面 成角的正切值 第 4 页（共 20 页） 2015年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试 题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，则 MN 为（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用正弦函数性质求出 M 中 y 的范围确定出 M，求出 N 中不等式的解集，找出解集的整数解确定出 N，求出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中 y=x R，得到 1 y 1，即 M= 1， 1， 由 N 中不等式变形得：（ x 2）（ x+1） 0，且 x+1 0， x Z， 解得： 1 x 2， x Z， N=0， 1， 2， 则 MN=0， 1 故选： B 2已知 a， b， c R，那么下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 若 ，则 a b C若 0，则 D若 0，则 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 根据不等式的性质，对 A、 B、 C、 D 四个选项通过举反例进行一一验证 【解答】 解： A若 a b，则 ），若 c=0，则 A 不成立； B若 ，则 a b（错），若 c 0，则 B 不成立； C若 0，则 （对），若 0，则 D若 0，则 （错），若 ，则 D 不成立 故选 C 3已知点（ 3， 1）和点（ b， 4）均在直线 3x 2y a=0 上，则 值为（ ） A B 35 C 35 D 【考点】 直线的一般式方程 第 5 页（共 20 页） 【分析】 将（ 3， 1）代入直线方程求出 a，将（ b， 4）代入直线方程求出 b，从而求出 值即可 【解答】 解： 点（ 3， 1）在直线 3x 2y a=0 上， 3 （ 3） 2 （ 1） a=0，解得 a= 7， 又点（ b， 4）在直线 3x 2y+7=0 上， 3b+8+7=0，解得 b= 5， 5， 故选： C 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存 在直线垂直于平面 【考点】 平面与平面之间的位置关系 【分析】 命题 A， B 可以通过作图说明；命题 C 可以直接进行证明；命题 D 可以运用反证法的思维方式说明是正确的 【解答】 解： A、如图，平面 平面 ， =l， l， l 不垂直于平面 ，所以不正确； B、如 A 中的图，平面 平面 ， =l， a，若 a l，则 a ，所以正确； C、如图， 设 =a， =b，在 内直线 a、 b 外任取 一点 O，作 a，交点为 A，因为平面 平面 ， 所以 ，所以 l，作 b，交点为 B，因为平面 平面 ，所以 ，所以l，又 B=O， 所以 l 所以正确 D、若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，正确； 故选： A 5已知等比数列 公比 q 1，则下面说法中不正确的是（ ） 第 6 页（共 20 页） A +等比数列 B对于 k N*， k 1， 1+ 2对于 n N*，都有 0 D若 对于任意 n N*，都有 考点】 等比数列的性质 【分析】 利用等比数列的通项，对选项分别进行分析，即可得出结论 【解答】 解：对于 A， +公比为 等比数列，正确； 对于 B，对于 k N*， k 1， 1+= + q 1， 1+ 2确 对于 C， =0，正确； 对于 D，若 a 1，则对于任意 n N*，都有 不正确， 故选： D 6下列命题中，真命题的是（ ） A已知 f（ x） =，则 f（ x）的最小值是 2 B已知数列 通项公式为 an=n+ ，则 最小项为 2 C已知实数 x， y 满足 x+y=2，则 最大值是 1 D已知实数 x， y 满足 ，则 x+y 的最小值是 2 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 对每个选项进行判断，即可得出结论 【解答】 解： A、 f（ x） =，令 t=t 0， 1），则 y=t+ 在 0， 1上单调递减，最小值为 3，所以 f（ x）的最小值是 3，故不正确； B、数列 通项公式为 an=n+ ， n=1 或 2 时， 最小项为 3，故不正确； C、已知实数 x， y 满足 x+y=2， x， y 0 时， x+y 2 ，所以 最大值是 1，正确； D、已知实数 x， y 满足 ，则 x+y 的最小值是 2，故不正确 7在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 【考点】 数列递推式 【分析】 ， ， =1，可得： 3= ， 1=2， 2= ， 即可得出 【解答】 解： ， ， =1， ， ， ，可得： 3= ， 1=2 同理可得： 2= ， 第 7 页（共 20 页） + = 故选： C 8函数 y=一条对称轴为 x= ，则直线 l： by+c=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 【考点】 直线的倾斜角；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 函数 f（ x） =象的一条对称轴方程是 ，推出 f（ +x） =f（ x） 对任意 x R 恒成立，化简函数的表达式，求出 a， b 的关系，然后求出直线的倾斜角，得到选项 【解答】 解： f（ x） = 对称轴方程是 x= ， f（ +x） =f（ x） 对任意 x R 恒成立， +x） +x） = x） x）， +x） x） =+x） x）， 用加法公式化简： 2 2任意 x R 恒成立， （ a+b） 对任意 x R 恒成立， a+b=0， 直线 