2015-2016学年厦门市高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z=（ 1+i）（ a+2i）（ i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 2双曲线 =1 的一个顶点到一条渐近线的距离是（ ） A B C D 3已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 4）， P（ 1 X 3） =下列结论正确的是（ ） A P（ X 1） = P（ X 3） = P（ 1 X 1） = P（ 1 X 3） =已知函数 f（ x）的导函数是 f（ x），且满足 f（ x） =2 e） f（ e）等于（ ） A 1 B 1 C e D 5由曲线 y= ，直线 y=x 及 x=3 所围成的图形的面积是（ ） A 4 8 4+ 8+三棱柱 ， 等边三角形， 底面 ， ，则异面直线 成的角的大小是（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 7假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2 2 列联表为： Y X y1 计 x1 a 10 a+10 x2 c 50 c+50 总计 40 60 100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A a=10， c=30 B a=15， c=25 C a=20， c=20 D a=30， c=10 8甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有 3 个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（ ） A 54 B 36 C 27 D 24 9 “m 1”是 “函数 y=在 1， +）单调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 2 页（共 19 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 10甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐已知： 甲不看书； 若丙不画画，则乙不听音乐； 若乙在看书，则丙不听音乐则（ ） A甲一定在画画 B甲一定在听音乐 C乙一定不看书 D丙一定不画画 11函数 f（ x） =e|x|图象大致是（ ） A B CD 12已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是 两条曲线在第一象限的交点为 P， 以 底边的等腰三角形，若 |8，椭圆与双曲线的离心率分别为 + 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ 1， 4） C（ 2， 4） D（ 4， 8） 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13（ 2x+ ） n 的二项式系数的和是 32，则该二项展开式中 系数是 （用数字填写答案） 14已知 m R， p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的 椭圆； q：在复平面内，复数 z=1+（ m 3） i 对应的点在第四象限若 p q 为真，则 m 的取值范围是 15抛物线 x 的焦点为 F， A 为抛物线上在第一象限内的一点，以点 F 为圆心， 1 为半径的圆与线段 交点为 B，点 A 在 y 轴上的射影为点 N，且 |2 ，则线段 长度是 16设函数 f（ x）在 R 上的导函数是 f（ x），对 x R， f（ x） x若 f（ 1 a） f（ a） a，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用 x 与销售量 y 的数据，如表： 广告费用 x（万元） 2 3 4 5 6 销售量 y（万件） 5 7 8 9 11 由散点图知可以用回归直线 = x+ 来近似刻画它们之间的关系 第 3 页（共 19 页） （ ）求回归直线方程 = x+ ； （ ）在（ ）的回归方程模型中，请用相关指数 明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？ 参考公式： = ， = ； 18函数 f（ x） = x3+在 x=2 处的切线方程为 x+y 2=0 （ ）求实数 a， b 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值 19如图，已知四棱锥 P 底面为菱形，且 0， C=2， P= （ ）求证：平面 平面 （ ）求二面角 A D 的平面角的余弦值 20某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器甲车间每台机器每天发生故障的概率均为 ，乙车间 3 台机器每天发生故障的概率分别为 ， ， 若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元 （ ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列； （ ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理 21已知圆 x2+ 与 x 轴左右交点分别为 点 直线 过点 直线 交于点 D，且 率的乘积为 （ ）求点 D 的轨迹 程； （ ）若直线 l： y=kx+m 不过 与轨迹 有一个公共点，且直线 l 与圆 于P、 Q 两点求 面积之和的最大值 22已知函数 f（ x） =c R） （ ）讨论函数 f（ x）的零点个数； （ ）当函数 f（ x）有两个零点 ，求证： x1e 第 4 页（共 19 页） 2015年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题 解析 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z=（ 1+i）（ a+2i）（ i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z，又已知复数 到 ，求解即可得答案 【解答】 解：复数 z=（ 1+i）（ a+2i） =（ a 2） +（ a+2） i， 又 复数 z 是纯虚数， ， 解得 a=2 故选： D 2双曲线 =1 的一个顶点到一条渐近线的距离是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近 线，利用点到直线的距离公式进行求解即可 【解答】 解：由双曲线的方程得 a=1， b= ，双曲线的渐近线为 y= x， 设双曲线的一个顶点为 A（ 1， 0），渐近线为 y= x，即 x y=0， 则顶点到一条渐近线的距离 d= = ， 故选： C 3已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 4）， P（ 1 X 3） =下列结论正确的是（ ） A P（ X 1） = P（ X 3） = P（ 1 X 1） = P（ 1 X 3） =考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据对称性，由 P（ 1 X 3）可求出 P（ X 3） 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 4）， 曲线关于 x=1 对称， P（ 1 X 3） = 第 5 页（共 19 页） P（ X 3） = 故选： B 4已知函数 f（ x）的导函数是 f（ x），且满足 f（ x） =2 e） f（ e）等于（ ） A 1 B 1 C e D 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，直接令 x=e 进行求解即可 【解答】 解： f（ x） =2 e） 函数的导数 f（ x） =2f（ e） ， 令 x=e， 则 f（ e） =2f（ e） ， 即 f（ e） = ， 故选： D 5由曲线 y= ，直线 y=x 及 x=3 所围成的图形的面积是（ ） A 4 8 4+ 8+考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可 【解答】 解：作出对应的图象， 由 得 x=1， 则阴影部分的面积 S= （ x ） | =（ （ =4 故选： A 6三棱柱 ， 等边三角形， 底面 ， ，则异面直线 成的角的大小是（ ） 第 6 页（共 19 页） A 30 B 60 C 90 D 120 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线 成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案 