辽宁省本溪市2015年中考数学三模试卷含答案解析

第 1 页（共 32 页） 2015 年辽宁省本溪市中考数学三模试卷 一、选择题，共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1 2015 年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到 15 000 万吨左右，将 15 000 用科学记数法表示应为（ ） A 105 B 104 C 105 D 15 103 2下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） A 32 a C（ 2= a2=下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 5我市某中学举办了一次以 “我的中国梦 ”为主题的演讲比赛，最后确定 9 名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前 5 名，他还必须清楚这 9 名同学成绩的（ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 6如图，直线 a 与直线 b 平行，将三角板的直角顶点放在直线 a 上，若 1=40，则 2 等于（ ） A 40 B 50 C 60 D 140 7某商品经过两次降价，每瓶零售价 由 388 元降为 268 元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ） A 388（ 1+x） 2=268 B 388（ 1 x） 2=268 C 268（ 1 2x） =388 D 268（ 1+x） 2=388 第 2 页（共 32 页） 8如图将矩形 对角线 叠，使 C 落在 C处， 点 E，则下到结论不一定成立的是（ ） A C B 9小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间 t 以及容器内水面的高度 h，并画出表示 h 与 t 的函数关系的大致图象如左下图所示小明选择的物体可能是（ ） A B C D 10如图所示是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（ 3， 0），对称轴为 x=1，给出四个结论： 40； 2a+b=0； a+b=0； 当 x= 1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，其中正确结论是（ ） A B C D 二、填空题，共 8 小题，每小题 3 分 ，共 24 分 第 3 页（共 32 页） 11函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 12分解因式： ay+a= 13计算： 22 2| |+（ ） 0= 14某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复下表是由 试验得到的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 摸到白球的次数 58 118 189 237 302 359 摸到白球的频率 这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 （结果精确到 15如图， O 是正方形 外接圆，点 E 是 上任意一点，则 度数为 16如图，点 C 为线段 一点，将线段 点 C 旋转，得到线段 ，则 长为 17如图，双曲线 （ x 0）经过四边形 顶点 A、 C， 0， 分 x 轴将 折后得 ， B点落在 ，则四边形 第 4 页（共 32 页） 18如图，已知 0，点 射线 ，点 射线 ， 为等边三角形，分别连接 接 若 a，从左往右的阴影面积依次记作 n则 三、简答题（第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19化简并求值：（ + ） ，其中 x， y 满足 |x 2|+（ 2x y 3） 2=0 20 平面直角坐标系中的位置如图所示 （ 1）画出 于 y 轴对称的 （ 2）将 右平移 6 个单位，作出平移后的 写出 顶点的坐标； （ 3）观察 们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴 四、见简答题（第 21 小题 12 分，第 22 小题 12 分，共 24 分） 21随着科技的不断发展，人与人的沟通方式也发生了很大的变化，广州市某中学九年级的一个数学兴趣小组在本年级学生中进行 “学生最常用的交流方式 ”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为四类： A面对面交谈； B微信和 聊天软件交流； C短 第 5 页（共 32 页） 信与书信交流； D电话交流根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图（ 1）本次调查，一共调查了 名同学，其中 C 类女生有 名， D 类男生有 名； （ 2）若该年级有学生 150 名，请根据调查结果估计这些学生中以 “D电话交流 ”为最常用的交流方式的人数约为多少？ （ 3）在本次调查中以 “C短信与书信交流 ”为最常用交流方式的几位同学中随机抽取两名同学参加广州市中学生书信节比赛，请用列举法求所抽取的两名同学都是男同学的概率 22如图，在笔直的海岸线 l 上有 A、 B 两个观测站， A 在 B 的正东方向， +1） 船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45方向 （ 1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （ 2）小船从点 P 处沿射线 方向航行一段时间后，到达点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西15的方向，求点 C 与点 B 之间的距离（友情提示：结果都保留根号） 五、简答题（满分 12 分） 23如图，在 ， C， 点 D， E 为边 一点， D，以 直径作 O，交 点 F （ 1）求证： O 相切； （ 2）若 ， ，求 长 第 6 页（共 32 页） 六、简答题（满分 12 分半） 24某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（ 7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销售，直到 11周结束，该童装不再销售 （ 1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系； （ 