单位圆与三角函数线

单位圆与三角函数线 初中锐角三角函数是如何定义的 O M P sin cos tan 当OP 1时 sin MP cos OM 复习引入 设P x y 是 终边上任一点 线段0P的长度为r 复习 任意角三角函数的定义 比值叫做的正弦 记作 即 比值叫做的余弦 记作 即 比值叫做的正切 记作 即 x 角 的终边 1 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 角 的三角函数是怎样定义的 2 三角函数在各象限的函数值符号分别如何 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 公式 其数学意义如何 终边相同的角的同名三角函数值相等 4 角是一个几何概念 同时角的大小也具有数量特征 我们从数的观点定义了三角函数 如果能从图形上找出三角函数的几何意义 就能实现数与形的完美统一 可以用何种几何元素表示任意角三角函数值 由三角函数的定义我们知道 对于角 的各种三角函数我们都是用比值来表示的 或者说是用数来表示的 今天我们再来学习正弦 余弦 正切函数的另一种表示方法 几何表示法 新课讲授 一 单位圆 1 定义 一般地 我们把半径为1的圆称为单位圆 2 单位圆与x轴的交点 单位圆与y轴的交点 1 0 和 1 0 0 1 和 0 1 3 正射影 过P作PM垂直X轴于点M PN垂直Y轴于点N 则点M N分别是点P在X轴 Y轴上的正射影 A T 正弦线和余弦线 问题1 如图 设角 为第一象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则 都是正数 你能分别用一条线段表示角 的正弦值和余弦值吗 问题2 若角 为第三象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则 都是负数 此时角 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示 正弦线和余弦线 正切线 问题1 如图 设角 为第一象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则是正数 用哪条有向线段表示角 的正切值最合适 问题2 若角 为第四象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则是负数 此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适 正切线 思考 若角 为第二象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则是负数 此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适 思考 若角 为第三象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则是正数 此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适 思考 根据上述分析 你能描述正切线的几何特征吗 过点A 1 0 作单位圆的切线 与角 的终边或其反向延长线相交于点T 则AT tan 我们称有向线段OM为角 的余弦线 根据实际需要 我们规定 OM与X轴同向时 方向为正向 且有正值X OM与X轴反向时 方向为负向 且有负值X 有向线段 带有方向的线段 如 有向线段OM 始点为O点 终点为M点 方向为 由O点指向M点 这样 对任意角 都有 我们把向量分别叫做 的余弦线 正弦线和正切线 的终边 T P M P M A T A 例1 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 1 2 例2 作出下列各角的正弦线 余弦线和正切线 1 2 3 例题 例2 比较三角函数值的大小 例3 比较三角函数值的大小 例4 比较大小 1 sin1和sin1 5 2 cos1和cos1 5 3 tan2和tan3 解 由三角函数线得 sin1 sin1 5 cos1 cos1 5 探究 当0 2时 总有sin tan S POA S扇形AOP S AOT MP OA 2 OA OA 2 OA AT 2 MP AT sin tan 例5 设为锐角 试证 1 证明 如图示 为锐角 例6 利用单位圆中的三角函数线 若 试确定sin 的取值范围 cos