第二章 连续方程和运动方程

第二章连续方程和运动 第一节基本概念流场 FlowField 流体质点运动的全部空间一 研究流体微分方程的两种观点 方法 1 欧拉观点 Euler 在流体运动空间内的某一固定位置处选择一固定体积的流体微元 来分析研究该微元体的运动状况 进行微分衡算可得到微分方程 换句话说 在流体所占据的空间中固定某一点 体积固定 然后分析这点所通过流体的特性变化来研究整个流体的运动规律 即流体的体积固定 质量是变化的 例如在某t时刻 1点 t1时刻 t2时刻 欧拉法 以流场中每一空间位置作为描述对象 描述这些位置上流体物理参数对时间的分布规律 欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量 与拉格朗日法最大的区别是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数 可以广泛的利用场论的知识 在气象观测中广泛使用欧拉法 在世界各地 相当于空间点 设立星罗棋布的气象站 根据统一时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心 然后发至世界各地 绘制成同一时刻的气象图 据此做出天气预报 强调场概念 如重力场中连续性方程 2 拉格朗日的观点 Lagrange 在流体运动的空间内选择一固定的流体质点 质量固定 且追随质点运动 观察其特性 如位置 体积等随时间 的变化 来研究整个流动场内流体的运动规律 A B C D t1时刻 A B C D t2时刻 例如在某t时刻 1点 2点 t t0时流体质点的坐标是 a b c 欧拉法与拉格朗日法区别 欧拉法 以固定空间为研究对象 了解质点在某一位置时的流动状况 研究场中各点状态 拉格朗日法 以质点为研究对象 研究某一时刻质点全部流动过程 研究流体质点的运动规律 运动方程 在流动的流体中有无数个流体质点 要用拉格朗日法描述每个质点的运动是很困难甚至不可能 很难实现 在流体力学中不常采用 一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得较多 在流场中 由于辨认空间比辨认某一个质点容易 因此 欧拉法在流体力学中被广泛采用 例如 水从管中以怎样的速度流出 风经过门窗等等 只要知道一定地点 水龙头处 一定断面 门窗洞口断面 而不需要了解某一质点 或某一流体集团的全部流动过程 着眼于流体质点 跟踪质点描述其运动历程 着眼于空间点 研究质点流经空间各固定点的运动特性 是描述液体运动常用的一种方法 二 物理量的时间倒数 偏导数 全导数和随体导数 真实导数 1 三者定义 以流体密度 为例 密度的全导数 2 三者的物理意义 随体导数的意义 局部导数 在一个固定点 x y z 该量 随时间的变化 对流导数 由于流体质点运动 从一个点转移到另一个点时发生的变化 所以上述方程式表明 流体微元体积上的一个点在d 时间内从进入微元体积的空间位置 x y z 移动到微元体积的空间位置 x dx y dy z dz 时 流体密度 随间的变化率 z x y z 第二节连续性方程 微分质量方程 一 连续性方程的推导 研究方法 欧拉观点理论依据 质量守恒定律计算依据 输出 输入 累积 0 它适用于稳态或非稳态系统 理想流体或真实流体 可压缩或不可压缩流体 牛顿型或非牛顿型流体 连续性方程是研究动量 热量和质量传递过程的最基本 最重要的微分方程之一 写成向量形式 几种算法符号及意义谢树艺 工程数学 矢量分析与场论 哈米尔顿 Hamilton 算子 梯度 散度 拉普拉斯 旋度 第二节连续性方程二 连续性方程的分析和简化 选择单位质量流体研究 其体积为v 按照拉格朗日观点 式 2 2 与式 2 3 比较得 第二节连续性方程二 连续性方程的分析和简化 进一步简化分析 1 若为稳态流动 则 2 若为不可压缩流体 则 速度向量的散度 实际表示流体微元在三个轴向的线性形变速率之和 三 柱坐标与球坐标系的连续性方程 1 柱坐标系的连续性方程 时间 r 径向座标 z 轴向座标 方位角 各方向的速度分量 2 球坐标系的连续性方程 时间 r 径向座标 方位角 余纬度 各方向的速度分量 一 用应力表示的运动方程研究方法 拉格朗日观点理论依据 动量守恒定律即牛顿第二定律若质量固定 采用随体导数表示的牛顿第二定律为 第三节运动方程 流体运动的加速度 一 用应力表示的运动方程 第三节运动方程 将上式写成x y z方向的分量形式 一 用应力表示的运动方程1 质量力指作用在所考察流体整体上的外力 若在重力场中 质量力就是重力 故微元体所受质量力在三个方向可表示为 第三节运动方程 一 用应力表示的运动方程2 表面力 机械力 作用在微元流体诸表面上的外力 它又可分为法向力和切向力 剪应力 记为 一个平面上的表面力可以用三个表面应力分量表示如 xx xy xz第一个下标x表示垂直于x轴的yz平面 即应力分量的作用面垂直于x轴 第二个下标x y z 表示应力分量的作用 第三节运动方程 方向 可以看出 具有相同下标的应力分量 xx 表示法向应力分量 拉伸方向 向外 为正 压缩方向 向内 为负 混合下标的应力分量 xy xz 表示切向应力分量 一 用应力表示的运动方程2 表面力 第三节运动方程 六个表面 每一表面力均可分解成三个平行于x y z三个坐标轴的应力分量 则 3 6 18个 在x y z方向上各有六个 当微元体体积缩小为一点时 相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等 方向相反的 故只需采用9个表面力就可以完全表达 即 3个法向分量 6个切线分量 一 用应力表示的运动方程2 表面力 第三节运动方程 上述6个剪应力可以使微元体旋转且彼此不独立 如图的四个剪应力对于旋转轴线产生力矩 当微元体积趋近于0使r趋近于0 力矩 质量 旋转半径2 角加速度 一 用应力表示的运动方程2 表面力 第三节运动方程 因此实质上9个应力只有6个应力为独立变量 即3个法向应力和3个剪应力 如图在x方向的净表面力分量 一 用应力表示的运动方程将式 2 11a 和式 2 12 代入式 2 10a 中并整理得 第三节运动方程 x方向以应力表示的运动方程同理可得 以应力表示的粘性流体运动微分方程 二 应力与形变速率之间的关系1 剪应力每一剪应力与其相应两方向上的形变速率有关 经分析推导其关系为 第三节运动方程 二 应力与形变速率之间的关系2 法向应力当流体运动时 法向应力由两部分组成 其一是流体压力 它使流体微元承受压缩而发生体积形变 其二是由流体的粘性引起 它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩进而发生线性形变 各法向应力与形变速率之间的关系 第三节运动方程 静压力使流体产生体积形变 粘性力使流体在法线方向上拉伸或压缩进而发生线性形变 三 粘性流体的运动方程 N S方程 将式 2 14a 2 14b 2 15a 代入式 2 13a 得 第三节运动方程 三 粘性流体的运动方程 N S方程 将上三式写成向量形式 第三节运动方程 以质量 粘度和流动状况表示的运动微分方程 奈维 斯托克斯 Navier Stokes 方程或牛顿型流体的运动方程讨论 1 对于稳定或非稳定 可压缩或不可压缩 理想或非理想流体均适用 但需说明该方程仅适用于牛顿型 2 各项意义 惯性力 质量力 压力梯度 粘性力 三 粘性流体的运动方程 N S方程 对于不可压缩运动流体的运动方程可简化为 写成向量形式 四 以动压头表示的不可压