学年深圳市高级中学高一(上)期末数学.doc

2015-2016学年深圳市高级中学高一（上）期末数学试卷一选择题：共5小题，每小题5分，共25分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知A=（x，y）|y=2x+1，B=（x，y）|y=x+3，则AB=（）ABB（2，5）CD2，52若a=ln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab3函数f（x）=lnx的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）4函数f（x）=，则ff（）=（）AB1C5D5已知定义域为R的偶函数f（x）在（，0上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）CD二填空题：共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答卷卡的相应位置上6计算（lglg25）=7已知函数g（x）=，则函数f（x）=g（lnx）ln2x的零点个数为三解答题：共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤8已知函数，其中a为常数（1）若a=1，判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数a的值9已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（aR）（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围四选择题：共7小题，每小题5分，共35分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求10已知直线Ax+By+C=0不经过第三象限，则A，B，C应满足 （）AAB0，BC0BAB0，BC0CAB0，BC0DAB0，BC011在正四面体SABC中，若P为棱SC的中点，那么异面直线PB与SA所成的角的余弦值等于（）ABCD12已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 （）Am，mnnBm，mn，nCm，mn，nDm，mn，n13已知ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（3，1），C（1，0），则ABC的面积为（）A3B4C5D614已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 （）ABCD15已知圆C的标准方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x2），若直线l和圆C有公共点，则实数k的取值范围是 （）ABCD1，116设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（）ABCD五.填空题：共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答卷卡的相应位置上17已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于18半径为，且与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点的圆的标准方程为六解答题：共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=60，AB=2AD，PD平面ABCD，点M为PC的中点（1）求证：PA平面BMD；（2）求证：ADPB；（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离20已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x2y1=0相切（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（3，6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若AC=2，求锐二面角AA1CB的大小22已知圆M的方程为x2+（y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）若APB=60，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标2015-2016学年深圳市高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题：共5小题，每小题5分，共25分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知A=（x，y）|y=2x+1，B=（x，y）|y=x+3，则AB=（）ABB（2，5）CD2，5【考点】交集及其运算【分析】根据A=（x，y）|y=2x+1，B=（x，y）|y=x+3，求的两直线的交点坐标，就是集合AB的元素【解答】解：AB=（x，y）|=（2，5）故选B2若a=ln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0a=ln21，1，0，bac故选：B3函数f（x）=lnx的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理【分析】紧扣函数零点的判定定理即可【解答】解：函数f（x）=lnx在（0，+）上连续，且f（1）=20，f（2）=ln210，f（3）=ln30故选C4函数f（x）=，则ff（）=（）AB1C5D【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质，先求出f（），再求ff（）的值【解答】解：函数f（x）=，f（）=，ff（）=f（）=2=故选：A5已知定义域为R的偶函数f（x）在（，0上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）CD【考点】对数函数的单调性与特殊点；偶函数【分析】由题意知不等式即f（log4x），即 log4x，或 log4x，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）2，即 f（log4x），又偶函数f（x）在（，0上是减函数，f（x）在0，+）上是增函数，log4x=log42，或 log4x=，0x，或 x2，故选 A二填空题：共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答卷卡的相应位置上6计算（lglg25）=20【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的运算法则即可得出【解答】解：（lglg25）100=（lg）101=210=20故答案为207已知函数g（x）=，则函数f（x）=g（lnx）ln2x的零点个数为2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】对lnx的值进行分类讨论，即lnx0、lnx=0、lnx0，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可【解答】解：如果lnx0，即x1时，那么函数f（x）=g（lnx）ln2x转化为函数f（x）=1ln2x，令1ln2x=0，得x=e，即当x1时函数f（x）=g（lnx）ln2x的零点是e；如果lnx=0，即x=1时，那么函数f（x）=g（lnx）ln2x转化为函数f（x）=0ln2x，令0ln2x=0，得x=1，即当x=1时函数f（x）=g（lnx）ln2x的零点是1；如果lnx0，即0x1时，那么函数f（x）=g（lnx）ln2x转化为函数f（x）=1ln2x，令1ln2x=0，无解，即当0x1时函数f（x）=g（lnx）ln2x没有零点；综上函数f（x）=g（lnx）ln2x的零点个数为2故答案为：2三解答题：共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤8已知函数，其中a为常数（1）若a=1，判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数a的值【考点】函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断（2）根据函数是奇函数，建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）当a=1时，其定义域为R此时对任意的xR，都有所以函数f（x）在其定义域上为奇函数（2）若函数在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意x，有：整理得：a2e2x1=e2xa2，即：e2x（a21）=1a2对定义域内的任意x都成立所以a2=1当a=1时，定义域为R；当a=1时，定义域为（，0）（0，+）所以实数a的值为a=1或a=19已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（aR）（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）将a=1代入f（x），求出f（x）的定义域，结合二次函数的单调性，求出复合函数的单调区间即可；（2）f（x）的定义域为R等价于ax2+ax+20恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lg（x2x+2），由x2x+20，即x2+x20，解得：2x1，所以函数f（x）的定义域为（2，1）；设t（x）=x2x+2，x（2，1），则y=lgt在t（0，+）为增函数由复合函数的单调性，f（x）的单调区间与t（x）=x2x+2，x（2，1）的单调区间一致二次函数t（x）=x2x+2，x（2，1）的对称轴为所以t（x）在单调递增，在单调递减所以f（x）的单调增区间为，单调减区间为（2）当a=0时，f（x）=lg2为常数函数，定义域为R，满足条件当a0时，f（x）的定义域为R等价于ax2+ax+20恒成立于是有，解得：0a8综上所述，实数a的取值范围是0a8四选择题：共7小题，每小题5分，共35分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求10已知直线Ax+By+C=0不经过第三象限，则A，B，C应满足 （）AAB0，BC0BAB0，BC0CAB0，BC0DAB0，BC0【考点】直线的一般式方程【分析】直线ax+by+c=0化为：y=x，利用斜率与截距的意义即可得出【解答】解：直线ax+by+c=0化为：y=x，直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，0，0，ab0，bc0故选：B11在正四面体SABC中，若P为棱SC的中点，那么异面直线PB与SA所成的角的余弦值等于（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AC中点O，连结PO，BO，BPO是异面直线PB与SA所成的角，由此能求出异面直线PB与SA所成的角的余弦值【解答】解：取AC中点O，连结PO，BO，设正四面体SABC的棱长为2，则POSA，且PO=SA=1，BO=BP=，BPO是异面直线PB与SA所成的角，cosBPO=异面直线PB与SA所成的角的余弦值为故选：A12已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 （）Am，mnnBm，mn，nCm，mn，nDm，mn，n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，m，m或m，mn不可以得出n，故A错误；对于B，m，mnn或n，不可以得出n，因此B不正确；对于C，m，mn，不可以得出m，故不可以得出n，因此C不正确；对于D，m，mn，可以得出n，故n，因此D正确故选：D13已知ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（3，1），C（1，0），则ABC的面积为（）A3B4C5D6【考点】两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式【分析】直线AB的方程：x+y4=0，利用点到直线的距离公式可得C（1，0）到直线AB的距离d，利用两点之间的距离公式可得|AB|，再利用ABC的面积公式即可得出【解答】解：直线AB的方程：y3=（x1），化为x+y4=0，C（1，0）到直线AB的距离d=，又|AB|=2该ABC的面积S=5故选：C14已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 （）ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长l，圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为，由已知可得l=2r，进而利用弧长公式，可得答案【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长l，圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为，则r（r+l）=3r2，即l=2r，则2r=l=2r，故=，故选：D15已知圆C的标准方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x2），若直线l和圆C有公共点，则实数k的取值范围是 （）ABCD1，1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出k的范围即可【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线l和圆C有公共点，所以1，解得k故选：B16设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，我们可得SAPQC=，即VBAPQC=，再结合同底等高的棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即可求出答案【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，又P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，四棱锥BAPQC的底面积SAPQC=又VBACC1A1=VBAPQC=故选C五.填空题：共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答卷卡的相应位置上17已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于20【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为正三棱柱切去一个三棱锥剩余部分【解答】解：由三视图可知几何体为正三棱柱切去一个三棱锥得到的，三棱柱的高为6，底面正三角形的边长为4切去三棱锥的底面与三棱柱的底面相同，一条侧棱与底面垂直，长为3所以几何体的体积V=20故答案为2018半径为，且与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点的圆的标准方程为（x1）2+（y1）2=2【考点】圆的标准方程【分析】根据已知求出圆的圆心坐标，进而可得圆的方程【解答】解：圆x2+y2+10x+10y=0的圆心坐标为（5，5），由所求圆与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点，故所求圆的圆心在射线y=x（x0）上，设圆心坐标为（a，a），a0，则=，解得：a=1，故所求圆的圆心坐标为（1，1），故所求圆的方程为：（x1）2+（y1）2=2故答案为：（x1）2+（y1）2=2六解答题：共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=60，AB=2AD，PD平面ABCD，点M为PC的中点（1）求证：PA平面BMD；（2）求证：ADPB；（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MOPA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，再由cosBAD=，证得 ADBD，可证AD平面PBD，从而证得结论（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MOPA再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，故有PA平面BMD（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，平行四边形ABCD中，BCD=60，AB=2AD，cosBAD=cos60=，ADBD这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD平面PBD，ADPB（3）若AB=PD=2，则AD=1，BD=ABsinBAD=2=，由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离取CD得中点N，则MN平面ABCD，且MN=PD=1设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求由ADPB 可得BCPB，故三角形PBC为直角三角形由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD=MB，故三角形MBD为等腰三角形，故MOBD由于PA=，MO= 由VMBCD=VCMBD 可得， （）MN=（BDMO ）h，故有（）1=（）h，解得h=20已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x2y1=0相切（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（3，6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）设所求圆的方程为（xa）2+（y6）2=r2，代入坐标，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程【解答】解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则：圆C的标准方程为（xa）2+（y6）2=r2，由点B在圆上得：（1a）2+（106）2=r2，又圆C与直线x2y1=0，有r=于是解得：，或所以圆C的标准方程为（x3）2+（y6）2=20，或（x+7）2+（y6）2=80；（2）设M点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），由M为PQ的中点，则，即：又点P（x0，y0）在圆C上，若圆的方程为（x3）2+（y6）2=20，有：，则（2x+33）2+（2y+66）2=20，整理得：x2+y2=5此时点M的轨迹方程为：x2+y2=5若圆的方程为（x+7）2+（y6）2=80，有：，则（2x+3+7）2+（2y+66）2=80，整理得：（x+5）2+y2=20此时点M的轨迹方程为：（x+5）2+y2=20综上所述：点M的轨迹方程为x2+y2=5，或（x+5）2+y2=2021如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若AC=2，求锐二面角AA1CB的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，推导出ADA1B，从而AD平面A1BC，进而ADBC，由线面垂直得AA1BC，由此能证明ABBC（2）过点A作AEA1C于点E，连DE，推导出AED即为二面角AA1CB的一个平面角，由此能求出二面角AA1CB的大小【解答】证明：（1）如右图，取A1B的中点D，连接AD，因AA1=AB，则ADA1B，1分由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，得AD平面A1BC，3分又BC平面A1BC，所以ADBC4分因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC5分又AA