广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：立体几何

广东省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 83 ，则它的表面积是 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 2、（ 2016年全国 平面 过正方体 1顶点 A， /平面 I 平面 m，I 平面 1=n，则 m， n 所成角的正弦值为 （ A） 32（ B） 22（ C） 33（ D） 133、（ 2015 年全国 I 卷） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ） 4、（ 2015 年全国 I 卷） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r= （ A） 1（ B） 2（ C） 4（ D） 8 5、（ 2016 年全国 ） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 6、（佛山市 2016 届高三二模） 已知一个几何体的三视图如图 2 所示 ,则该几何体的 体积为 ( ) A 233B 433C 3 D 2 3 7、（广州市 2016 届高三二模） 如图 , 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出 的是某几何体的三视图 , 则该几何体的体积是 (A) 46 (B) 86 (C) 4 12 (D) 8 12 8、（茂名市 2016 届高三二模） 若 几何体的三视图如图 所示，则 该几何体的 外接 球的表面积为 ( ) A. 34 B. 35 C 36 D 17 9、（汕头市 2016届高三二模） 已知正三棱锥 S 的六条棱长都为 463，则它的外接球的体积为 ( ) A. 323B. 32 33 C. 643D. 64 23 10、（深圳市 2016 届高三二模） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ） A 48 B 16 C 32 D 16 5 11、（汕头市 2016 届高三上期末） 已知 , 是两个 不同的平面， 是两条不同的直线，给出下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则 /n ； 若 ,/m ，则 m ； 若 , ，且 ， 则 /,/ 其中真命题的个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 12、（汕尾市 2016届高三上期末） 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ( ) 二、解答题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 如图，在已 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 正方形，90，且二面角 二面角 0 （ I）证明平面 （ 二面角 余弦值 2、（ 2016 年全国 ） 如图，菱形 对角线 于点 O，56点 E，F 分别在 ，54F， 点 到 位置 10. （ I）证明： 平面 （ 二面角的正弦值 . A B F E D C 3、（ 2015 年全国 I 卷） 如图，四边形 菱形， 20， E， F 是平面 一侧的两点， 面 面 （ 1）证明：平面 面 2）求直线 直线 成角的余弦值 4、（ 2014 年全国 I 卷） 如图三棱柱1 1 1A B C A B C中，侧面11 C. ( ) 证明：1B； （）若1B， 0C B B， C 求二 面角1 1 1A A B C的余弦值 . 5 、（ 佛 山 市 2016 届 高 三 二 模 ） 如 图 ， 在 直四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，6 0 , ,B A D A B B D B C C D （ 1）求证 ： 平面 11 平面 1 （ 2） 若 D ,直线 平面 成的角能否为 45 ？并说明理由 广州市 2016 届高三二模） 如图， 在多面体 ， 等边三角形， 等腰直角三角形， 90C M D ，平面 平面 平面 ( )求证： M ； ( )若 2C，求直线 平面 成角的正弦值 . 7、（茂名市 2016 届高三二模） 如图 1，已知四边形 菱形 ，且 60A, 2E 为 的中点。现将四边形 起至 如图 2。 （ I）求证： E （ 二面角 的大小为3， 求平面 平面 成锐二面角的余弦值。 