贵州省贵阳市2016年高考数学二模试卷（文科）含答案解析

贵州省贵阳市 2016 年高考数学二模试卷（文科） （解析版） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|x 3， B=x|0，则 AB=（ ） A x|1 x 3B x|1x 3C x|x 3D x|x1 【分析】 由对数的运算性质及对数函数的单调性求出集合 B 中 x 的范围，确定出集合 B，找出 A 与 B 的公共部分，即可求出两集合的交集 【解答】 解：由集合 B 中的 0=到 x 1， B=x|x 1，又 A=x|x 3， AB=x|1 x 3 故选 A 【点评】 此题考查了交集及其运算，对数的运算性质，以及对数函数的单调性，比较简单，是一道基本题型 2复数 z=（ 2 i） 2在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 利用复数的运算、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z=（ 2 i） 2=3 4i 在复平面内对应的点（ 3， 4）所在的象限是第四象限 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算、几何意义， 属于基础题 3二次函数 f（ x） =2x2+3（ bR）零点的个数是（ ） A 0B 1C 2D 4 【分析】 根据二次函数的判别式大于零，可得函数零点的个数 【解答】 解： 二次函数 f（ x） =2x2+3 的判别式 =4 0， 故二次函数 f（ x） =2x2+3 的零点个数为 2， 故选： C 【点评】 本题主要考查二次函数的性质，函数的零点的定义，属于基础题 4圆 x2+ 与直线 y= 没有公共点的充要条件是（ ） A B C D 【分析】 当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件 【解答】 解：依题圆 x2+ 与直线 y= 没有公共点故选 C 【点评】 本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组 ， 0 来解；是基础题 5 内角 A、 B、 C 对边分别为 a， b， c 且满足 = = ，则 =（ ） A B C D 【分析】 直接利用正弦定理化简求解即可 【解答】 解： 内角 A、 B、 C 对边分别为 a， b， c，令 = = =t， 可得 a=6t， b=4t， c=3t 由正弦定理可知： = = = 故选： A 【点评】 本题考查正弦定理的应用，考查计算能力 6如图，给出的是计算 1+ + + + 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 101？ B i 101？ C i101？ D i101？ 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S 的值 【解答】 解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第 1 次循环： S=0+1， i=1， 第 2 次循环： S=1+ ， i=3， 第 3 次循环： S=1+ + ， i=5， 依此类推，第 51 次循环： S=1+ + + ， i=101，退出循环 其中判断框内应填入的条件是： i101， 故选： C 【点评】 本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目 7若函数 y=图象上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 k 的最大值为（ ） A B 2C D 1 【分析】 画出约束条件的可行域，利用函数的几何意义，求解最值即可 【解答】 解：约束条件 的可行域如图阴影部分： 函数 y=， k 的几何意义是经过坐标原点的直线的斜率， 由题意可知：直线经过可行域的 A 时， k 取得最大值， 由 解得 A（ 1， 2） K 的最大值为： 2 故选： B 【点评】 本题考查线性规划的简单应用，直线的斜率的最值，考查计算能力 8过点 M（ 2， 0）作圆 x2+ 的两条切线 A， B 为切点），则 =（ ） A B C D 【分析】 根据直角三角形中的边角关系，求得 值以及 值，再利用 两个向量的数量积的定义求得 的值 【解答】 解：由圆的切线性质可得， 直角三角形 ，由 = ，可得 ， B= = = ， = ， 故选 D 【点评】 本题主要考查直角三角形中的边角关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题 9将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） A B C D 【分析】 根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果 【解答】 解：被截去的四棱锥的三条可见棱中， 在两条为长方体的两条对角线， 它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合， 另一条为体对角线， 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合， 对照各图，只有 D 符合 故选 D 【点评】 本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法， 本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错 10函数 f（ x） =x+ ）（ A 0， 0）的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 g（ x） =图象，只需将 f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【分析】 由题意可得可得函数的周期为 ，即 =，求得 =2，可得 f（ x） =2x+ ）再根据函数 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，可得函数的周期为 ， 即： =， =2， f（ x） =2x+ ） 再由函数 g（ x） =2x+ ） =（ x+ ） + ， 故把 f（ x） =2x+ ） 的图象向左平移 个单位，可得函数 g（ x） =（ x+ ） + 的图象， 故选： A 【点评】 本题主要考查等差数列的定义和性质，函数 y=x+）的图象变换规律，属于中档 题 11过点（ 1， 0）作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则其中一条切线为（ ） A 2x+y+2=0B 3x y+3=0C x+y+1=0D x y+1=0 【分析】 这类题首先判断某点是否在曲线上，（ 1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（ 2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程此题属于第二种 