等差数列知识点+基础练习题

等差数列知识点等差数列知识点 1 等差数列的定义 d为常数 daa nn 1 2 n 2 2 等差数列通项公式 等差数列通项公式 首项 公差 d 末项 11 1 n aanddnad nN 1 a n a 推广 推广 从而 dmnaa mn mn aa d mn 3 3 等差中项 等差中项 1 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 即 或aAbAab 2 ba A baA 2 2 等差中项 数列是等差数列 n a 2 2 11 naaa nnn 21 2 nnn aaa 4 4 等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式 项和公式 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 2 AnBn 其中A B是常数 所以当d 0时 Sn是关于n的二次式且常数项为0 特别地 当项数为奇数特别地 当项数为奇数时 是项数为 2n 1 的等差数列的中间项21n 1n a 项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 121 211 21 21 2 n nn naa Sna 乘以中间项 5 5 等差数列的判定方法等差数列的判定方法 1 定义法 若或 常数 是等差数daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 列 2 等差中项 数列是等差数列 n a 2 2 11 naaa nnn 21 2 nnn aaa 数列是等差数列 其中是常数 n a bknan bk 4 数列是等差数列 其中A B是常数 n a 2 n SAnBn 6 6 等差数列的证明方法等差数列的证明方法 定义法 若或 常数 是等差数列 daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 7 7 提醒提醒 1 1 等差数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 及 n 1 adn n a n S 其中 称作为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其余 2 个 即 1 ad 知 3 求 2 2 2 设项技巧 设项技巧 一般可设通项一般可设通项 1 1 n aand 奇数个数成等差 可设为 公差为 2 2ad ad a ad ad d 偶数个数成等差 可设为 注意 公差为注意 公差为 2 2 3 3ad ad ad ad d 8 8 等差数列的性质 等差数列的性质 1 当公差时 0d 等差数列的通项公式是关于的一次函数 且斜 11 1 n aanddnad n 率为公差 d 前和是关于的二次函数且常数项n 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 为 0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差0d 0d 则为常数列 0d 3 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 注 12132nnn aaaaaa 4 若 为等差数列 则都为等差数列 n a n b 12nnn abab 5 若 是等差数列 则 也成等差数列 n a 232 nnnnn SSSSS 6 数列为等差数列 每隔 k k 项取出一项 仍为等差 n a N 23 mm kmkmk aaaa 数列 7 设数列是等差数列 d 为公差 是奇数项的和 是偶数项项的和 是 n a 奇 S 偶 S n S 前 n 项的和 1 当项数为偶数时 n2 121 13521 2 n nn n aa Saaaana 奇 22 24621 2 n nn n aa Saaaana 偶 11nnnn SSnanan aa 偶奇 11 nn nn Snaa Snaa 奇 偶 2 当项数为奇数时 则12 n 21 21 1 1 n SSSnaSnaS n SSaSnaSn n 1n 1奇偶奇 奇 n 1n 1奇偶偶 偶 其中是项数为 2n 1 的等差数列的中间项 an 1 8 的前和分别为 且 n bn n A n B n n A f n B 则 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 9 等差数列的前 n 项和 前 m 项和 则前 m n 项和 n a m Sn n Sm m n Smn 10 求的最值 n S 法一 因等差数列前项是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要nn 注意数列的特殊性 nN 法二 1 首正 的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和n 即当 由可得达到最大值最大值时的值 00 1 da 0 0 1n n a a n Sn 2 首负 的递增等差数列中 前项和的最小值是所有非正项之和 n 即 当 由可得达到最小值最小值时的值 00 1 da 0 0 1n n a a n Sn 或求中正负分界项 n a 法三 直接利用二次函数的对称性 由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数 故n取离二次函数对称轴最近的整数时 取最大值 或最小值 若S p S q则其对称 n S 轴为 2 pq n 注意 解决等差数列问题时 通常考虑两类方法 注意 解决等差数列问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条件转化为关于基本量法 即运用条件转化为关于和和的方程 的方程 1 ad 巧妙运用等差数列的性质 一般地运用性质可以化繁为简 减少运算量 巧妙运用等差数列的性质 一般地运用性质可以化繁为简 减少运算量 等差数列等差数列 基础练习题基础练习题 一 一 填空题 1 等差数列 8 5 2 的第 20 项为 2 在等差数列中已知 a1 12 a6 27 则 d 3 在等差数列中已知 a7 8 则 a1 1 3 d 4 与的等差中项是 2 ab 2 ab 5 等差数列 10 6 2 2 前 项的和是 54 6 正整数前 n 个数的和是 7 数列的前 n 项和 则 n a 2 3 n Snn n a 8 在等差数列中已知 a1 12 a6 27 则 d 9 在等差数列中已知 a7 8 则 a1 1 3 d 10 在等差数列 an 中 an m an m 0 则 am 11 在等差数列 an 中 a4 a7 a10 a13 20 则 S16 12 在等差数列 an 中 a1 a2 a3 a4 68 a6 a7 a8 a9 a10 30 则 从 a15 到 a30 的和是 13 已知等差数列 110 116 122 则大于 450 而不大于 602 的各项之和为 14 若是方程的解 则 15 若公差 且是关于 的方程的两个根 则 二 选择题 1 若成等差数列 则 x 的值等于 lg2 lg 21 lg 23 xx A 0 B C 32 D 0 或 32 2 log 5 2 等差数列中连续四项为 a x b 2x 那么 a b 等于 A B C 或 1 D 3 在等差数列中 则的值为 n a 311 40aa 45678910 aaaaaaa A 84 B 72 C 60 D 48 4 在等差数列中 前 15 项的和 为 n a 15 90S 8 a A 6 B 3 C 12 D 4 5 等差数列中 则此数列前 20 n a 123181920 24 78aaaaaa 下项的和等于 A 160 B 180 C 200 D 220 6 在等差数列中 若 则的值等于 n a 34567 450aaaaa 28 aa A 45 B 75 C 180 D 300 7 设是数列的前 n 项的和 且 则是 n S n a 2 n Sn n a A 等比数列 但不是等差数列 B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 且是等比数列 D 既不是等差数列也不是等比 数列 8 数列 3 7 13 21 31 的通项公式是 A B 41 n an 32 2 n annn C D 不存在 2 1 n ann 9 设数列 an 和 bn 都是等差数列 其中 a1 25 b1 75 且 a100 b100 100 则数列 an bn 的前 100 项和为 A 0 B 100 C 10000 D 505000 10 等差数列中 则此数列前 20 n a 123181920 24 78aaaaaa 下项的和等于 A 160 B 180 C 200 D 220 11 一个项数为偶数的等差数列 它的奇数项的和与偶数项的和分别 是 24 与 30 若此数列的最后一项比第 10 项为 10 则这个数列共有 A 6 项 B 8 项 C 10 项 D 12 项 三 计算题 1 求集合中元素的个数 并求这些 21 60Mm mnnNm 且 元素的