8、（深圳市 2016 届高三二模） 在三棱柱1 1 1A B C A B C中， B ， 侧面11 的正方体点 , 1,113,24A E A F C E E F （ 1）证明：平面11 平面 （ 2）若 B ， 求直线1成角的正弦值 9、（潮州市 2016 届高三上期末） 如图，在四棱锥 B ， 面 3 90， F， 44， 3。 （ I）求证： （ 二面角 B F 的平面角的余弦值。 10、（佛山市 2016 届高三 教学质量 检测（一） 如图，三棱柱 111 中，侧面 1侧面 11 1 ， 6011 1 ， H 为棱 1中点， D 在棱 1， （ 1）求证： D 为 1中点； （ 2）求二面角 11 的余弦值 B 1C 1B 1A C 1B 1C D 11、（惠州市 2016 届 高三第三次调研考试 ） 如图，已知四棱锥 中，底面 菱形， 面 60 ， 别是 的中点 。 （ ）证明： 面 （ ）取 2若 H 为 的动点， 面 成最大角的正切值为26，求二面角 的余弦值 。 参考答案 一、选择、填空题 1、 【答案】 A 【解析】 试题分析： 由三视图知：该几何体是 78个球，设球的半径为 R ，则 37 4 2 8 3 ，解得 ，所以它的表面积是 22734 2 2 1 784 ，故选 A 2、 【答案】 A 如图所示： D 1C B D 平 面，若设平面11m，则1平面 平面1 1 1 1合 平面11 1 1 1 1A B C D B D 1 1BD m，故11BD m同理可得：1CD n故 m 、 n 的所成角的大小与1111大小 而1 1 1 1B C B D C D（均为面对交线），因此11 3 ，即11 3s C D B 故选 A 3、 【答案】 B 考点：圆锥的体积公式 4、 【答案】 B 5、 【解析】 C 几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h 由图得 2r，2 4，由勾股定理得： 222 2 3 4l ， 2 1 2S r ch 表 4 16 8 28， 故选 C 6、 B 7、 B 8、 答案 A， 提示： 由 几何体的三视图 知它是底面是正方形且有一侧棱垂于底面的 四棱锥，可把它补成一个长方体，所以 2 2 2 24 3 3 4 1 8 1 6 3 4R ， 它的外接 球表面积为 2S = 4 3 4R 9、 A 10.【答案】 D 【解析】 该几何体的直观图，如图： 4 2 5 8 5S ， 6 55h ， 1 1 68 5 5 1 63 3 5V S h 11、 C 12、 A 二、解答题 1、 正方形 F 90 F =F F 面 面 平面 平面 由 知 60D F E C E F F 平面 平面 平面 平面 面 D D F 四边形 等腰梯形 以 E 为原点 ，如图建立坐标系，设 FD a 0 0 0 0 2 0E B a， ， ， ， 30 2 2 022aC a A a a， ， ， ， 0 2 0E B a ， ， ， 3222 a a， ， 2 0 0A B a ， ， 设面 向量为 m x y z ， ， . 00m C ， 即 11 1 12032022x a y a z 1 1 13 0 1x y z ， ， 3 0 1m ， ， 设面 向量为 2 2 2n x y z ， ，=00n B 223202220a x a y a 2 2 20 3 4x y z ， ， 0 3 4n ， ， 设二面角 E 的大小为 . 4 2 1 9c o 3 1 6 二面角 E 的余弦值为 2 19192、 【解析】 证明： 54F， D， C 四边形 D， 6 3 又5B， 4 1 ， 3 H， 2 2 2O D O H D H ， D H 又 O I， 建立如图坐标系H 5 0 0B ， ，1 3C ， ， 3D ， ，1 3 0A ， ， 4 0 ， 1 3 3 ，060u ， ， 设面 1n x y z ， ， 由1100n 得4 3 03 3 0y z ，取345， 1 3 4 5n ， 同理可得面2 3 0 1n ， 121295 75c 10 ur 2 955 3、 【答案】 （）见解析（） 33 2 2 2E G F G E F， G ， ， 面 面 平面 平面 6分 （）如图，以 别以 ,C 的方向为 x 轴 ， y 轴正方向， |单位长度 ， 建立空间直角坐标系 由 （）可得 A（ 0， 3 ， 0）， E(1,0, 2 )， F（ 1,0， 22）， C（ 0， 3 ， 0）， （ 1， 3 ， 2 ）， （ 22） .10分 故 3c o s ,3| | | |A E C C C F . 所以直线 成的角的余弦值为 33. 