角动量及其守恒定律

角动量及其守恒定律 一 质点的角动量 动量矩 和角动量定理 定义 方向 用右手螺旋决定 1 质点的角动量 大小 2 单位 kg m2 s 1 2 2质点的角动量定理和角动量守恒定律 当质点作圆周运动时 方向 垂直于圆周轨道平面 3 角动量与径矢有关 所以与转动原点o有关 应指明是对那一点的角动量 2 质点的角动量定理 作用在质点上的合力矩等于质点角动量对时间的变化率 角动量定理 微分形式 4 力矩对时间的积分称为冲量矩 分别为质点在初 末态时的角动量 是状态量 上式即为角动量定理 积分形式 对同一转动中心 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量 是力矩对时间的累积效应 是过程量 5 3角动量守恒定律 开普勒第二定律 行星受力方向与矢径在一条直线 中心力 故角动量守恒 例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受重力和支持力作用 支持力的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 得 由题设条件积分上式 4质点系角动量定理 内力矩矢量和为零 无外力矩 质点系总角动量守恒 引力使星团压缩 惯性离心力 离心力与引力达到平衡r就一定了 z轴方向无限制 最终压缩成铁饼状 1刚体 在外力作用下 形状和大小都不发生变化的物体 任意两质点间距离保持不变的特殊质点系 刚体的运动形式 平动 转动 平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 2 2 5刚体定轴转动 转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 转动又分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比 转动定律 定义转动惯量 2刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量 刚体定轴转动的角动量定理 非刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 内力矩不改变系统的角动量 守恒条件 若不变 不变 若变 也变 但不变 刚体定轴转动的角动量定理 3刚体定轴转动的角动量守恒定律 花样滑冰运动员通过动作的改变 改变转动惯量来改变转速 17 转动惯量的计算 物理意义 转动惯性的量度 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯量的计算方法 解设棒的线密度为 取一距离转轴OO 为处的质量元 例2一质量为 长为的均匀细长棒 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 如转轴过端点垂直于棒 例3一质量为 半径为的均匀圆盘 求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量 解设圆盘面密度为 在盘上取半径为 宽为的圆环 而 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 例4 人和转盘的转动惯量为J0 哑铃的质量为m 初始转速为 1 求 双臂收缩由r1变为r2时的角速度 双臂收回过程中 系统的机械能是否守恒 什么力做了功 解 在双臂收回过程中 取m 人 转盘为系统 合外力矩为零 系统的角动量守恒 有 21 22 因为 即系统的机械能不守恒 即非保守内力作正功 机械能增加 人双臂收回过程中 内力做功 23 例5质量很小长度为l的均匀细杆 可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 当细杆静止于水平位置时 有一只小虫以速率垂直落在距点O为l 4处 并背离点O向细杆的端点A爬行 设小虫与细杆的质量均为m 问 欲使细杆以恒定的角速度转动 小虫应以多大速率向细杆端点爬行 解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞 碰撞前后系统角动量守恒 由角动量定理 即 考虑到 例6一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A 并把跷板另一端的演员N弹了起来 设跷板是匀质的 长度为l 质量为 跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动 演员的质量均为m 假定演员M落在跷板上 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 问演员N可弹起多高 解碰撞前M落在A点的速度 碰撞后的瞬间 M N具有相同的线速度 把M N和跷板作为一个系统 角动量守恒 解得 演员N以u起跳 达到的高度 3 1 功 力对空间的累积效应 第3章功和能能量守恒 力对物体所做的功等于物体 质点 所受的力和它在该力作用下的位移的点积W F dr Fdrcos 1 恒力的功 力和位移是矢量 但它们的点积是标量 功是标量 元功 dW元位移 单位 J 2 变力的功 变力所做的功等于力在每段元位移上所做的元功的代数和 此式的意义是合力的功等于各分力功之代数和 直角坐标系中分力作功 合力的功 结论 合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和 注意 1 功是过程量 与路径有关 是力的空间累积效应 2 功是标量 但有正负 3 