辽宁省丹东市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

辽宁省丹东市 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 M=x|2x+1 0， N=x|x+2 则 MN=（ ） A x| x 2 B x| x 1 C x| x 1 D x| x 2 2若复数（ 1 i）（ 2+纯虚数，则实数 b=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 3北宋 欧阳修在卖油翁中写道： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿因曰： 我亦无他，唯手熟尔 ”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的若铜钱是半径为 1圆，中间有边长为 正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ） A B C D 4已知 ，则 =（ ） A 1 B 2 C 4 D 3 5设 f（ x） = ，则 ff（ 4） =（ ） A 4 B 1 C 1 D 2 6把 “正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n”记为 N n（ 例如 8 2（ 执行如图的该程序框图后，输出的 i 值为（ ） A 14 B 17 C 22 D 23 7已知定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A x R， f（ x） f（ x） B x R， f（ x） f（ x） C R， f（ f（ D R， f（ f（ 8已知 ， 表示两个不同平面， a， b 表示两条不同直线，对于下列两个命题： 若 b， a，则 “a b”是 “a ”的充分不必要条件 若 a， b，则 “ ”是 “ 且 b ”的充要条件 判断正确的是（ ） A ， 是真命题 B 是真命题， 是假命题 C 是假命题， 是真命题 D ， 都是假命题 9如图，半径为 2 的 切直线 点 P，射线 发绕点 P 逆时针方向旋转到 转过程中， 于点 Q，设 x，弓形 面积为 S=f（ x），那么 f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 10已知点 A 是抛物线 C： p 0）与圆 D： y 4） 2=第一象限内的公共点，且 A 到 C 的焦点 F 距离是 a若 C 上一点 P 到其准线距离与圆心 D 距离之和的最小值是 2a，则 a=（ ） A 2 B C D 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球 O 表面上，则球 O 的表面积是（ ） A 36 B 48 C 56 D 64 12若 f（ x）是定义在 R 上的单调递减函数，且 +x 1，则下列结论正确的是（ ） A f（ x） 0 B当且仅当 x 1 时， f（ x） 0 C f（ x） 0 D当且仅当 x 1 时， f（ x） 0 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 （ 3） 值是 14已知向量 ， ， 满足 | |=| |=| | 0， + = ，则向量 与向量 的夹角是 15（ x+y） 5 的展开式中 的系数等于 （用数字作答） 16若 上的高 C，则 + 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17设数列 前 n 项和为 知 32 （ ）求 通项公式 （ ）求证 ： 2 =4 3n 18为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过100km/0人，不超过 100km/5人在 45名女性驾驶员中，平均车速超过 100km/0 人，不超过 100km/h 的有 25 人 （ ）完成下面的列联表，并判断是否有 把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 平均车速超过 100km/h 人数 平均车速不超过 100km/h 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （ ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列和数学期望 参考公式与数据： 2= ，其中 n=a+b+c+d P（ 2 9直三棱柱 所有棱长都相等，点 F 是棱 点，点 E 在棱 ，且 （ ）求证： （ ）求二面角 F 余弦值 20椭圆 C： + =1（ a 0， b 0）的离心率为 ， F 为 C 的右焦点， A（ 0， 2），直线 斜率为 （ ）求 C 的方程； （ ）设 E（ C 上一点，从坐标原点 O 向圆 E：（ x 2+（ y 2=3 作两条切线，分别与 C 交于 P， Q 两点，直线 斜率分别是 证： （ i） ； （ |+| 是定值 21过点 P（ 1， 0）作曲线 y=切线 l （ ）求 l 的方程； （ ）若 A（ ）， B（ ）是直线 l 上的两个不同点，求证： x1+ 4 四 2、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， D 为 的中点， E 为 中点 （ ）求证： （ ）求证： 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 丹东二模）在平面直角坐标系 ，将曲线 x2+ 上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的 2 倍后，得到曲线 以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程是 （ 2=6 （ ）写出曲 线 参数方程和直线 l 的直角坐标方程； （ ）在曲线 求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离 d 最大，并求出此最大值 选修 4等式选讲 24 =|x 1|+|x+1| （ ）解不等式 f（ x） 4； （ ）当 f（ x） 4 时， |x+3|+|x+a| x+6，求实数 a 的取值范围 2016 年辽宁省丹东市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 M=x|2x+1 0， N=x|x+2 则 MN=（ ） A x| x 2 B x| x 1 C x| x 1 D x| x 2 【分析】 先化简集合 M、 N，再求 MN 【解答】 解：集合 M=x|2x+1 0=x|x ， N=x|x+2 x| 1 x 2， MN=x| x 2 故选： D 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 2若复数（ 1 i）（ 2+纯虚数，则实数 b=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 b 值 【解答】 解： （ 1 i）（ 2+=（ b+2） +（ b 2） i 是纯虚数， ，解 得： b= 2 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3北宋 欧阳修在卖油翁中写道： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿因曰： 我亦无他，唯手熟尔 ”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的若铜钱是半径为 1圆，中间有边长为 正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ） A B C D 【分析】 分别计算圆和正方形的面积，由几何概型概率公式可得 【解答】 解：由题意可得半径为 1圆的面积为 12=， 而边长为 正方形面积为 故所求概率 P= = ， 故选： B 【点评】 本题考查几何概型，涉及圆 与正方形面积的计算，属基础题 4已知 ，则 =（ ） A 1 B 2 C 4 D 3 【分析】 已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，求出 值，原式利用同角三角函数的基本关系化简，通分后再利用同角三角函数间的基本关系化简，将 值代入计算即可求出值 【解答】 解： ， 即 ， = + = =3 故选 D 【点评】 此题考查了二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键 5设 f（ x） = ，则 ff（ 4） =（ ） A 4 B 1 C 1 D 2 【分析】 利用分段函数的解析式，逐步求解函数值即可 【解答】 解： f（ x） = ，则 f（ 4） =2+ =2 2=0， ff（ 4） =f（ 0） =0 2= 2 故选： D 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力 6把 “正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n”记为 N n（ 例如 8 2（ 执行如图的该程序框图后，输出的 i 值为（ ） A 14 B 17 C 22 D 23 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： 被 3 除余 2， 被 5 除余 2， 即被 15 除余 2，最小两位数， 故输出的 i 为 17， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于 基础题 7已知定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A x R， f（ x） f（ x） B x R， f（ x） f（ x） C R， f（ f（ D R， f（ f（ 【分析】 根据定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，可得： x R， f（ x） =f（ x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案 【解答】 解： 定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数， x R， f（ x） =f（ x）为假命题； R， f（ f（ 真命题， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是函数的奇偶性的定义，全称命题的否定，难度中档 8已知 ， 表示两个不同平面， a， b 表示两条不同直线，对于下列两个命题： 若 b， a，则 “a b”是 “a ”的充分不必要条件 若 a， b，则 “ ”是 “ 且 b ”的充要条件 判断正确的是（ ） A ， 是真命题 B 是真命题， 是假命题 C 是假命题， 是真命题 D ， 都是假命题 【分析】 在 中，若 b， a，则 “a b”“a ”，反之， “a ”推不出 “a b”；在 中，“ ”是 “ 且 b ”的充分不必要条件 【解答】 解：由 ， 表示两个不同平面， a， b 表示两条不同直线，知： 若 b， a，则 “a b”“a ”， 反之， “a ”推不出 “a b”， “a b”是 “a ”的充分不必要条件，故 是真命题 若 a， b，则 “ ”“ 且 b ”， 反之， “ 且 b ”，推不出 “ ”， “ ”是 “ 且 b ”的充分不必要条件，故 是假命题 故选： B 【点评】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认 真审题，注意空间思维能力的培养 9如图，半径为 2 的 切直线 点 P，射线 发绕点 P 逆时针方向旋转到 转过程中， 于点 Q，设 x，弓形 面积为 S=f（ x），那么 f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】 由已知中半径为 2 的 切直线 点 P，射线 发绕点 P 逆时针方向旋转到 转过程中， 于点 Q，设 x，弓形 面积为 S=f（ x），我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案 【解答】 解：由已知中径为 2 的 切直线 点 P， 射线 发绕点 P 逆时针方向旋转到 旋转过程中，弓形 面积 f（ x） = （ 2） 2 2） 2=2x 2 f（ x） =2 20 恒成立，故 f（ x）为增函数，四个图象均满足 又 在 x 0， 时， f（ x） =20，故函数为凹函数， 在 x ， 2时， f（ x） =20，故函数为凸函数， 此时 D 图象满足要求 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键 10已 知点 A 是抛物线 C： p 0）与圆 D： y 4） 2=第一象限内的公共点，且 A 到 C 的焦点 F 距离是 a若 C 上一点 P 到其准线距离与圆心 D 距离之和的最小值是 2a，则 a=（ ） A 2 B C D 【分析】 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得 A， D， F 三点共线时取得最小值，且有 A 为 中点，设出 A， D， F 的坐标，代入 抛物线的方程可得 p，由抛物线的定义可得 a 【解答】 解：圆 D： y 4） 2=圆心 D（ 0， 4），半径为 a， |2a， 由抛物线 M 上一动点到其准线与到点 D 的距离之和的最小值为 2a， 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点 D 的距离之和的最小值为 2a， 可得 A， D， F 三点共线时取得最小值，且有 A 为 中点， 由 D（ 0， 4）， F（ ， 0），可得 A（ ， 2）， 代入抛物线的方程可得， 4=2p ， 解得 p=2 ， 即有 a= + = + = 故选： C 【点评】 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用抛物线的定义和 三点共线和最小，考查运算能力，属于中档题 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球 O 表面上，则球 O 的表面积是（ ） A 36 B 48 C 56 D 64 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 4 的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心 O 到平面 距离 d、边 值，在 ，由余弦定理求出 ，求出 正弦定理求 出 外接圆的半径 r，由勾股定理求出球 O 的半径，由球的表面积公式求解 【解答】 解：根据三视图知几何体是： 三棱锥 D 棱长为 4 的正方体一部分，直观图如图所示： 该多面体的所有顶点都在球 O， 由正方体的性质得，球心 O 到平面 距离 d=2， 由正方体的性质可得， D= = ， ， 设 外接圆的半径为 r， 在 ，由余弦定理得， = = ， 5，则 ， 由正弦定理可得， 2r= = =2 ，则 r= ， 即球 O 的半径 R= = ， 球 O 的表面积 S=46， 故选： C 【点评】 本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 12若 f（ x）是定义在 R 上的单调递减函数，且 +x 1，则下列结论正确的是（ ） A f（ x） 0 B当且仅当 x 1 时， f（ x） 0 C f（ x） 0 D当且仅当 x 1 时， f（ x） 0 【分析】 由题意可先根据 f（ x）是定义在 R 上的单调递减函数得得出其导数值恒为负，再将不等式 +x 1 两边同乘以 f（ x）得， f（ x） + x） f（ x），将其整理为 f（ x）+ x） f（ x） 0，观察知， g（ x） =x） f（ x）导数即 f（ x） + x） f（ x），从而得出 g（ x）的单调性，判断出它的函数值的符号，从而得出 f（ x）的符号，即可得出正确选项 【解答】 解：由题意， f（ x）是定义在 R 上的单调递减函数，可得 f（ x） 0 将不等式 +x 1 两边同乘以 f（ x）得， f（ x） + x） f（ x） 即 f（ x） + x） f（ x） 0 可令 g（ x） =x） f（ x） =（ x 1） f（ x），则 g（ x） =f（ x） + x） f（ x） 0 g（ x）是一个增函数，又 g（ 1） =1 f（ 1） f（ 1） =0， 当 x 1 时， g（ x） 0， x 