12 分 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想 象能力，推理论证能力 4、 【解析】： ( )连结11，连结 为侧面11以1且 O 为11 C，所以1面 故1B C 1B O 故1B 6 分 （）因为1B且 O 为1以 又因为 ，所以 B O A B O C 故 ，从而 以 O 为坐标原点， 方向为 x 轴正方向， 单位长，建立如图所示空间直角坐标系 因为 01 60C B B，所以1等边三角形又 ，则 30, 0,3A， 1,0,0B ，130, , 03B， 30 , , 03C1330 , ,，1131 , 0 , ,3A B A B 1131 , , 03B C B C 设 ,n x y z 是平面的法向量，则 11100n B ，即33 0333 03 所以可取 1, 3 , 3n 设 m 是平面的法向量，则 111100m A C ，同理可取 1, 3 , 3m 则 1c o s , 7，所以二面角1 1 1A A B C的余弦值为 17. 5、 【解析】（ 1）证明： , 6 0A B B D B A D ， 为正三角形， D D ,公共边， A B C A D C C A B C A D , D 四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D是直四 棱柱， 1面 1D 1A C A A A， 平面11 平面1 平面1面11 （ 2） 设 D= O ,以 建立空间直角坐标系 O- 图所示 , 不妨设 2 , = h ( h 0 ),则 3 , 1 , 设平面 D 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 若直线 平面 D 所成的角为 45 ,则 C 1B 1D 1C 与平面 成的角不可能为 45 .12 分 6、 ( )证明：取 中点 O ,连接 等边三角形， D . 1 分 等腰直角三角形， 90C M D ， D . 2 分 平面 平面 平面 面 D ， 平面 平面 3 分 平面 O ,M ,A ,B 四点共面 . 4 分 O B O M O ,平面 平面 平面 5 分 平面 M . 6 分 ( )解法 1: 作 垂足为 N ,则 B . 等边三角形， 2, 3, 2. 在 , 2 2 2 2 1A N A M M N A M O B . 7 分 等腰直角三角形， 90C M D ， 1 12O M C D. 2A B A N N B A N O M . 8 分 如图 ,以点 O 为坐标原点 ,在直线为 x 轴 ,在直线为 y 轴 , 在直 线为 z 轴 ,建立空间直角坐标系 O , 则 0,0,1M , 0, 3, 0B , 1,0,0D , 0, 3, 2A . 0 , 3 , 1, 0 , 3 ,1 , 1, 3 , 0 . 设平面 法向量为 n ,x y z , 由 n 0, n 0,得 3 0 ,3 0 , 9 分 令 1y ,得 3x , 3z . n 3,1, 3 是平面 一个法向量 . 10 分 M 与平面 成角为 , 则 s i n c o s , A M n AM 2 1727. 11 分 直线 平面 成角的正弦值为 217. 12 分 解法 2: 作 垂足为 N ,则 B . 等边三角形， 2, 3, 2. 在 , 2 2 2 2 1A N A M M N A M O B . 7 分 等腰直角三角形， 90C M D ， 1 12O M C D. 2A B A N N B A N O M . 8 分 由 ( )知 平面 平面 平面 点 M 到平面 距离等于点 O 到平面 距离 . 作 垂足为 K , 平面 平面 B . 平面 平面 D B , 平面 且 s i n 6 0O K O D 32. 9 分 在 , 22 2M B O M O B , 在 , 22 2M D O M O D , 面积为 12S 22272 . 设点 A 到平面 距离为 h , 由A B D M M A B , 得 1133 O K S , 得31 222272 2 217 . 10 分 设直线 平面 成的角为 , 则 21s i . 11 分 直线 平面 成角的正弦值为 217. 12 分 注 :求 2 217h 的另法 . 由 1 1 33 2 3A B D M M A B D O A B D A B D V V O D O B A B , 得 1333 ,得 3 3 2 2 1772h S . 7、 解： (1)证明 : 四边形 菱形，且 60 1 分 又 的中点为 , 3 分 又 面平面点 , 4 分 面 5 分 (注：三个条件 中，每 少一个扣 1 分 ) (2)解法一 :以点 E 为坐标原点 ,分别以线段 所在直线为 轴 ,再以过点 E 且垂直于 平面 向上的直线为 z 轴 ,建立空间直角坐标系如图所示 . 