2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题 1已知全集 =1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1，则满足条件的集合 A 的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 3如图的程序框图，能判断任意输入的整数 x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（ ） A m=0 B x=0 C x=1 D m=1 4 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ） A B C D 5经过抛物线 y 的焦点和双曲线 =1 的右焦点的直线方程为（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 6函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） 第 2 页（共 19 页） A 2， B 2， C 4， D 4， 7数列 通项公式 an=其前 n 项和为 于（ ） A 2016 B 1008 C 504 D 0 8 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 0， +），则 P 的轨迹一定通过 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 9函数 y= 部分图象是（ ） A B CD 10设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 P 是 C 上的点， 0，则 C 的离心率为（ ） A B C D 11如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面 边长为 2 的正方形， P 是 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（ ） 第 3 页（共 19 页） A B +1 C D 12已知函数 f（ x） =3 f（ x）存在唯一的零点 实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B 0， +） C（ ， 0） D（ ， 0 二 13若 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围是 14已知过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 10，求直线 15二次函数 y= 在区间 3， 2上最大值为 4，则 a 等于 16定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）在 2， 0上为增，若满足 f（ 1 m） f（ m），则m 的取值范围是 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判断取得最大值 时 形状 18已知等差数列 公差不为零， 5，且 等比数列 （ ）求 通项公式； （ ）求 a1+a4+2 19如图，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求证： （ 2）求点 B 到面 距离 20如图，设 P 是圆 x2+5 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， M 为 一点，且| | （ ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程 （ ）求过点（ 3， 0）且斜率 的直线被 C 所截线段的长度 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的单调区间； 第 4 页（共 19 页） （ 2）求证： 时，若 x 1， +），则 f（ x） 0 四 下三题任选一题 22已知函数 f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）为偶函数 （ I）求函数的最小正周期及单调减区间； （ 函数的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 g（ x）的图象，求函数 g（ x）的对称中心 23已知 2； q： 2x+1 0，若 p 是 q 的充分非必要条件，求实数 m 的取值范围 24在直角坐标系 ，已知点 A（ 1， 1）， B（ 2， 3）， C（ 3， 2），点 P（ x， y）在 边围成的区域（含边界）上 （ ）若 + + = ，求 | |； （ ）设 =m +n （ m， n R），用 x， y 表示 m n，并求 m n 的最大值 第 5 页（共 19 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知全集 =1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1，则满足条件的集合 A 的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据交集的定义可知， 2A， 1 A，故 3 可在或不在集合 A 中，由子集个数公式可得 【解答】 解： 全集 I=1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1， 2A， 1 A，故 3 可在或不在集合 A 中， 满足条件的 A 集合的个数为 21=2 故选： C 2复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 复数的基本概念 【 分析】 根据复数的基本运算化简复数即可 【解答】 解： = ， 则复数 的虚部是 1， 故选： C 3如图的程序框图，能判断任意输入的整数 x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（ ） A m=0 B x=0 C x=1 D m=1 【考点】 设计程序框图解决实际问题；程序框图 第 6 页（共 19 页） 【分析】 本题考查 了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以 2 的余数是 1 还是 0，从而得到判断框条件 【解答】 解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以 2的余数是 1 还是 0 由图可知应该填 m=0 故选 A 4用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ） A B C D 【考点】 平面图形的直观图 【分析】 根据斜二测画法知，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 的线段变为原来的 ， 由此得出原来的图形是什么 【解答】 解：根据斜二测画法知， 平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 的线段变为原来的 ， OC=1， OA= ， C=1， OA=2 ； 由此得出原来的图形是 A 故选： A 5经过抛物线 y 的焦点和双曲线 =1 的右焦点的直线方程为（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得 抛物线的焦点为（ 0， 1），求出双曲线的 