数学在西方微观经济学中的运用.doc

数学之美 2006年7月第1期数学在西方微观经济学中的运用经济学院 金融学专业 王星 0511755数学作为历史最为悠久的人类历史领域之一，是各个时代人类文明的标志之一，它一贯的特点就是它在其他领域的极其广泛的渗透和应用。在数学史上，数学的应用在不同时期的发展是不平衡的。18世纪是数学与力学紧密结合的时代，19世纪是纯粹数学形成的时代，20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代。特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已形成当代数学的一股强大潮流。本文着重从数学在西方微观经济学领域的渗透和应用来说明数学渗透与应用的广泛性。首先以分析具有单一可变投入的生产函数时，总产量（TP）、平均产量（AP）以及边际产量（MP）对应图形关系来说明这一点。数学上最原始的作图法就是根据描点法来绘制图形。在西方微观经济学中也是如此。本例中最初的图形就是根据表1绘制而成的，根据该表绘制的图形如图1所示。表1 在1英亩土地上投入不同量劳动的总产量、平均产量、边际产量劳动量（L）总产量(TP)平均产量(AP)边际产量(MP)000018882201012336121644812125551176601057608.608567-4 由图1可知，此三种图像的特点都是先上升后下降。 这三者之间的关系也可以通过几何方法得到说明。首先应用数学上的极限法即无限趋近的方法来进行分析。当可变投入即劳动的增量越来越少时，HI/EF就越来越接近TP曲线上S点的导数，也即等于该点切线的斜率。因此，我们可以通过计算总产量曲线上任一点切线的斜率来测定该点的可变投入的边际产量。 由边际产量定义可知：当其他投入不变的情况下，最后一单位某种投入带来的产量的增加即为该投入的边际产量。即MP=TP/X=dTP/dX，也即MP就等于TP在该点的导数，这也就从数学意义上解释了MP是TP曲线斜率的问题。以上两种方法作出的图形都比较精确。若只需进行定性分析，我们只需知道该图形的大致走向即可。这时根据该曲线的特点及数学意义并运用数学分析方法将会非常简单。如图3所示，描述的是一条相对于一条可变投入(如劳动)的总产量曲线。由平均产量，边际产量定义AP=TP/L,MP=dTP/dL可知，平均产量为原点与该点连线的斜率，边际产量为该点切线的斜率。D点处，MP=dTL/dL=0,TP取得最大值。E点处，MP=dTP/dL取得最大值(TP曲线的倾斜程度最大)。A点处，原点与A点连线与A点切线重合，即平均产量等于边际产量，又因为总产量曲线在OA射线下方，所以平均产量取得最大值，即MP=APmaxB点、C点在过原点的一条直线上，平均产量相等。根据上述分析，可画出AP、MP的形状，如图所示，可以看出图中AP、MP的形状与图得出的形状一致。同理，总成本、平均成本、边际成本（包括短期成本与长期成本）对应图形的关系也可运用上述方法得出。其次，利用拉格朗日乘数法列出拉格朗日方程的方法，来求消费者在有预算约束条件下的均衡购买量。例：如果消费者效用函数U(X1,X2)=1/2LnX1+1/3LnX2,预算约束 I=P1X1+P2X2,求消费者在此预算约束条件下的均衡购买量X1,X2。解： L(X1,X2;)= 1/2LnX1+1/3LnX2-(P1X1+P2X2-I), L(X1,X2;)/ X1= 1/2X1-P1=0, L(X1,X2;)/ X2=1/3X2-P2=0, L(X1,X2;)/ =-( P1X1+P2X2-I)=0。根据上面方程组解得X1=3I/5P1, X2=2I/5P2, =5/6I，即均衡购买量为X1=3I/5P1, X2=2I/5P2。 再次，周期性在经济学中的应用。如对完全竞争行业的均衡分析中，若引入时间因素来考虑均衡状态的变动过程，即动态均衡分析。这里介绍一个简单的动态模型，即蛛网模型。根据需求曲线和供给曲线的陡峭程度，可以分为封闭式模型、收敛式模型和发散性模型三种。如下图所示。QPDSOQ2Q1P2P1P3P1P2OPDSQQ3Q2Q1P3P2P4P1Q1Q4Q2Q3PQ A封闭式模型 B收敛式模型 C开放式模型 A、B、C都是周期性循环，这样就可以根据局部特点来分析整体特点，使过程得到简化。以上只是数学在经济学中的一小部分运用，数学的运用还不仅如此。20世纪40年代以来，经济学研究逐渐数学化，导致了数理经济学的诞生。20世纪50年代以来，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以至于大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。20世纪70年代以后，随机分析进入经济学领域，特别是1973年布莱克（F.Black）和斯克尔斯(M.S.Scholes)将期权定价问题归结为一个随机微分方程的解，从而导出了相当符合实际的著名的期权定价公式，即布莱克-斯科尔斯公式，这是金融数学方面的一项重要的突破。多马（Domar,E.D.）经济增长模型、索罗(Solow,R.M.)经济增长模型，还有差分方程在经济学中的简单应用，如存款模型、哈罗德模型、消费模型、萨缪尔森(Samuelson,P.A.)乘数-加速数模型等。数学不仅在经济学中占有重要地位，在物理、化学、生物、自然科学、计算机等方面都有重要应用。数学的极其广泛的应用为我们提供了一个良好的平台，我们目前的数学水平还不是很高，由此，作为当代大学生，应该为我国数学发展水平的进一步提高以及国际地位的提高而奋发图强，吹向新世纪中国数学赶超世界先进水平的进军号角！参考文献：1.李文林主编,数学史概论（第二版）