2016年全国高考数学仿真信息试卷(理科)(二)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=1， 2， 3， 4， N=x|x+y=3， y M，则 MN=（ ） A 1 B 1， 2 C 2， 3 D 3， 4 2已知复数 z（ 1 i） =i，则 z 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3曲线 y= 在点（ 1， a） 处的切线经过点 P（ 2， 3），则 a 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 1 4从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为 2 或 3 的概率为（ ） A B C D 5已知命题 p：若 x y，则 |x| |y|；命题 q：若 x+y=0，则 x= y有命题 p q； p q； p （ q）； （ p） q其中真命题是（ ） A B C D 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 ，则判断框中填写的内容可以是（ ） A n 5 B n 6 C n 6 D n 9 7将函数 y=32x ）的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应函数为 g（ x），则 g（ =）（ ） A 0 B 3 C 3 D 8（ x+ ） n（ a N+， n N+，且 n a）的展开式中，首末两项的系数之和为 65，则展开式的中间项为（ ） A 120 160 120 D 160 9已知 、 为锐角，且 ） = ， 则 等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 第 2 页（共 21 页） 10已知 a 0， x， y 满足约束条件 ，若 z=x+2y 的最大值为 2，则 a=（ ） A B C D 11五棱锥 P 体积为 5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（ ） A 6 B 3 C 3 D 4 12已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）， F 是右焦点，过 F 作双曲线 C 在第一、第三象限渐近线的垂线 l，若 l 与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， +） C（ 2， +） D（ ， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图在矩形 ， E 为 中点，若 = + ，则 += 14甲、乙、丙三个同学同时做标号为 A、 B、 C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题都有人做对； 至少有一个题三个人都做对； 至少有两个题有两个人都做对 15设抛物线 C： 焦点 F 是圆 M： x2+4x 21=0 的圆心，则圆 M 截 C 的准线所得弦长为 16在锐角 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 ab+， c=1，则a b 的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 17数列 等比数列，公比 q 0，首项为 1，数列 前 n 项和 n N+）， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 前 n 项和 第 3 页（共 21 页） 18某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立 （ 1）求在未来连续 3 天里，有 2 天的日销售量都不低于 150 个且另一天的日销售量低于 100个的概率； （ 2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 150 个的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 E（ X） 19在四棱锥 P ， 0， 0， 平面 为 中点， F 为 中点， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 C F 的正弦值 20已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 顶点和右顶点分别为 B， A，线段 中点为 D，且 ， 面积为 2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过 直线 1 与椭圆 C 相交于 M， N 两点，若 | ，求以 圆心且与直线 l 相切的圆的方程 21已知 ，其中 a 0 （ 1）若 x=3 是函数 f（ x）的极值点，求 a 的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）若 f（ x）在 0， +）上的最大值 是 0，求 a 的取值范围 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 21 页） 22如图所示，圆 O 的直径为 圆上一点 A 作圆 O 的切线 延长线于点 F，过点 D 作 点 E （ 1）证明： 分 （ 2）若 ， ，求切线 长 选修 4标系与参数方程 23在直角 坐标系 ，圆 C 的参数方程 （ 为参数）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）直线 l 的极坐标方程是 （ ） =3 ，射线 = 与圆 C 的交点为 O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+1| （ 1）解不等式 f（ x） f（ x 1） 1； （ 2）若 a 0，求证： f（ x） f（ a） 第 5 页（共 21 页） 2016 年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=1， 2， 3， 4， N=x|x+y=3， y M，则 MN=（ ） A 1 B 1， 2 C 2， 3 D 