a， b， c，可得右焦点为（ 5， 0），运用直线方程的截距式，即可得到所求方程 【解答】 解：抛物线 y 的焦点为（ 0， 1）， 双曲线 =1 的 a= ， b=2 ， c= =5， 可得右焦点为（ 5， 0）， 由直线方程的截距式可得 +y=1， 即为 x+5y 5=0 第 7 页（共 19 页） 故选： D 6函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式； y=x+）中参数的物理意义 【分析】 通过图象求出函数的周期，再求出 ，由（ ， 2）确定 ，推出选项 【解答】 解：由图象可知： T= = ， T=， = =2； （ ， 2）在图象上， 所以 2 +=2k ， =2（ k Z） ， k=0， = 故选： A 7数列 通项公式 an=其前 n 项和为 于（ ） A 2016 B 1008 C 504 D 0 【考点】 数列的求和 【分析】 an=可得 1= =0， k N*， k（ 1） k即可得出 a2+ 【解答】 解： an= 1= =0， k N* k（ 1） k 第 8 页（共 19 页） 则 a2+2（ 2 1） +（ 4 3） + =1008， 故选： B 8 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动 点 P 满足， 0， +），则 P 的轨迹一定通过 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 +的方向与 角平分线一致，再由 可得到 =（ + ），可得答案 【解答】 解： 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量 + 的方向与 角平分线一致 又 ， =（ + ） 向量 的方向与 角平分线一致 一定通过 内心 故选 B 9函数 y= 部分图象是（ ） A B CD 第 9 页（共 19 页） 【考点】 函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象 【分析】 由函 数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别 【解答】 解：设 y=f（ x），则 f（ x） = f（ x）， f（ x）为奇函数； 又 时 f（ x） 0，此时图象应在 x 轴的下方 故应选 D 10设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 P 是 C 上的点， 0，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 |x，在直角三角形 ，依题意可求得 | |利用椭圆离心率的性质即可求得答案 【解答】 解：设 |x， 0， |2x， | x， 又 |2a， |2c 2a=3x， 2c= x， C 的离心率为： e= = 故选 A 11如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面 边长为 2 的正方形， P 是 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（ ） A B +1 C D 【考点】 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【分析】 画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出 Q 的最小值就是 长，求解即可 【解答】 解：侧面展开后得矩形 中 ， 问题转化为在 找一点 Q 使 Q 最短作 P 关于 对称点 E，连接 令 于点 Q，则得 Q 的最小值就是 第 10 页（共 19 页） 故选： D 12已知函数 f（ x） =3 f（ x）存在唯一的零点 实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B 0， +） C（ ， 0） D（ ， 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的加法与减法法则 【分析】 求导 f（ x） =36x（ x 2a）；从而分类讨论以确 定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可 【解答】 解： f（ x） =3 f（ x） =36x（ x 2a）； 当 a=0 时， f（ x） =3 R 上是增函数， 故 f（ x）存在唯一的零点； 当 a 0 时， f（ x） =3（ ， 2a）上是增函数，在（ 2a， 0）上是减函数，在（ 0，+）上是增函数； 而且 f（ 0） =0， f（ x）存在唯一的零点； 当 a 0 时， f（ x） =3（ ， 0）上是增函数，在（ 0， 2a）上是减函数，在（ 2a，+）上是增函数； 而且 f（ 0） =0，故只需使 f（ 2a） =8120，无解 综上所述， a 的取值范围为 ， 0， 故选： D 二 13若 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围是 （ ， 2 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 利用基本不等式构造出 2x2y，利用指数的运算性质，即可求得 x+y 的取值范围 【解答】 解： 2x 0， 2y 0， 2x+2y = ， 当且仅当 2x=2y，即 x=y 时取 “=”， 2x+2y=1， 1，即 =2 2， x+y 2， x+y 的取值范围是（ ， 2 故答案为：（ ， 2 第 11 页（共 19 页） 14已知过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 10，求直线 x 3y 6=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 当直线 l 的斜率不存在时，过点 M（ 3， 3）的直线 l 的方程为 x= 3，不合题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： y=k（ x+3） 3，求出圆 x2+y 21=0 的圆心、半径及圆心（ 0， 2）到直线 l： y=k（ x+3） 3 的距离，根据过点 M（ 3， 3）的直线l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 10，由勾股定理能求出直线 l 【解答】 解：当直线 l 的斜率不存在时，过点 M（ 3， 3）的直线 l 的方程为 x= 3， 联立 ，得 ，或 ， 直线 l： x= 3 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 4，不合题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： y=k（ x+3） 3， 圆 x2+y 21=0 的圆心（ 0， 2），半径 r= =5， 圆心（ 0， 2）到直线 l： y=k（ x+3） 3 的距离 d= = ， 过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得 的弦长为 10， 由勾股定理得： ，即 25= +25， 解得 k= ， 直线 l： y= （ x+3） 3，整理，得 x 3y 6=0 故答案为： x 3y 6=0 15二次函数 y= 在区间 3， 2上最大值为 4，则 a 等于 3 或 【考点】 二次函数在闭区间上的最值 【分析】 根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解 