by+c=0 的斜率 K= = 1， 直线 by+c=0 的倾斜角为 故选 D 9已知直四棱柱 ，底面 正方形， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解： 直四棱柱 ，底面 正方形， E 为中点， 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 B（ 1， 1， 0）， E（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， 0， 0， 2）， =（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 2）， 第 8 页（共 20 页） 设 异面直线 成角为 ， 则 = = 异面直线 成角的余弦值为 故选： C 10设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0 c ，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（ ） A B C D 【考点】 二次函数的性质 【分析】 利用方程的根，求出 a， b， c 的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值 【解答】 解：因为 a， b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根， 所以 a+b= 1， ab=c，两条直线之间的距离 d= ， 所以 = ， 因为 0 c ， 所以 1 4c 1， 即 ， ，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ， 故选： D 第 9 页（共 20 页） 11如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n（ n 1， n N*）个点，相应的图案中总的点数记为 + + + =（ ） A B C D 【考点】 归纳推理 【分析】 确定 n 3，利用裂项法求和，即可得出结论 【解答】 解：每个边有 n 个点，把每个边的点数相加得 3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故 n 3 = = = ， + + + =1 + =1= 故选： C 12已知曲线 =1 与直线 y=2x+m 有两个交点，则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 4） （ 4， +） B（ 4， 4） C（ ， 3） （ 3， +） D（3， 3） 【考点】 直线的截距式方程 【分析】 作出直线和曲线对应的图象，根据图象关系即可确定 m 的取值范围 【解答】 解：作出曲线 =1 对应的图象如图所示： 由图象可知直线 y=2x+m 经过点 A（ 2， 0）时，直线和曲线有一个交点， 此时 4+m=0，即 m=4，此时要使两曲线有两个交点，则 m 4， 直线 y=2x+m 经过点 B（ 2， 0）时，直线和曲线有一个交点， 第 10 页（共 20 页） 当直线经过点 B 时， 4+m=0，即 m= 4， 此时要使两曲线有两个交点，则 m 4， 综上， m 的取值范围是 m 4 或 m 4 故选： A 二 13一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为 1 的菱形，俯视图是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是上下两部分组成，为全等的两个四棱锥 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是上下两部分组成，为全等的两个四棱锥 该几何体的体积 V= 12 = 故答案为： 14已知 0 x 1，则函数 y= + 的最小值为 9 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式 【分析】 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】 解： 0 x 1， 则函数 f（ x） = + = ， 当 f（ x） 0 时，解得 ；当 f（ x） 0 时，解得 又 =0 当且仅当 x= 时取得极小值即最小值 = + =6+3=9 故答案为： 9 第 11 页（共 20 页） 15已知实数 x， y 满足 ，则 = 的取值范围是 5， 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据分式的性质进行转化，结合直线斜率的几何意义，求出斜率的取值范围即可得到结论 【解答】 解： = = =4+2 ， 设 k= ， 则 k 的几何意义是区域内的点到定点 D（ 3， 2）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象得 斜率最大， 斜率最小， 其中 A（ 0， ）， B（ 1， 0）， 此时 = ，此时 最小为 =4 =4+1=5， 时 =1，此时 最大为 =4+2 1=6， 故 5 6， 故答案为： 5， 6 16在平面直角坐标系中，设三角形 顶点分别为 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0），点 P（ 0， p）在线段 （异于端点），设 a， b， c， p 均为非零实数，直线 别交 点 E， F，一同学已正确算的 方程：（ ） x+（ ） y=0，请你求 方程：（ ） x+（ ） y=0 【考点】 类比推理 第 12 页（共 20 页） 【分析】 本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线 方程为：（ ） x+（ ）y=0，分析 