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 M 中元素，根据 x+y=3 确定出 x 的值，进而确定出 N，找出两集合的交集即可 【解答】 解：把 y=1， 2， 3， 4 代入 x+y=3 中得： x=2， 1， 0， 1，即 N=2， 1， 0， 1， M=1， 2， 3， 4， MN=1， 2， 故选： B 2已知复数 z（ 1 i） =i，则 z 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可 【解答】 解 ：复数 z（ 1 i） =i， 则 z= = = ，复数对应点为（ ），在第二象限 故选： B 3曲线 y= 在点（ 1， a）处的切线经过点 P（ 2， 3），则 a 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切 线方程 【分析】 求出导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解： y= 的导数为 y= ， 则曲线在点（ 1， a）处的切线斜率为 2a， 由切线经过点 P，可得 2a= ， 解得 a=1 故选 A 4从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为 2 或 3 的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 6 页（共 21 页） 【分析】 个位数与十位数之和为偶数的两位数中，其个位数与十位数都为奇数，或都为偶数，由此利用列举法能求出个位数为 2 或 3 的概率 【解答】 解：个位数与十位数之和为偶数的两位数中， 其个位数与十位数都为奇数，或都为偶数， 共有 =45， 记 “个位数与十位数之和为偶数的两位数中，其个位数为 2 或 3”为事件 A， 则 A 包含的结果： 22， 42， 62， 82， 13， 33， 53， 73， 93，共 9 个， 由古典概率计算公式得 P（ A） = 故选： B 5已知命题 p：若 x y，则 |x| |y|；命题 q：若 x+y=0，则 x= y有命题 p q； p q； p （ q）； （ p） q其中真命题是（ ） A B C D 【考点】 复合命题的 真假 【分析】 先判断命题 p， q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命题 p：若 x y，则 |x| |y|，是假命题，例如取 x= 2， y= 3； 命题 q：若 x+y=0，则 x= y，是真命题 有命题 p q 是假命题； p q 是真命题； p （ q）是假命题； （ p） q 是真命题 其中真命题是 故选： B 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 ，则判断框中填写的内容可以是（ ） A n 5 B n 6 C n 6 D n 9 【考点】 循环结构 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=8 时， S= ，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， n=2； 第 7 页（共 21 页） 满足条件， S= ， n=4； 满足条件， S= + = ， n=6； 满足条件， S= + + = ， n=8； 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 ； 故判断框 中填写的内容可以是 n 6 故选： C 7将函数 y=32x ）的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应函数为 g（ x），则 g（ =）（ ） A 0 B 3 C 3 D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换可求 g（ x）的解析式，利用特殊角的三角函数值即可求值 【解答】 解： g（ x） =3（ x+ ） =32x+ ） =32x+ ）， g（ ） =3 故选： A 8（ x+ ） n（ a N+， n N+，且 n a）的展开式中，首末两项的系数之和为 65，则展开式的中间项为（ ） A 120 160 120 D 160 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据展开式中，首末两项的系数之和得出 1+5，结合题意求出 n、 a 的值，再求展开式的中间项 【解答】 解：根据题意，得二项式展开式中，首末两项的系数之和为： 1+5， 即 4； 又 a N+， n N+，且 n a， n=6， a=2， 展开式的中间项为 = =160 故选： D 第 8 页（共 21 页） 9已知 、 为锐角，且 ） = ， 则 等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由已知可求范围 ，利用同角三角函数关系式可求 ）的值，由 可求 值，根据两角和的正弦函数公式即可求得 +）的值，结合角的范围即可得解 【解答】 解： 、 为锐角，且 ） = ， ， ） = = ， 解得： = ， = ， +） = ） ） + = =45 故选： C 10已知 a 0， x， y 满足约束条件 ，若 z=x+2y 的最大值为 2，则 a=（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论 【解答】 解：先作出不等式 对应的区域， 若 z=x+2y 的最大值 为 2，则 x+2y=2， 直线 y=a（ x 4）过定点（ 4， 0）， 则直线 x+2y=2 与 x y=3 相交于 A， 由 得 ，即 A（ ， ）， 同时 A 也在直线 y=a（ x 4）上， 第 9 页（共 21 页） 即 a（ 4） = ， 即 a= ，得 a= ， 故选： A 11五棱锥 P 体积为 5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（ ） A 6 B 3 C 3 D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知几何体是底面为一个正方形和一个等腰直角三角形组成，利用体积求出高，即可求出最长的侧棱长度 【解答】 