1 0 x 1 时， f（ x） 0，又 f（ x）是定义在 R 上的单调递减函数， f（ x）是定义在 R 上恒为正，即 f（ x） 0 故选 C 【点评】 本题考查导数的综合运用，导数与单调性的关系，导数的运算，以及数的乘积的符号的判断规则，本题要构造一个新函数，以新函数的性质判定 f（ x）的性质，本题综合性较强，构造新函数是个难点 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 （ 3） 值是 【分析】 求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作差得答案 【解答】 解： （ 3） 故答案为： 【点评】 本题考查定积分，关键是求出被积函数 的原函数，是基础题 14已知向量 ， ， 满足 | |=| |=| | 0， + = ，则向量 与向量 的夹角是 【分析】 可设 ，而由 便可得到 ，从而两边平方，进行向量数量积的运算，并整理便可求出 的值，根据向量夹角的范围便可求出向量 与向量 的夹角 【解答】 解：设 ，则 ； 由 得： ，两边平方得： ； ； 整理得， ； ； ； 即向量 夹角为 故答案为： 【点评】 考查向量长度的概念，向量夹角的概念及其范围，以及向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数求角 15（ x+y） 5 的展开式中 的系数等于 10 5 的展开式的通项公式：= ，令 5 r=2，解得 r=3再利用（ x） 3 的展开式的通项公式即可得出 【解答】 解：（ x+y） 5 的展开式的通项公式： = ， 令 5 r=2，解得 r=3 （ x） 3 的展开式的通项公式 = =（ 1） k k，令 6 k=3，解得 k=3 （ x+y） 5 的展开式中 的系数 = = 10 故答案为： 10 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16若 上的高 C，则 + 的取值范围是 【分析】 设 AC=b， AB=c， BC=a，则 = ，利用三角形的两个面积公式和等面积法列出方程表示出 余弦定理表示出 简后求出 的表达式，利用辅助角公式化简，利用正弦函数的最大值求出 的最大值，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出 的取值范围 【解答】 解：设 AC=b， AB=c， BC=a，则 = ， 上的高，且 AD=a， 面积 S= ，则 ， 由余弦定理得， = （ ） ， =2（ +=A+）， 其中 ， ， 当 A+） =1 时， 取到最大值是 ， 又 =2（当且仅当 b=c 时取 等号）， 的最小值是 2， 综上可得， 的取值范围是 ， 即 的取值范围是 ， 故答案为： 【点评】 本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和的正弦函数公式，以及基本不等式的应用， 考查了正弦函数的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17设数列 前 n 项和为 知 32 （ ）求 通项公式 （ ）求证： 2 =4 3n 【分析】 （ ） 32，推出 等比数列求出 比，即可求解 通项公式 （ ）由（ ）取得 ， ， ，即可推出结果 【解答】 解：（ ）因为 32，所以 3 2=2，所以 3 32（ 0 因为 Sn=，所以 ，因此 等比数列 当 n=1 时， 32，因为 S1=以 所以 通项公式 （ 6 分） （ ）由（ ）可得 ， ， ， 所以 ， 即 （ 12 分） 【点评】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力 18为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过100km/0人，不超过 100km/5人在 45名女性驾驶员中，平均车速超过 100km/0 人，不超过 100km/h 的有 25 人 （ ）完成下面的列联表，并判断是否有 把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 平均车速超过 100km/h 人数 平均车速不超过 100km/h 人数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计 60 40 100 （ ）以上述数据 样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列和数学期望 参考公式与数据： 2= ，其中 n=a+b+c+d P（ 2 分析】 （ ）完成下面的列联 表，并判断是否有 把握认为平均车速超过 100km/出 2，即可判断是否有 把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 （ ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆的概率， X 可取值是 0， 1， 2， 3， ，求出概率得到分布列，然后求解期望即可 【解答】 解： （ ） 平均车速超过100km/h 人数 平均车速不超过100km/h 人数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计 60 40 100 因为 ，所以有 把握认为平均车速超过 100km/h 与性别有关 （ 6 分） （ ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆的概率为 