【解答】 解： y=2x+1，设切点坐标为（ 则切线的斜率为 2， 且 y0= 于是切线方程为 y 1=（ 2）（ x 因为点（ 1， 0）在切线上， 可解得 或 2，当 时， ； 2 时， ，这时可以得到两条直线方程，验正 D 正确 故选 D 【点评】 函数 y=f（ x）在 x=是曲线 y=f（ x）在点 P（ 的切线的斜率，过点 P 的切线方程为： y y0=f（ x 12抛物线 p 0）的焦点为 F，已知点 A， B 为抛物线上的两个动点，且满足 0过弦 中点 M 作抛物线准线的垂线 足为 N，则 的最大值为（ ） A B C 1D 【分析】 设 |a， |b，由抛物线定义， 2|a+b再由勾股定理可得 |=a2+而根据基本不等式，求得 |范围，即可得到答案 【解答】 解：设 |a， |b， 由抛物线定义，得 | |在梯形 ， 2|a+b 由勾股定理得， |=a2+方得， |=（ a+b） 2 2 又 ， （ a+b） 2 2 a+b） 2 2 ， 得到 | （ a+b） = ，即 的最大值为 故选 A 【点评】 本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用，考查基本不等式，考查了计算能力、分析问题和解决问题的能力 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 4）的值是 4 【分析】 直接利用分段函数求解函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ f（ 4） =f（ 16） = 故答案为： 4 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力 14向量 ， 满足 | |=1， | |= ，（ + ） （ 2 ），则向量 与 的夹角为 90 【分析】 由向量垂直的 条件可得（ + ）（ 2 ） =0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量 与 的夹角 【解答】 解：因为 | |=1， | |= ，（ + ） （ 2 ）， 所以（ + ）（ 2 ） =2 + =0， 则 2+ 2=0，即 =0， 所以 ，则向量 与 的夹角为 90， 故答案为： 90 【点评】 本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题 15若函数 f（ x） =，且 f（ 3） =5，则 f（ +3） = 3 【分析】 利用诱导公式可求得 f（ +3） =f（ 3），再 由 f（ 3） +f（ 3） =2 即可求得 f（ +3） 【解答】 解： f（ +3） =+3） +3） +1 =+=f（ 3）， 又 f（ 3） =5， f（ 3） +f（ 3） =2， f（ 3） =2 f（ 3） =2 5= 3 即 f（ +3） = 3 故答案为： 3 【点评】 本题考查诱导公式，考查奇函数的性质，考查整体代入的能力，属于中档题 16已知正三棱锥 P P， A， B， C 都在半径为 的球面上，若 两垂直，则球心到截面 距离为 【分析】 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 【解答】 解： 正三棱锥 P 两垂直， 此正三棱锥的外接球即以 三边的正方体的外接圆 O， 圆 O 的半径为 ， 正方体的边长为 2，即 B= 球心到截面 距离即正方体中心到截面 距离 设 h，则正三棱锥 P = S h= S C= 222= 边长为 2 的正三角形， S h= = 正方体中心 O 到截面 距离为 = 故答案为 【点评】 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题 三、解答题 :解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知数列 足 2=+nN*），且 a3+0， a2+4 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，数列 前 n 项和 证： 【分析】 （ ）由 2=+nN*），得数列 等差数列，设等差数列 首项为 差为 d，解出首项和公差，从而写出通项公式和求和公式； （ ）根据 通项，化简 拆成两项的差，注意前面乘一个系数，然后运用裂项相消求和，应注意消去哪些项，保留哪些项，可以多写几项，找出规律 【解答】 解：（ ）由 2=+nN*），得数列 等差数列， 设等差数列 首项为 差为 d， a3+0， a2+4 ， d=2， +（ n 1） 2=2n， （ ） = = （ ）， （ 1 + + ） = （ 1 ）， 当 nN+， （ 1 ） 【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列求和的重要方法：裂项相消求和，应注意求和时哪些项消去，哪些项保留 18某校高三（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （ ）求全班人数； （ ）求分数在 80， 90）之间的人数；并计算频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高； （ ）若要从分数在 80， 100之 间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 【分析】 （ 1）根据条件所给的茎叶图看出分数在 50， 60）之间的频数，由频率分布直方图看出分数在 50， 60）之间的频率，根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量 （ 2）算出分数在 80， 90）之间的人数，算出分数在 80， 90）之间的频率，根据小矩形的面积是这一段数据的频率，做出矩形的高 （ 3）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型 公式得到结果 【解答】 解：（ ）由茎叶图知：分数在 50， 60）之间的频数为 2 由频率分布直方图知：分数在 50， 60）之间的频率为 0= 全班人数为 人 （ ） 分数在 80， 90）之间的人数为 25 2 7 10 2=4 人 分数在 80， 90）之间的频率为 频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高为 （ ）将 80， 90）之间的 4 个分数编号为 1， 2， 3， 4； 90， 100之间的 2 个分数编号为 5， 6 则在 80， 100之间的试卷中任取两份的基本事件为：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4）， （ 1， 5），（ 1， 6），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 4），（ 3， 5）， （ 3， 6），（ 4， 5），（ 4， 6），（ 5， 6）共 15 个 至少有一个在 90， 100之间的基本事件有 9 个， 至少有一份分数在 90， 