解：由题意可知几何体是底面为一个正方形和一个等腰直角三角形组成，其面积为S=2 =5， 所以五棱锥 P 体积 V= = =5， 所以 h=3， 所以侧棱中最长的一条的长度是 =3 故选： C 第 10 页（共 21 页） 12已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）， F 是右焦点，过 F 作双曲线 C 在第一、第三象限渐近线的垂线 l，若 l 与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， +） C（ 2， +） D（ ， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程和直线 l 的方程，代入双曲线的方程，可得 x 的二次方程，运用韦达定理，由题意可得 0，整理后即可求得 a 和 c 的不等式关系，求得离心率的范围 【解答】 解：由双曲线方程可得在第一、第三象限渐近线为 y= x，右焦点 F（ c， 0）， 可得直线 l 的方程为 y= （ x c）， 代入双曲线 C： =1，消去 y 得（ =0， 设交点 A（ B（ x1+， ， 由题意可得 0， b a， 由 c= a， e= ， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图在矩形 ， E 为 中点，若 = + ，则 += 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据向量加减运算的几何意义用 表示出 ，解出 ， 【解答】 解： = = = = 1 第 11 页（共 21 页） 故答案为 14甲、乙、丙三个同学同时做标号为 A、 B、 C 的三个题，甲做对了两个题，乙做 对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题都有人做对； 至少有一个题三个人都做对； 至少有两个题有两个人都做对 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论 【解答】 解：若甲做对 A， B，乙做对 A， B，丙做对 A， B，则 C 无人做对，所以 错误； 若甲做对 A， B，乙做对 A， C，丙做对 B， C，则没有一个题被三个人都做对，所以 错误； 做对的情况可分为三种情况： 三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同， 分类可知 三种情况都满足 的说法 故答案为： 15设抛物线 C： 焦点 F 是圆 M： x2+4x 21=0 的圆心，则圆 M 截 C 的准线所得弦长为 6 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得圆 M 的圆心和半径，可得 p=4，即可得到准线方程，代入圆 M 的方程，可得交点坐标，进而得到所求弦长 【解答】 解：圆 M： x2+4x 21=0 的圆心 M（ 2， 0）， 半径为 r=5， 即有 F（ 2， 0），即 =2，解得 p=4， 则抛物线 C： x 的准线方程为 x= 2， 令 x= 2，代入圆 M，可得 4+ 21=0， 解得 y= 3即有弦长为 6 故答案为： 6 16在锐角 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 ab+， c=1，则a b 的取值范围为 【考点】 正弦定理 【分析】 由 ab+， c=1，可得 a2+用余弦定理可得：. 由正弦定理可得： a=2b=2是 a b=2 由于 ，又 ，可得 ，可得 2 ，即可得出 第 12 页（共 21 页） 【解答】 解：由 ab+， c=1，可得 a2+ 由余弦定理可得： 2 C （ 0， ）， 由正弦定理可得： = = =2， a=2b=2 a b=2 2 2 =2 2= = ， ， 又 ，可得 ， ， ， 2 故答 案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 17数列 等比数列，公比 q 0，首项为 1，数列 前 n 项和 n N+）， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用 ，当 n=1 时， 当 n 2 时， n 1 即可得出； （ 2）由 ， ，可得 q，可得 ，再利用 “裂项求和 ”、等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） ， 第 13 页（共 21 页） 当 n=1 时， 当 n 2 时， n 1= = ，当 n=1 时上式也成立， （ 2） ， =4， 4=1 q 0，解得 q=2 n 1 = ， 数列 前 n 项和 + + = +2n 1 = 18某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立 （ 1）求 在未来连续 3 天里，有 2 天的日销售量都不低于 150 个且另一天的日销售量低于 100个的概率； （ 2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 150 个的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 E（ X） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）设事件 “日销售量不低于 150 个 ”，事件 “日销售量低于 100 个 ”，事件 B： “在未来连续 3 天里，有 2 天的日销售量都不低于 150 个且另一天的日销售量低于 100个 ”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果 （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）设事件 “日销售量不低于 150 个 ”，事件 “日销售量低于 100 个 ”， 事件 B： “在未来连续 3 天里，有 2 天的日销售量都不低于 150 个且另一天的日销售量低于100 个 ”， 则 P（ =（ 50= 第 14 页（共 21 页） P（ =（ 50= P（ B） =3= （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = P（ X=1） = = P（ X=2） = = P（ X=3） = = X 