a 的值 【解答】 解：根据所给二次函数解析式可知，对称轴为 x= 1，且恒过定点（ 0， 1）， （ 1）当 a 0 时，函数在 3， 1上单调递增，在 1， 2上单调递减， 所以函数在 x= 1 处取得最大值，因为 f（ 1） = a+1=4，所以 a= 3 （ 2）当 a 0 时，函数在 3， 1上单调递减，在 1， 2上单调递增， 所以函数在 x=2 处取得最大值， 因为 f（ 2） =8a+1=4，所以 a= ， 故答案为 3 或 第 12 页（共 19 页） 16定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）在 2， 0上为增，若满足 f（ 1 m） f（ m），则m 的取值范围是 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m 的不等式组，再求出 m 的取值范围 【解答】 解：因为 f（ x）是定义在 2， 2上的偶函数， 所以不等式 f（ 1 m） f（ m）等价于： f（ |1 m|） f（ |m|）， 因为 f（ x）在 2， 0上为增函数， 所以 ，解得 1 m ， 即 m 的取值范围是 ， 故答案为： 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判断取得最大值时 形状 【考点】 正弦定理 【分析】 根据正弦定理可得 而利用三角函数恒等变换的应用可求C= ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： B= ， ， 在 ，根据 = = ，得 同理 C=2 =2 C） = ， 当 C= ，可得 C 的最大值为 ， 取最大值时，因而 等边三角形 18已知等差数列 公差不为零， 5，且 等比数列 （ ）求 通项公式； 第 13 页（共 19 页） （ ）求 a1+a4+2 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d 0，利用成等比数列的定义可得， ，再利用等差数列的通项公式可得 ，化为 d（ 25d） =0，解出d 即可得到通项公式 （ （ I）可得 2= 2（ 3n 2） +27= 6n+31，可知此数列是以 25 为首项， 6 为公差的等差数列利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+2 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d 0， 由题意 列， ， ，化为 d（ 25d） =0， d 0， 2 25+25d=0，解得 d= 2 5+（ n 1） （ 2） = 2n+27 （ （ I）可得 2= 2（ 3n 2） +27= 6n+31，可知此数列是以 25 为首项， 6 为公差的等差数列 Sn=a1+a4+2= = = 38n 19如图，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求证： （ 2）求点 B 到面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理证明 平面 可， （ 2）根据体积法建立方程关系进行求解 【解答】 （ 1）证明：在 ， 又 面 的两条相交直线， 平面 又 面 （ 2）在 ， ， 面 的两条相交直线， 面 第 14 页（共 19 页） 由（ 1）知， ， ， 设点 B 到面 距离为 h， 由 得， ， 解得 ， 点 B 到面 距离为 20如图，设 P 是圆 x2+5 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， M 为 一点，且| | （ ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程 （ ）求过点（ 3， 0）且斜率 的直线被 C 所截线段的长度 【考点】 轨迹方程；直线与圆相交的性质 【分析】 （ ）由题意 P 是圆 x2+5 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， M 为 一点，且 | |利用相关点法即可求轨迹； （ ）由题意写出直线方程与曲线 C 的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度 【解答】 解：（ ）设 M 的坐标为（ x， y） P 的坐标为（ 由已知得： P 在圆上， ，即 C 的方程为 （ ）过点（ 3， 0）且斜率为 的直线方程为： ， 设直线与 C 的交点为 A（ B（ 第 15 页（共 19 页） 将直线方程 即：， 线段 长度为 | = = 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的单调区间； （ 2）求证： 时，若 x 1， +），则 f（ x） 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）可求导数， f（ x） =2a（ x 1），进而求出 a= 时的导数，为判断导数符号需进一步求导，这样即可判断导数 f（ x）的符号，从而求出 f（ x）的单调区间； （ 2）可令 f（ x） =0，从而得到 a（ x 1），容易得出函数 x=1 处的切线为 y=x 1，根据上面可以得出 a= 时，可得出 f（ x） 0，而 a 时，数形结合即可得出 f（ x） 0，这样即证出结论 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2a（ x 1） 当 时， f（ x） = x 1） 令 g（ x） = x 1），则 x （ 0， 1）时 g（ x） 0； x （ 1， +）时 g（ x） 0 g（ x） g（ 1） =0，即 f（ x） 0（只在 x=1 处取等号） f（ x）的单减区间是（ 0， +）； （ 2） f（ x） =2a（ x 1） 令 f（ x） =0，则 a（ x 1）且函数 x=1 处的切线为 y=x 1 由（ 1）知， 时， f（ x）在 1， +）上单减且 f（ 1） =0 f（ x） 0，合题意 当 a 时，数形结合知， f（ x）在 1， +）上仍单减且 f（ 1） =0 f（ x） f（ 1） =0 综上：若 ，且 x 1， +），恒有 f（ x） 0 四 下三题任选一题 第 16 页（共 19 页） 22已知函数 f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）为偶函数 （ I）求函数的最小正周期及单调减区间； （ 函数的图象向右平移 个单 位（纵坐标不变），得到函数 g（ x）的图象，求函数 g（ x）的对称中心 【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性 【分析】 （ I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间； （ 题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） = x ） x ） x ） + = 2x 2） （ 21） = 2x 2） 2x 2） =2x 2 ） 函数 f（ x） 为偶函数，则 2 =k z 0 = f（ x） =2x ） = 函数的最小正周期 T= = 令 2x +2 +2kk Z 解得： +x + 函数 f（ x）的单调递减区间为 + +kk Z （ （ I）知 f（ x） = 题意知 g（ x） = （ x ） = 2x ） 令 2x =k Z），则 x= + （ k Z）， 函数的对称中