2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次 x 之间的关系为 z= （ x 8） 2+12， 1 x 11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 七、简答题（满分 12 分） 25如图所示，已知正 射线 F，射线 B 顺时针旋转，旋转后的射线记作a，同时线段 在直线绕 A 顺时针旋转，旋转后的直线记作直线 l，当直线 l 旋转的角度是射线 倍时，直线 l 于射线 交于 E，与射线 a 相交于 D，且 D=30 （ 1）求射线 a 的旋转角是多少度； （ 2）求证： B； （ 3）探索： 线段 数量关系 第 7 页（共 32 页） 八、简答题（满分 14 分） 26如图 1，抛物线 y=114a（ a 0）与 x 轴交于 B、 C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线上另有一点 A 在第一象限内，且 0 （ 1）求线段 长和点 B 的坐标； （ 2）连接 x 轴翻折后得 四边形 菱形时，求此时抛物线的解析式； （ 3）如图 2，折垂直于 x 轴的直线 l： x=n 与（ 2）中所求的抛物线交于点 M，与 于点 N，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移，且交点 M 始终位于抛物线上 A、 C 两点之间时，试探究：当 n 为何值时，四边形 面积取得最大值，并求这个最大值； （ 4）在（ 3）的条件下，当取得最大值时，四边形 否为平行四边形？直接回答 （是或不是）如果不是，请直接写出此时的点 M 的坐标 第 8 页（共 32 页） 2015 年辽宁省本溪市中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题，共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1 2015 年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到 15 000 万吨左右，将 15 000 用科学记数法表示应为（ ） A 105 B 104 C 105 D 15 103 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】解： 15 000=104， 故选： B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学 记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所 得到的图形 【解答】解： A、此三棱柱的三视图分别为长方形，长方形，三角形，故 A 不符合题意； B、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故 B 不符合题意； C、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，故 C 不符合题意； D、球的三视图都是圆，故 D 符合题意； 故选： D 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键 第 9 页（共 32 页） 3下列运算正确的是（ ） A 32 a C（ 2= a2=考点】单 项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的加减法 【分析】根据多项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的合并计算判断即可 【解答】解： A、 32误； B、 ，错误； C、（ 2=确； D、 a2=误； 故选 C 【点评】此题考查多项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的合并，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解 【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转 180后能与原图重合，则只有选项 A 是中心对称图形 故选： A 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么这个 图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 5我市某中学举办了一次以 “我的中国梦 ”为主题的演讲比赛，最后确定 9 名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前 5 名，他还必须清楚这 9 名同学成绩的（ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 【考点】统计量的选择 第 10 页（共 32 页） 【分析】 9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 名的成绩是中位数 ，要判断是否进入前 5 名，故应知道自已的成绩和中位数 故选 C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 6如图，直线 a 与直线 b 平行，将三角板的直角顶点放在直线 a 上，若 1=40，则 2 等于（ ） A 40 B 50 C 60 D 140 【考点】平行线的性质 【分析】先根据两角互余的性质求出 3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解： 三角板的直角顶点放在直线 a 上， 1=40， 3=90 40=50 a b， 2= 3=50 故选 B 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等 第 11 页（共 32 页） 7某商品经过两次降价，每瓶零售价由 388 元降为 268 元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ） A 388（ 1+x） 2=268 B 388（ 1 x） 2=268 C 268（ 1 2x） =388 D 268（ 1+x） 2=388 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格 =降价前的价格（ 1降价的百分率），则第一次降价后的价格是 388（ 1 x），第二次后的价格是 388（ 1 x） 2，据此即可列方程求解 【解答】解：根据题意得： 388（ 1 x） 2=268， 故选 