面 为二面角 的一个平面角 , 60 6 分 则 0,0,0,0,0,3,0,1,0 23,21,0B, 7 分 则 ,0,1,3 0,0,3 设 000 , 000 ,3 2 3,21, 000 220 02220 0 02220 0 03 3 01342234xx y zx y z 解得313000 3,1,3H 8 分 那么 3,1,0设平面 法向量为 1, 111 ,则0303111即3111即 1,3,11 n . 9 分 而平面 一个法向量为 1,0,02 n . 10 分 设平面 平面 成锐二面角的大小为 则5551co . 11 分 所以平面 平面 成锐二面角的余弦值为55 12 分 解法二 :分别取 ,D 中点 ,连结 面 可知 为二面角 的平面角 ,即有 60 6 分 O 为 点 , . , 面 则以点 O 为坐标原点 ,分别以直线 , 为 , 轴 , 建立空间直角坐标系 ,如右图 . 则由条件 ,易得 0,21,0A , 23,0,0B , 0,21,3D , 0,21,0E . 7 分 再设 000 , 0,0,3 000 ,21,3 则由 ,有 0 得 30 x. 由22可得 421342320020202020 将 30 可得 3,21 00 即 3,21,3H, 8 分 则 23,21, 3,0,3设平面 向量为 1111 , , 则02321303311111即1111 3 令 11x ,得 1,3 11 即 1,3,11 n . 9 分 而平面 一个法向量为 1,0,02 n . 10 分 设平面 平面 成锐二面角的大小为 则5551co . 11 分 所以平面 平面 成锐二面角的余弦值为55 12 分 解法三 :过点 A 作 且 至点 A ,延长 点 E ,使 . 连结 , ,则 为三棱柱 . 延长 交于点 A ,连结 由三棱柱性质 ,易知 ,则 面 过点 B 作 于点 M , 过 M 作 于点 N . 平面 , , 面 ,即 , . , 平面 故 为平面 与平面 所成锐二面角的一个平面角 , 即为平面 平面 成锐二面角的一个平面角 . 8 分 易得 ,即 为正三角形 . ,21,23 , 3 则 60故41,43 ,415 22 s M, 11 分 即平面 平面 成锐二面角的余弦值为55. 12 分 8、 【解析】（ 1）取线段 点 M ， 连接 A B C D E F 19 题图 在正方体11 31, 2A M A E， 在 和1A E中，1123A E A A E， 又1 2E A M F A E ， 1R t E A M R t F A E， 1A E M A F E ， 从而1 1 1 2A E M A E F A F E A E F ， 2， 即 M 又 ,E F C E M E C E E， 平面 平面 F ， 在等腰三角形 中， B ， 又 交，知 平面1 平面 平面11 平面 （ 2）在等腰三角形 中，由 ,2C A C B A B 知 2C A C B， 且 1， 记线段11 ， 连接 由（ 1）知， ,M C M A M N 两两互相垂直， 以 M 为坐标原点，分别以 ,M C M A M N 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 则111( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , ) , ( 0 , , 2 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 )24C E F A C， 设平面 法向量为 ( , , )x y zn ， 则 ,C E E F 即1 02 2 023 3 2042x y z x y ， 取 2z ， 则 4, 5， 从而得到平面 一个法向量 (5, 4, 2)n 1 (1, 1, 2 )， 记直线1成角为 ， 则 111| | 5 4 4 | 3 0s i n | c o s , |18| | | | 4 5 6 故直线1成角的正弦值为 3018 9、 方法一： （ ）证明： 平面 平面 C A ， 平面 平面 . 2 分 x B 1A 1 B C D E F y x z 3 9 0A B C B A C ，又 44A C C D， 30 1 1s i n 3 0 4 22B C A C ， 又 1c o s 6 0 2 12C F B C C D ， 又 平面 平面 又 平面 45 又 3A F A C C F A E ， 45， 90，即 .4 分 又 B F E F F ， 平面 平面 平面 6 分 （ ） 如图，过点 F 作 E 于点 G ，连接 由 （ ） 知 平面 平面 (所以 E 又 B F F G F ， 平面 所以 平面 又 平面 ) 所以 G (三垂线定理 ) 故 二面角 B 的平面角 8 分 在 中， 2 2 2 23 3 3 2E F E A A F 在 中， 2 2 2 21 1 2F D F C C D . 