的分布列为： X 0 1 2 3 P X B（ 3， 19在四棱锥 P ， 0， 0， 平面 为 中点， F 为 中点， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 C F 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角 【分析】 （ 1）先证 平面 三角形中位线的性质得 到 平面 而证得平面 平面 （ 2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的 法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的正弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 又 C=A， 平面 E、 F 分别为 点， 平面 平面 平面 平面 （ 2） 平面 0， 第 15 页（共 21 页） 建立以 C 为坐标原点， 别为 x， y，过 C 作平行于 直线为 z 轴的空间直角坐标系如图： ， 0， 0 C（ 0， 0， 0）， D（ 2 ， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， P（ 0， 2， 2）， E（ ， 1， 1）， F（ 0， 1， 1）， 则 =（ ， 1， 1）， =（ 0， 2， 0）， =（ 0， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，则 ，则 ，令 x=1，则 z= ， 即 =（ 1， 0， ）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，则 ， 令 y=1，则 z=1， x=0， 即 =（ 0， 1， 1）， 则 = = ， 则 ， = = ， 即二面角 C F 的正弦值是 20已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 顶点和右顶点分别为 B， A，线段 中点为 D，且 ， 面积为 2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过 直线 1 与椭圆 C 相交于 M， N 两点，若 | ，求以 圆心且与直线 l 相切的圆的方程 【考点】 椭圆的简单性质 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （ ）利用 ， 面积为 2 建立方程组，求解方程组即可得出 a， b 的值，则椭圆方程可求； （ ）由（ ）求出椭圆左右焦点的坐标，分析可知直线 l 的斜率存在，设出直线 l 的方程，和椭圆方程联立，利用弦长公式求得直线的斜率 k，得到直线方程，再由点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的方程可求 【解答】 解：（ ） ， 面积为 2 ， ，解得： a=2 椭圆 C 的方程为 （ ）由（ ）知， c2=， c=2，则 2， 0） 当直线 l 垂直 x 轴时，直线方程为 x= 2，代入椭圆方程可得 y= ，此时 | ，不合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y=k 联立 ，消去 y 得：（ 1+28=0 设 M（ N（ 在 由 | = = ， 解得： ， 不妨去 k= ，则直线 l 的方程为 由 2， 0）到直线 的距离 d= 以 圆心且与直线 l 相切的圆的方程为 21已知 ，其中 a 0 第 17 页（共 21 页） （ 1）若 x=3 是函数 f（ x）的极值点，求 a 的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）若 f（ x）在 0， +）上的最大值是 0，求 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）对 f（ x）求导函数 f（ x），由 f（ 3） =0，求得 a 的值； （ 2）求 f（ x）导函数 f（ x），讨论 a 的值对应 f（ x）与 f（ x）的变化情况，从而确定 f（ x）的单调增区间和单调减区间； （ 3）根据（ 2）中 f（ x）的单调性求出 f（ x）在（ 0， +）的最大值是否为 f（ 0） =0，从而确定 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） ，其中 a 0， f（ x） = = ，其中 x （ 1， +）； f（ 3） =0，即 9a 3（ a 1） =0，解得 a= ， a 的值是 a= ； （ 2）令 f（ x） =0，得 =0，其中 x （ 1， +）； 即 a 1） x=0，解得 ， 1； 当 0 a 1 时， f（ x）与 f（ x）的变化情况如下表： x （ 1， 0） 0 f（ x） 0 + 0 f（ x） 减 f（ 0） 增 减 f（ x）的单调增区间是 ， f（ x）的单调减区间是（ 1， 0）， ； 当 a=1 时， f（ x）的单调减区间是（ 1， +）； 当 a 1 时， 1 0， f（ x）与 f（ x）的变化情况如下表： x 0 （ 0， +） f（ x） 0 + 0 f（ x） 减 增 f（ 0） 减 f（ x）的单调增区间是 ， f（ x）的单调减区间是 ，（ 0， +）； 第 18 页（共 21 页） 综上，当 0 a 1 时， f（ x）的单调增区间是 ， f（ x）的单调减区间是（ 1，0）， ； 当 a=1 时， f（ x）的单调减区 间是（ 1， +）； 当 a 1， f（ x）的单调增区间是 f（ x）的单调减区间是 ，（ 0，+）； （ 3）由（ 2）知，当 0 a 1 时， f（ x）在（ 0， +）的最大值是 ，但 ，所以 0 a 1 不合题意； 当 a 1 时， f（ x）在（ 0， +）上单调递减， f（ x） f（ 0）， f（ x）在 0， +）上 的最大值为 f（ 0） =0，符合题意； f（ x）在 0， +）上的最大值为 0 时， a 的取值范围是 a|a 1 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 选修 4何证明选讲 22如图所示，圆 O 的直径为 圆上一点 A 作圆 O 的切线 延长线于点 F，过点 D 作 点 E （ 1）证明：