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0）， P（ 0， p），我们可以类比推断出直线 方程为（ ） x+（ ） y=0 【解答】 解：由截距式可得直线 ，直线 ， 两式相减得（ ） x+（ ） y=0， 显然直线 交点 F 满足此方程， 又原点 O 也满足此方程， 故为所求直线 方程 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知两条直线 =0， a 1） x+y+b=0，求满足下列条件的 a， b 值 （ ） 点（ 3， 1）； （ ） 原点到这两直线的距离相等 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ ）通过 充要条件得到关系式， 点（ 3， 1）得到方程，然后求出 a， b 的值； （ ）利用 到 ，通过原点到这两直线的距离相等即可求出 a， b 【解答】 解（ ） a（ a 1） +（ b） 1=0（ 1） 又 点（ 3， 1），则 3a+b+4=0（ 2） 联立（ 1）（ 2）可得， a=2， b=2 （ ）依题意有， ，且 ， 解得 a=2， b= 2 或 18设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a= B 为钝角 （ 1）求 B A 的值； （ 2）求 取值范围 【考点】 两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出 B A 的值； （ 2）由（ 1）求出 C 和 A 的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用换元法和二次函数的性质求出式子的范围 【解答】 解：（ 1）由题 意得 a= 由正弦定理得 ，则 第 13 页（共 20 页） B 为钝角， B= ， B A= ； （ 2）由（ 1）知 C=（ A+B） =（ A+ +A） = 2A 0， A （ 0， ）， 2A） = 2 2（ ） 2+ ， A （ 0， ）， 0 ， 由二次函数可知， 2（ ） 2+ ， 取值范围为（ ， 19设数列 足 2+3n 1， n N* （ 1） 求数列 通项； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 2+3n 1当 n 2 时， 2+3n 21= ，两式作差求出数列 通项 （ 2）由（ 1）的结论可知数列 通项再用错位相减法求和即可 【解答】 解：（ 1） 2+3n 1， 当 n 2 时， 2+3n 21= ，得 3n 1， 所以 （ n 2）， 在 中，令 n=1，得 也满足上式 （ 2） ， 第 14 页（共 20 页） bn=n3n +2 32+3 33+n3n 32+2 33+3 34+n3n+1 ，得 2Sn=n3n+1（ 3+32+33+3n）， 即 2Sn=n3n+1 20某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天 往返一次 A， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600元 /辆和 2400 元 /辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天要以不少于 900 人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 设应配备 A 型车、 B 型车各 x 辆， y 辆，营运成本为 z 元；从而可得 ；z=1600x+2400y；利用线性规划求解 【解 答】 解：设应配备 A 型车、 B 型车各 x 辆， y 辆，营运成本为 z 元； 则由题意得， ； z=1600x+2400y； 故作平面区域如下， 第 15 页（共 20 页） 故联立 解得， x=5， y=12； 此时， z=1600x+2400y 有最小值 1600 5+2400 12=36800 元 21对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点 已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 【考点】 二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用 【分析】 （ 1）转化为直接解方程 x 3=x 即可 （ 2）转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，转化为 4a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可 （ 3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直找到 a， b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】 解：（ 1） a=1， b= 2 时， f（ x） =x 3， f（ x） =x2x 3=0x= 1， x=3 函数 f（ x）的不动点为 1 和 3； （ 2）即 f（ x） = b+1） x+b 1=x 有两个不等实根， 第 16 页（共 20 页） 转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，须有判别式大于 0 恒成立 即 4a（ b 1） 0 =（ 4a） 2 4 4a 00 a 1， a 的取值范围为 0 a 1； （ 3）设 A（ B（ 则 x1+ ， A， B 的中点 M 的坐标为 （ ， ），即 M（ ， ） A、 B 两点关于直线 y=对称， 又因为 A， B 在直线 y=x 上， k= 1， A， B 的中点 M 在直线 y=上 = b= = 利用基本不等