9 分 在 中， 2 2 2 2( 3 2 ) ( 2 ) 2 5E D E F F D 由 E F F D F G E D 得 3 2 2 3 5525E F F 10 分 在 中， 2 2 2 22 1 3B F B C F C 在 中， 22 9 2 3 0355B G B F F G 11 分 所以3565c o 05 二面角 B 的平面角的余弦值为46. . .12 分 方法二： 过 F 作 /E ，由 平面 知 平面 又 平面 是 C ， F ， 又 两垂直 以 F 为原点， 次为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系（如图） 7 分 由 ( )可得 3t a n 3 0 3 33B F A F 于是 ( 0 , 0 , 0 )F ， ( 0 , 3 , 0 )B ， ( 1 , 0 , 1)D ， ( 3 , 0 , 3)E ， ( 1 , 3 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) ， A B C D E F y x z ( 0 , 3 , 0 ) 由 ( )知 平面 一个法向量 设 ( , , )n x y z 是平面 一个法向量，则 ，033303 取 2z ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n 10 分 36c o | | | 2 2 3n F B ， 11 分 又二面角 B 是锐二面角 二面角 B 的平面角的余弦值为46. .12 分 方法二： ( )证明：过 F 作 /E ，由 平面 知 平面 又 平面 是 C ， F ， 又 两垂直 以 F 为原点， 次为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系（如图） 1 分 3 9 0A B C B A C ， 44A C C D， 3， 1， 30 1 22B C A C， 1c o s 6 0 2 12F C B C ， 3A F A C F C ， 22 3B F B C F C 3 分 于是 ( 0 , 0 , 0 )F ， ( 0 , 3 , 0 )B ， ( 1 , 0 , 1)D ， ( 3 , 0 , 3)E ， ( 1 , 0 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) 故 1 3 0 ( 3 ) 1 3 0F D B E 所以 .6 分； ( )由 ( )知 ( 3 , 0 , 3 ) ， ( 1 , 3 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) ， ( 0 , 3 , 0 ) 于是 0 3 3 0 0 3 0F B F E ，所以 E ，又 所以 平面 一个法向量 .8 分 设 ( , , )n x y z 是平面 一个法向量，则 ，033303 取 2z ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n .10 分 B 1A 1B 1A 136c o | | | 2 2 3n F B ， 又二面角 B 是锐二面角 二面角 B 的平面角的余弦值为46. 12 分 10、 【 解析 】 向量法 ( )连结1为1正三角形 ,H 为棱1 所以1C,从而1A,又面11面11面11面11所以 面11 1 分 以 A 为原点 ,建立空间直角坐标系 A 如图所示 , 2 分 不妨设 2,则1 2 1 0,2,0A, 1 2 , 2, 0B, 设 2, , 0 1 2 , 2 , 0, 1 2 , 2 , 0A D t, 3 分 因为1面1面1以11A D 所以 11 2 2 2 0A B A D t ,解得 1t ,即 2,1, 0D ,所以 D 为1 5 分 ( ) 1 0,1, 3C, 1 2 , 1, 0, 11 0 , 1, 3, 设平面11 ,x y zn ,则 11100 2030 ,解得 263, 令 3x ,得 3 , 3 2 , 6n , 9 分 显然平面1 0 , 0 , 3 , 10 分 所以 3 2 2 2c o s , 113 3 3H nn n, 所以二面角11C A D A的余弦值为 2211. 12 分 传统法 ( )设 2AB a ,由 1 2A C A A A B ,所以1 2A C A A a, 因为1面1面1以11A D 从而1 1 1 1 90D A B A B A ,所以1 1