B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可 8如图将矩形 对角线 叠，使 C 落在 C处， 点 E，则下到结论不一定成立的是（ ） A C B 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定 【专题】压轴题 【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案 【解答】解： A、 C， C， C，所以正确 B、 确 D、 ， E 第 12 页（共 32 页） 故选 C 【点评】本题主要用排除法，证明 A， B， D 都正确，所以不正确的就是 C，排除法也是数学中一种常用的解题方法 9小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心 铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间 t 以及容器内水面的高度 h，并画出表示 h 与 t 的函数关系的大致图象如左下图所示小明选择的物体可能是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，可以确定问题的形状 【解答】解：由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降， 由开始和结尾可知 A、 C 错误， 由中间不变可知， D 错误， 故选： B 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，读懂图象信息是解题的关键，要找出水面高度随时间的变化情况 第 13 页（共 32 页） 10如图所示是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（ 3， 0），对称轴为 x=1，给出四个结论： 40； 2a+b=0； a+b=0； 当 x= 1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，其中正确结论是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】首先根据二次函数 y=bx+c 图象与 x 轴有两个交点，可得 0，所以 40；然后根据图象过 A 点（ 3， 0），对称轴为 x=1，可得图象与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0），所以当x= 1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0；最后根据图象过 A 点（ 3， 0），（ 1， 0），可得 9a+3b+c=0，a b+c=0，据此判断出 2a+b=0 即可 【解答】解： 二次函数 y=bx+c 图象与 x 轴有两个交点， 0， 40， 正确； 图象过 A 点（ 3， 0），对称轴为 x=1， 图象与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）， 当 x= 1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0， 正确； 图象过 A 点（ 3， 0），（ 1， 0）， 9a+3b+c=0， a b+c=0， 整理，可得 2a+b=0， 正确， 不正确 综上，可得 正确结论是： 故选 ： D 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线 第 14 页（共 32 页） 向下开口； 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异） 常数项c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（ 0， c） 二、填空题，共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 11函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x 1 且 x 2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， x 1 0 且 2x 4 0， 解得 x 1 且 x 2 故答案为： x 1 且 x 2 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 12分解因式： ay+a= a（ y+1） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提取公因式 a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可 【解答】解： ay+a =a（ y+1） =a（ y+1） 2 故答案为： a（ y+1） 2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键 13计算： 22 2| |+（ ） 0= 2 22 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 第 15 页（共 32 页） 【分析】原式第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式 = 22 2 +2 +1=2 22 故答案为： 2 22 【点评】此题考查 了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复下表是由试验得到的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 摸到白球的次数 58 118 189 237 302 359 摸到白球的频率 这个袋中随机摸出一个 球，是白球的概率约为 （结果精确到 【考点】利用频率估计概率 【分析】用所有频率的平均数即可表示时间发生的概率 【解答】解：是白球的概率为： = 故答案为： 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率 15如图， O 是正方形 外接圆，点 E 是 上任意一点，则 度数为 45 【考点】圆周角定理；正方形的性质 【分析】首先连接 O 是正方形 外接圆，即可求得 度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得 度数 第 16 页（共 32 页） 【解答】解：连接 O 是正方形 外接圆， 0， 5 故答案是： 45 【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接多边形的知识此题难度不大，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用 