（新课标）2020版高考数学总复习 第二节 不等式的证明练习 文 新人教A版选修4-5.docx

第二节不等式的证明A组基础题组1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.2.已知实数a,b,c,d满足abcd.求证:1a-b+1b-c+1c-d9a-d.证明证法一:因为1a-b+1b-c+1c-d(a-d)=1a-b+1b-c+1c-d(a-b)+(b-c)+(c-d)331a-b1b-c1c-d33(a-b)(b-c)(c-d)=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以1a-b+1b-c+1c-d9a-d.证法二:因为1a-b+1b-c+1c-d(a-d)=1a-b+1b-c+1c-d(a-b)+(b-c)+(c-d)1a-ba-b+1b-cb-c+1c-dc-d2=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以1a-b+1b-c+1c-d9a-d.3.设不等式-2|x-1|-|x+2|0的解集为M,a,bM.(1)证明:13a+16b14;(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=3,x-2,-2x-1,-2x1,-3,x1.由题意,令-2-2x-10,得-12x12,则M=-12,12.所以13a+16b13|a|+16|b|1312+1612=14.(2)由(1)得a214,b20,所以|1-4ab|24|a-b|2,故|1-4ab|2|a-b|.4.(2019湖南湘中名校联考)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+3bt的最大值.解析(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)利用柯西不等式,可得-3t+12+3t=3(4-t+t)3(1+1)(4-t+t)=64-t+t=26,当且仅当t=4-t,即t=2时等号成立.所以at+12+3bt的最大值为26.B组提升题组1.求证:112+122+132+1n22.证明因为1n21n(n-1)=1n-1-1n,所以112+122+132+1n21+112+123+134+1(n-1)n=1+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1ncd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b|cd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|n0,求证:2m+1m2-2mn+n22n+a.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=-3,x-1,2x-1,-1x2,3,x2,f(x)的最大值为3.对任意实数x,|x+1|-|2-x|a都成立,即f(x)a恒成立,a3.令h(x)=|x+1|+|2-x|,则h(x)