100之间的概率是 【点评】 这是一个统计综合题，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中 19已知如图， 在的平面互相垂直，且 C=， 20 （ ）在直线 求作一点 O，使 平面 出作法并说明理由； （ ）求三棱锥 A 体积 【分析】 （ I）作 ，连结 平面 用 D 而 平面 （ 面面垂直的性质得出 平面 是 【解答】 解：（ I）作 长线于 O，连结 平面 证明： B， B， 0，即 又 面 面 O=O， 平面 （ 平面 平面 面 面 C， 面 平面 棱锥 A 底面 的高 80 0， ， 又 S = ， = 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ， 别是椭圆 C 的左、右焦点，椭圆 C 的焦点 双曲线 渐近线的距离为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）直线 y=kx+m（ k 0）与椭圆 C 交于不同的 A， B 两点，以线段 直径的圆经过点 原点 O 到直线 距离为 ，求直线 方程 【分析】 （ ）根据椭圆的离心率以及点到渐近线的距离建立方程关系求出 a， b 即可求椭圆 C 的方程； （ ）设 A（ B（ 联立直线方程和椭圆方程，转 化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系以及设而不求的思想进行求解即可 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ， ， 双曲线 的一条渐近线方程为 x y=0， 椭圆 C 的左焦点 c， 0）， 椭圆 C 的焦点 双曲线 渐近线的距离为 d= = 得 c=1， 则 a= ， b=1， 则椭圆 C 的方程为 ； （ ）设 A， B 两点的坐标分别为 A（ B（ 由原点 O 到直线 距离为 ， 得 = ， 即 （ 1+ 将 y=kx+m（ k 0）代入 ；得（ 1+22=0， 则判别式 =164（ 1+2 22） =8（ 2） 0， x1+ ， ， 以线段 直径的圆经过点 =0， 即（ 1）（ 1） + 即（ 1）（ 1） +（ m）（ m） =0， 即（ 1+ 1）（ x1+=0， （ 1+（ 1）（ ） +=0， 化简得 31=0 由 得 11101=0，得 ， k 0， ，满足判别式 =8（ 2） 0， 方程为 y= x+1 【点评】 本题主要考查椭圆的方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，利用方程法以及转化法 ，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合设而不求的思想是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度 21已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）当 k=e 时，求函数 h（ x） =f（ x） g（ x）的单调区间和极值； （ 2）若 f（ x） g（ x）恒成立，求实数 k 的值 【分析】 （ 1）把 k=e 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值； （ 2）求出函数 h（ x）的导函数，当 k0 时，由函 数的单调性结合 h（ 1） =0，可知 h（ x） 0不恒成立，当 k 0 时，由函数的单调性求出函数 h（ x）的最小值，由最小值大于等于 0 求得 k 的值 【解答】 解：（ 1）注意到函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， h（ x） =， 当 k=e 时， h（ x） =， h（ x） = = ， 若 0 x e，则 h（ x） 0；若 x e，则 h（ x） 0 h（ x）是（ 0， e）上的减函数，是（ e， +）上的增函数， 故 h（ x） h（ e） =2 e， 故函数 h（ x）的减区间为（ 0， e），增区间为（ e， +），极小值为 2 e，无极大值 （ 2）由（ 1）知， h（ x） = = ， 当 k0 时， h（ x） 0 对 x 0 恒成立， h（ x）是（ 0， +）上的增函数， 注意到 h（ 1） =0， 0 x 1 时， h（ x） 0 不合题意 当 k 0 时，若 0 x k， h（ x） 0； 若 x k， h（ x） 0 h（ x）是（ 0， k）上的减函数，是（ k， +）上的增函数， 故只需 h（ x） h（ k） =k+10 令 u（ x） =x+1（ x 0）， u（ x） = 1= 当 0 x 1 时 ， u（ x） 0； 当 x 1 时， u（ x） 0 u（ x）是（ 0， 1）上的增函数，是（ 1， +）上的减函数 故 u（ x） u（ 1） =0 当且仅当 x=1 时等号成立 当且仅当 k=1 时， h（ x） 0 成立， 即 k=1 为所求 【点评】 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是有一定难度题目 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图所示，已知 交于 A、 B 两点，过点 A 作 ，过点 B 作两圆的割线，分别交 点 D、 E， 交于点 P （ ）求证： （ ）若 切线，且 ， ， ，求 长 【分析】 （ I）连接 据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到 D，又根据同弧所对的圆周角相等得到 E，等量代换得到 D= E，根据内错角相等得到两直线平行即可； （ 据切割线定理得到 出 长，然后再根据相交弦定理得出 根据切割线定理得 B（ E），代入求出即可 【解答】 解：（ I）证明：连接 切线， D， 又 E， D= E， （ 割线， 62=） ， 在 由相交弦定理，得 ， 割线， 16， 2 【点评】 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题本题的突破点是辅助线的连接 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 贵阳二模）在平面直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 ，（ t 为参数），在以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ， A， B 两点的极坐标分别为 （ 1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）点 P 是圆 C 上任一点，求 积的最小值 【分析】 （ 1）由圆 C 的参数方程消去 t 得到圆 C 的普通方程，由直线 l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据 x=y= （ 2）将 A 与 B 的极坐标化为直角坐标，并求出 |长，根据 P 在圆 C 上，设出 P 坐标