16如图，点 C 为线段 一点，将线段 点 C 旋转，得到线段 ，则 长为 【考点】旋转的性质 【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明 B（设为 ）；运用勾股定理求 出 长度；再次运用勾股定理列出关于 的方程，求出 即可解决问题 【解答】解：如图，由题意得 B（设为 ）； 由勾股定理得： ， ， ， ；由勾股定理得： 2=12+（ 4 ） 2， 解得： 故答案为 第 17 页（共 32 页） 【点评】该题 主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键 17如图，双曲线 （ x 0）经过四边形 顶点 A、 C， 0， 分 x 轴将 折后得 ， B点落在 ，则四边形 2 【考点】反比例函数综合题；翻折变换（折叠问 题） 【专题】计算题；压轴题 【分析】延长 x 轴于点 D，设点 C（ x， y）， AB=a，由角平分线的性质得， B，则 再由翻折的性质得， C，根据反比例函数的性质，可得出 S S x 轴，得点 A（ x a， 2y），由题意得 2y（ x a） =2，从而得出三角形 可得出答案 【解答】解：延长 x 轴于点 D， 设点 C（ x， y）， AB=a， 分 x 轴正半轴的夹角， B， 再由翻折的性质得， C， 双曲线 （ x 0）经过四边形 顶点 A、 C， S ， S ， 第 18 页（共 32 页） 由翻折变换的性质和角平分线上的点到 角的两边的距离相等可得 C= 点 A、 B 的纵坐标都是 2y， x 轴， 点 A（ x a， 2y）， 2y（ x a） =2， ， ， S ， S +S + + =2 故答案为： 2 【点评】本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，难度偏大 18如图，已知 0，点 射线 ，点 射线 ， 为等边三角形，分别连接 接 若 a，从左往右的阴影面积依次记作 n则 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【专题】规律型 第 19 页（共 32 页） 【分析】易证 0，从而可得 A1=a，同理可得 a，a， ，从而归纳得到 n 1a，即可得到 S 正 = 4n 2证 而可得 据相似三角形的性质可得 = = ，根据合比性质可得 = ，根据两个三角形高相等时面积比等于底的比可得 S 理可得 S ，由此就可求出 【解答】解： 等边三角形， 0 0， 0 30=30， A1=a 同理： a， a， n 1a， S 正 = （ 2n 1a） 2 = 22n 24n 14n 2 等边三角形， 0， = = ， = ， = ，即 S 同理可得 S = 4n 2 故答案为 第 20 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、合比性质、高相等时面积比等于底的比、等边三角形面积公式等知识，由特殊到一般，发现规律是解决本题的关键 三、简答题（第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19化简并求值：（ + ） ，其中 x， y 满足 |x 2|+（ 2x y 3） 2=0 【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】先做括号内的加法，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；再根据非负数的性质求得 x、 y 的值，代 入计算即可求解 【解答】解：（ + ） = = ， |x 2|+（ 2x y 3） 2=0， ， 解得 原式 = =1 【点评】本题综合考查了分式的化简求值与非负数的性质解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，根据非负数的性质求得 x、 y 的值 20 平面直角坐标系中的位置如图所示 （ 1）画出 于 y 轴对称的 第 21 页（共 32 页） （ 2）将 右平移 6 个单位，作出平移后的 写出 顶点的坐标； （ 3）观 察 们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴 【考点】作图 图 【专题】计算题；作图题 【分析】（ 1）根据轴对称图形的性质，找出 A、 B、 C 的对称点 出图形即可； （ 2）根据平移的性质， 右平移 6 个单位， A、 B、 C 三点的横坐标加 6，纵坐标不变； （ 3）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是 l： x=3； 【解答】解：（ 1）由图知， A（ 0， 4）， B（ 2， 2）， C（ 1， 1）， 点 A、 B、 C 关于 y 轴对称的对称点为 0， 4）、 2， 2）、 1， 1）， 连接 （ 2） 右平移 6 个单位， A、 B、 C 三点的横坐标加 6，纵坐标不变， 作出 6， 4）， 4， 2）， 5， 1）； （ 3） 轴对称图形，对称轴为图中直线 l： x=3 【点评】本题考查了轴对称图形的性质和作图平移变换 ，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形 第 22 页（共 32 页） 四、见简答题（第 21 小题 12 分，第 22 小题 12 分，共 24 分） 21随着科技的不断发展，人与人的沟通方式也发生了很大的变化，广州市某中学九年级的一个数学兴趣小组在本年级学生中进行 “学生最常用的交流方式 ”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为四类： A面对面交谈； B微信和 聊天软件交流； C短信与书信交流； D电话交流根据调查数据结果绘制成以下两幅不 完整的统计图（ 1）本次调查，一共调查了 20 名同学，其中 C 类女生有 2 名， D 类男生有 1 名； （ 2）若该年级有学生 150 名，请根据调查结果估计这些学生中以 “D电话交流 ”为最常用的交流方式的人数约为多少？ （ 3）在本次调查中以 “C短信与书信交流 ”为最常用交流方式的几位同学中随机抽取两名同学参加广州市中学生书信节比赛，请用列举法求所抽取的两名同学都是男同学的概率 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图 【分析】（ 1）由题意可求得本次调查，一共调查了：（ 4+6） 50%=20（名）；继而求得 C 类总人数，继而求得 C 类女生数，然后求得 D 类男生数； （ 2）由（ 1）中以 “D电话交流 ”为最常用的交流方式的占： 1 15% 25% 50%=10%，即可求得答案； （ 3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的两名同学都是男同学的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（ 1）本次调查，一共调查了：（ 4+6） 50%=20（名）； 其中 C 类共有： 20 25%=5（名）， C 类女生有： 5 3=2（名 ）； D 类男生共有 20 1 2 4 6 5 1=1（名）； 故答案为： 20， 2， 1； 第 23 页（共 32 页） （ 2） 以 “D电话交流 ”为最常用的交流方式的占： 1 15% 25% 50%=10%， 150 10%=15（名）， 估计这些学生中以 “D电话交流 ”为最常用的交流方式的人数约为 15 名； （ 3）画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，所抽取的两名同学都是男同学的有 6 种情况， 所抽取的两名同学都是男同学的概率为： = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 22如图，在笔直的海岸线 l 上有 A、 B 两个观测站， A 在 B 的正东方向， +1） 船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45方向 （ 1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （ 2）小船从点 P 处沿射线 方向航行一段时间后，到达点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西15的方向，求点 C 与点 B 之间的距离（友情提示：结果都保留根号） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（ 1）过点 P 作 点 D，设 PD=解 含 x 的代数式表示 解 含 x 的代数式表示 后根据 D=出关于 x 的方程，解方程即可； （ 2）过点 B 作 点 F，先解 出 解 出 F 【解答】解：（ 1）如图，过点 P 作 点 D设 PD= 第 24 页（共 32 页） 在 ， 0， 0 45=45， D= 在 ， 0， 0 60=30， D= x+ x= +1， x=1， 点 P 到海岸线 l 的距离为 1 （ 2）如图，过点 B 作 点 F 根据题意得： 05， 在 ， 0， 0， 在 ， C=180 5 在 ， 0， C=45， 点 C 与点 B 之间的距离为 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键 五、简答题（满分 12 分） 23如图，在 ， C， 点 D， E 为边 一点， D，以 直径作 O，交 点 F （ 1）求证： O 相切； 第 25 页（共 32 页） （ 2）若 ， ，求 长 【考点】切线的判定；勾股定理；平行线分线段成比例 【专题】计算题 【分析】（ 1）根据等腰三角形的性质，由 C， 到 D，则可判断 以 根据等腰三角形的性质，由 C， C 得到 是根据切线的性质可判断 O 相切； （ 2）连结 图，根据圆周角定理得 0，在 利用勾股定理计算出 ，再在 利用勾股定理计算出 ，然后根据平行线分线段成比例定理可求出 长 【解答】（ 1）证明： C， D， C， 中位线， C， C， O 相切； （ 2）连结 如图， O 的直径， 0， 在 ， C=3， ， =2 ， C=3， D 1=2， 在 ， ， ， 第 26 页（共 32 页） =2 ， = ，即 = ， 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点 （即为半径），再证垂直即可也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理 六、简答题（满分 12 分半） 24某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（ 7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销售，直到 11周结束，该童装不再销售 （ 1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系； （ 2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次 x 之间的关系为 z= （ x 8） 2+12， 1 x 11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（ 1）本题考查的是分段函数的有关知识； （ 2）设利润为 w，则根据题意得 y z=w已知 y， z 的函数关系式，易求解 【解答】解：（ 1） y= ； （ 2）设利润为 W，则 第 27 页（共 32 页） W= W= 4，对称轴是直线 x=0，当 x 0 时， W 随 x 的增大而增大， 当 x=5 时， W 最大 = +14=） W= （ x 8） 2+18，对称轴是直线 x=8，当 x 8 时， W 随 x 的增大而增大， 当 x=11 时， W 最大 = 9+18=19 =） 综上可知：在第 11 周进货并售出后，所获利 润最大且为每件 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用利用配方法求出最大值 七、简答题（满分 12 分） 25如图所示，已知正 射线 F，射线 B 顺时针旋转，旋转后的射线记作a，同时线段 在直线绕 A 顺时针旋转，旋转后的直线记作直线 l，当直线 l 旋转的角度是射线 倍时，直线 l 于射线 交于 E，与射线 a 相交于 D，且 D=30 （ 1）求射线 a 的旋转角是多少度； （ 2）求证： B； （ 3）探索：线段 数量关系 【考点】几何变换综合题 【分析】（ 1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，直线 a， l 的旋转角的关系建立方程 4=30+即可； （ 2）由 D=30，判断出点 B， C， D， E 四点共圆，再判断出 可； （ 3）判断出 代换即可 第 28 页（共 32 页） 【解答】解：（ 1）设直线 l 旋转角为 ， 射线 l 旋转的角度是射线 a 旋转角度的 4 倍， ， D， 4=+30， =10， 射线 a 的旋转角是 10； （ 2）连接 在正 ， 0， D=30， D=30， 点 B， C， D， E 四点共圆（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆） F， B， 0， 0， 00， 0， 0 C， 第