2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题06函数与方程﹑函数模型及其应用理.docx

函数与方程函数模型及其应用【考向解读】 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是2016高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)a），函数g（x）f（x）b有两个零点，即函数yf（x）的图像与直线yb有两个交点.结合图像，当aa）的图像与直线yb有两个交点；当a0时，必须满足（a）h（a），即a3a2，解得a1.综上得a（，0）（1，）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来【变式探究】已知函数f(x)|xa|(aR)在1，1上的最大值为M(a)，则函数g(x)M(x)|x21|的零点的个数为()A1 B2 C3 D4【答案】C【探究提高】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题例2、已知符号函数sgn xf(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则()Asgng(x)sgn xBsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)【答案】B【解析】不妨令f（x）x1，a2，则g（x）f（x）f（2x）x，故sgng（x）sgn（x），排除A；sgnf（x）sgn（x1）sgng（x），又sgng（x）sgnf（x），所以排除C，D.故选B.【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在a，b上存在x1，x2(ax1x2b)，满足f(x1)，f(x2)，则称实数x1，x2为a，b上的“对望数”，函数f(x)为a，b上的“对望函数”已知函数f(x)x3x2m是0，m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是()A. B(2，3)C. D(2，2 )【答案】A【命题热点突破三】函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答例3、随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套(1)求m的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x4时，y21，代入y4（x6）2，得1621，解得m10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y4（x6）2，所以每日销售套题所获得的利润f（x）（x2）104（x6）2（x2）4x356x2240x278（2x6），从而f（x）12x2112x2404（3x10）（x6）（2x0，函数f（x）单调递增，在上，f（x）0，函数f（x）单调递减，所以x是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f（x）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是关于车流密度x（单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20x200时，车流速度v是关于车流密度x的一次函数.（1）当0x200时，求函数v（x）的解析式；（2）当车流密度x为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f（x）xv（x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0x20时，v（x）60；当20x200时，设v（x）axb，由已知得解得故所求函数v（x）的解析式为v（x）（2）由（1）可知v（x）当0x20时，f（x）60x为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当20x200时，f（x）x（200x）（x2200x）（x100）2，当x100时，f（x）取得最大值3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东理数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。3、【2016高考上海理数】已知点在函数的图像上，则.【答案】【解析】将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.4.【2016高考上海理数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，得，解得（2），当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意当且时，是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即于是满足题意的综上，的取值范围为因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为5.【2016高考上海理数】设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）、和均为真命题 、和均为假命题、为真命题，为假命题 、为假命题，为真命题 【答案】D【解析】不成立，可举反例, , 前两式作差，可得结合第三式，可得, 也有正确故选D.1.(2015广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxex B.yxC.y2x D.y解析令f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数，而B，C，D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.答案A2.(2014山东卷)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B. C.(1，2) D.(2，)解析由f(x)g(x)，|x2|1kx，即|x2|kx1，所以原题等价于函数y|x2|与ykx1的图象有2个不同交点.如图：ykx1在直线yx1与yx1之间，k1，故选B.答案B3.(2015山东卷)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a取值范围是()A. B.0，1C. D.1，)解析当a2时，f(a)f(2)2241，f(f(a)2f(a)，a2满足题意，排除A，B选项；当a时，f(a)f 311，f(f(a)2f(a)，a满足题意，排除D选项，故答案为C.答案C4.(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()答案B5.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）A. B. C. D. 【答案】D.【解析】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，C错误，D：令，符合题意，故选D.6.【2015高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.7.【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，当时，