X 可取值是 0， 1， 2， 3，有： ， ， ， 分布列为 X 0 1 2 3 P （ 12 分） 【点评】 本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力 19直三棱柱 所有棱长都相等，点 F 是棱 点，点 E 在棱 ，且 （ ）求证： （ ）求二面角 F 余弦值 【分析】 （ ）方法 1：设 G 为 中点，以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 F 三棱柱 棱长为 2，求出 F 相关点 的坐标，设E=（ 1， 0， a），利用 出 a，即可证明 方法 2：连接 出 到 平面 过证明 明 C=2 （ ）求出平面 法向量，平面 一个法向量利用向量的数量积求解二面角 F 余弦值 【解答】 （ ）证明（方法 1）：设 G 为 中点，则 而 别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 F 设三棱柱 棱长为 2，则 F（ 0， 0， 0）， ， 1，0， 2）， ，设 E=（ 1， 0， a）， 因为 以 ， ，所以 （ 6 分） 证明（方法 2）：如图，连接 直棱柱的性质知，底面 侧面 F 为 以 所以 侧面 为 所以 平面 ， ，所以 以 ， C=2（ 6 分） （ ）解：设 G 为 中点，则 而 别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 F 设三棱柱 棱长为 2，则 F（ 0， 0， 0）， ， 1，0， 2）， ，设 E=（ 1， 0， a）， ， ，设平面 法向量为 =（ x， y，z），则 ，可得平面 一个法向量为 =（ 1， 0， 2），同理可得平面 一个法向量为： =（ ）， 经观察二面角 F 钝二面角，所以二面角 F 余弦值为 （ 12分） 【点评】 本题考查二面角的平面镜的求法，空间向量的应用，考查空间想象能力以及计算能力 20椭圆 C： + =1（ a 0， b 0）的离心率为 ， F 为 C 的右焦点， A（ 0， 2），直线 斜 率为 （ ）求 C 的方程； （ ）设 E（ C 上一点，从坐标原点 O 向圆 E：（ x 2+（ y 2=3 作两条切线，分别与 C 交于 P， Q 两点，直线 斜率分别是 证： （ i） ； （ |+| 是定值 【分析】 （ ）利用离心率以及斜率公式列出方程组，即可求解 C 的方程； （ ）（ i）设 E（ C 上一点，从坐标原点 O 向圆 E：（ x 2+（ y 2=3作两条切线，分别与 C 交于 P， Q 两点，直线 斜率分别是 出， ，整理 ，得到 ； （ P（ Q（ 利用韦达定理转化求解 |+| 化简求解为定值 【解答】 解：（ ）由已知离心率为 ， F 为 C 的右焦点（ c， 0）， A（ 0， 2）， 直线 斜率为 可得： ，解得 ， C 的方程是 （ 4 分） （ ）（ i）依题意有 ， ，整理 得， 所以 关于 x 方程 的两根， 所以 ，因为 ，所以 ， 因此 （ 8 分） （ P（ Q（ 则 ， ， ， 所以 ， ，从而， 因此 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查 转化思想以及计算能力 21过点 P（ 1， 0）作曲线 y=切线 l （ ）求 l 的方程； （ ）若 A（ ）， B（ ）是直线 l 上的两个不同点，求证： x1+ 4 【分析】 （ ）设出切点（ 求出曲线对应函数的导数，由导数的几何意义和两点的斜率公式，可得方程组，求得切点为（ 0， 1），求得切线的斜率为 1，即可得到所求切线的方程； （ ）方法一、将 A， B 代入切线的方程，可设 f（ x） =（ x+1） 出导数，不妨设 2， 2设 g（ x） =f（ x） f（ 4 x），求出 g（ x）的导数，求得单调区间，运用单调性即可得证 方法二、将 A， B 代入切线的方程，两式相加，化简整理，设 f（ t） =（ 1+t 2，则f（ t） =，设 g（ t） =，求出导数，运用分析法，求得 f（ t）的增区间，即可得证 【解答】 解：（ ） y=切点（ 则 ，解得 ， 因此切线的斜 率为 y|x=0=1，切点为（ 0， 1）， 则 l 的方程是 y=x+1； （ ）证明：（方法一）依题意有 ， 即有 ， 设 f（ x） =（ x+1） f（ =f（ f（ x） =（ x+2） x 2 时， f（ x） 0，当 x 2 时， f（ x） 0； 所以 f（ x）在（ ， 2）单调递减，在（ 2， +）单调递增 因为 妨设 2， 2 设 g（ x） =f（ x） f（ 4 x）， 则 g（ x） =f（ x） +f（ 4 x） =（ x+2） 1 e 2（ 2+x） ）， 当 x 2 时， g（ x） 0， g（ x）在在（ 2， +）单调递增， 则 g（ x） g（ 2） =0，当 x 2 时， f（ x） f（ 4 x） 因为 2，所以 f（ f（ 4 从而 f（ f（ 4 因为 4 2， f（ x）在（ ， 2）单调递减， 所以 4 x1+ 4 （方法二）依题意有 ， 两式分别相加 减得 可得 ，从而 因为 妨设 t=0，则 1， 不等式 x1+ 4 即 ，等价于（ 1+t 2 0， 设 f（ t） =（ 1+t 2，则 f（ t） =， 设 g（ t） =，则 g（ t） =0， 所以 f（ t）在（ 0， +）单调递增， f（ t） f（ 0） =0， f（ t）在（ 0， +）单调递增， f（ t） f（ 0） =0， 因此 x1+ 4 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用构