合力的功为各分力的功的代数和 功的几何意义 功在数值上等于示功图曲线下的面积 3 功率 功对时间的变化率 平均功率 瞬时功率 单位 瓦特 W 例1 光滑的水平桌面上有一环带 环带与小物体的摩擦系数m 在外力作用下小物体 质量m 以速率v做匀速圆周运动 求转一周摩擦力做的功 解 小物体对环带压力 走一段小位移Ds所做的功 转一周 例2 设作用于质量为2千克物体的力为 物体由静止出发沿力的方向作直线运动 求前2秒内此力所作的功 力是变力 是时间的函数 分离变量 1 质点的运动轨道为抛物线 2 质点的运动轨道为直线 解 做功与路径有关 动能是描述质点运动状态的物理量 是由于运动而具有的能量 元功等于质点动能的微分 3 2动能动能定理 叫做质点的动能 用Ek表示 合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量 注意 1 功是一个过程量 是能量变化的量度 而动能由质点运动状态决定 是运动状态的函数 2 动能定理适用于惯性系 3 功和动能依赖于惯性系的选取 4 动能的单位和量纲与功相同 5 求功需考虑物体经过的路径 将质点动能定理推广到质点系 质点系的动能定理 对第一个质点 对第二个质点 质点系 上述n式相加 质点系的动能定理 作用于质点系内各质点上的所有外力和内力在质点系从一个运动状态到另一个状态的过程中作功的总和等于质点系动能的变化量 在惯性系中成立 爆炸过程中内力作正功 碎片动能增加 其它形式的能转化为动能 力矩的功 一力矩作功 二力矩的功率 2定轴转动中的功能关系 三转动动能 四刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 五 定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立 刚体重力势能 若W外 W内非 0 则Ek Ep 常量 质心处势能 对于含有刚体的系统 如果在运动过程中只有保守内力作功 其它内力和外力都不做功 或做功总和为零 则此系统的机械能守恒 对刚体动能为转动动能 求功的两种方法 1 依椐功的定义 2 依椐动能定理 例1一根长为l 质量为m的均匀细直棒 其一端有一固定的光滑水平轴 因而可以在竖直平面内转动 最初棒静止在水平位置 求它由此下摆 角时的角加速度和角速度 解 由于细棒在下摆过程中 除保守内力以外 其它力均不做功 因而对棒和地球组成的系统 机械能守恒 取水平起始位置时为重力势能零点 由上式解出 46 此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关 一 几种常见力作功特点 3 3保守力的功势能 1 重力的功 2 万有引力的功 与路径无关 3 弹性力的功 O为平衡点 x为形变量 弹力总沿形变方向 B终点位置 A始点位置 弹力做功只与弹簧终点 始点位置有关 与形变过程无关 二 保守力 如以上重力 弹力和万有引力 它们对质点所作的功决定于质点的起点和终点位置而与作功的路径无关 具有这种做功特点的力称为保守力 保守力沿任意闭合路径作功为零 对保守力可以引入势能Ep的概念 如重力势能mgh 弹性势能 引力势能GMm r 反之 做功与路径或形变过程有关的力叫非保守力 如摩檫力 安培力等 势能的大小与所选零势能位置有关 若取无穷远处为引力势能的零点 则a点的势能为 讨论 1 势能为系统所有 2 对于非保守力 作功与路径有关 不能引入势能的概念 万有引力势能 属于存在引力作用的两物体组成的系统 重力势能 属于物体与地球组成的系统 弹性势能 属于物体与弹簧组成的系统 5 a点的势能在数值上等于将物体从该点移到零势能处保守力所作的功 所以 势能的值与势能零点的选取有关 是相对的 但任两点间的势能之差是绝对的 4 引入势能可简化保守力功的计算 3 势能是系统内各物体位置坐标的单值函数 是状态的函数 保守力的功等于系统势能增量的负值 1 势能是保守力场中位置函数 保守力做功是势能增量的负值 三 保守力和势能 2 保守力与势能的关系 在直角坐标系中势能的全微分形式为 对比两式 知 保守力是相关势能梯度的负值 3 势能曲线 o E Ep h h H H Ek Ep a 重力势能 势能曲线 o x Ep x E A B Ek Ep b 弹性势能 Ep x Ek0 Ek o r E Ep c 引力势能 势能曲线 势能为一元函数的势能曲线特点 1 保守力等于曲线切线斜率的负值 负号表示其方向指向势能下降的方向 2 从势能曲线可确定质点的运动范围 x Ep A C B D 0 E3 E2 E0 E1 3 确定平衡位置 判断平衡的稳定性 质点的平衡位置即是质点受合力等于零的位置 即切线斜率为零的点 4 平衡的稳定性取决于当质点偏离平衡位置时 它所受的力指向何方 在势能曲线上 若平衡处的势能为极小值 则为稳定平衡 如AC两点 势能对位置二阶导数大于零 若平衡处的势能为极大值 则为不稳定平衡 如BD两点 势能对位置二阶导数小于零 3 4系统的功能原理 作用于质点系所有力所做的功等于质点系动能的增量 质点系的机械能的增量等于外力和非保守内力所做功之和 使用时注意区别 动能定理 功能原理 研究对象 质点 系统 m 地球 m 弹簧 m M 力 均为外力 定理 由系统的功能原理 这就是机械能守恒定律 机械能守恒定律 物理意义 若作用于质点系统的外力和非保守内力不做功 则系统的机械能守恒 是不变量 但系统内动能和势能可以互相转换 系统内能量的转换通过保守力做功来完成 宇宙速度 设地球质量 抛体质量 地球半径 解取抛体和地球为一系统 系统的机械能E守恒 解得 由牛顿第二定律和万有引力定律得 地球表面附近 故 计算得 我国1977年发射升空的东方