【解答】 解：如图， 分别取 中点 E、 F、 G、 K， 连接 ， ，则 ， ， 在 ， 异面直线 成的角的大小是 90 故选： C 7假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2 2 列联表为： Y X y1 计 x1 a 10 a+10 x2 c 50 c+50 总计 40 60 100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A a=10， c=30 B a=15， c=25 C a=20， c=20 D a=30， c=10 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 当 距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的 差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果 【解答】 解：根据观测值求解的公式可以知道， 当 距越大，两个变量有关的可能性就越大， 选项 A， |200，选项 B， |500， 选项 C， |800，选项 D， |1400， 故选 D 第 7 页（共 19 页） 8甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有 3 个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（ ） A 54 B 36 C 27 D 24 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 间接法：先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有 3 个，共有 34=81 种情况，甲、乙同去一个景点有 33=27 种情况，相减可得结论 【解答】 解：间接法：先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有 3 个，共有 34=81 种情况，甲、乙同去一个景点有 33=27 种情况， 不同的选择方案的种数是 81 27=54 故选： A 9 “m 1”是 “函数 y=在 1， +）单调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 充要条件；函数的单调性与导数的关系 【分析】 若函数 y=在 1， +）单调递增，则 y=2x 0 在 1， +）上恒成立，求出 m 的范围，进而根据充要条件的定义，可得答案 【解答】 解： 函数 y=在 1， +）单调递增， y=2x 0 在 1， +）上恒成立， 即 m 2， 故 “m 1”是 “函数 y=在 1， +）单调递增 ”的充分不必要条件， 故选： A 10甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐已知： 甲不看书； 若丙不画画，则乙不听音乐； 若乙在看书，则丙不听音乐则（ ） A甲一定在画画 B甲一定在听音乐 C乙一定不看 书 D丙一定不画画 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由 开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案 【解答】 解：由 可知：甲可能在画画或在听音乐，由 可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由 丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合 可知：甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐， 故选： B 11函数 f（ x） =e|x|图象大致是（ ） 第 8 页（共 19 页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数的奇偶性，排除 B；根据函数在（ 0， ）上，为增函数，在（ ， ）上，为减函数，排除 A；再根据在（ ， ）上，为增函数， f（ ） f（ ），排除 C，可得结论 【解答】 解：由于函数函数 f（ x） =e|x|偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故排除 B 当 x 0 时， f（ x） =exf（ x） =exexx（ 故函数在（ 0， ）上， f（ x） 0， f（ x）为增函数；在（ ， ）上， f（ x） 0， f（ x）为减函数，故排除 A 在（ ， ）上， f（ x） 0， f（ x）为增函数，且 f（ ） f（ ），故排除 C，只有 D 满足条件， 故选： D 12已知中心在坐标原点的 椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是 两条曲线在第一象限的交点为 P， 以 底边的等腰三角形，若 |8，椭圆与双曲线的离心率分别为 + 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ 1， 4） C（ 2， 4） D（ 4， 8） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到 +c， c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可 【解答】 解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为： ， （ b1，0， 以 底边的等腰三角形， |8， 8+2c=28 2c=2 即有 +c， c，（ c 4）， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c 8， 可得 c 2，即有 2 c 4 由离心率公式可得 + = = = = ， 第 9 页（共 19 页） 2 c 4， ， 则 2 4， 即 2 + 4， 故 + 的取值范围是（ 2， 4）， 故选： C 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13（ 2x+ ） n 的二项式系数的和是 32，则该二项展开式中 系数是 80 （用数字填写答案） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由题意可得： 2n=32，解得 n再利用其通项公式即可得出 【解答】 解：由题意可得： 2n=32，解得 n=5 的通项公式 = （ 2x） 5 r =25 r 2r， 令 5 2r=3，解得 r=1 该二项展开式中 系数 =24 =80 故答案为： 80 14已知 m R， p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆； q：在复平面内，复数 z=1+（ m 3） i 对应的点在第四象限若 p q 为真，则 m 的取值范围是 （ 2， 3） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 利用椭 圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出 【解答】 解： p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 2； 第 10 页（共 19 页） q：在复平面内，复数 z=1+（ m 3） i 对应的点在第四象限， m 3 0，解得 m 3 p q 为真， p 与 q 都为真命题 2 m 3 则 m 的取值范围是（ 2， 3） 故答案为：（ 2， 3） 15抛物线 x 的焦点为 F， A 为抛物线上在第一象限内的一点，以点 F 为 圆心， 1 为半径的圆与线段 交点为 B，点 A 在 y 轴上的射影为点 N，且 |2 ，则线段 长度是 3 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出 N， B 的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论 【解答】 解：由题意， A（ 3， 2 ）， N（ 0， 2 ）， 以点 F 为圆心， 1 为半径的圆的方程为（ x 1） 2+，直线 方程为 y= （ x 1） 联立直线与圆的方程可得（ x 1） 2= ， x= 或 ， B（ ， ）， | =3 故答案为： 3 16设函数 f（ x）在 R 上的导函数是 f（ x），对 x R， f（ x） x若 f（ 1 a） f（ a） a，则实数 a 的取值范围是 a 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 令 g（ x） =f（ x） 出 g（ x）的单调性，问题等价于 f（ 1 a） （ 1a） 2 f（ a） 据函数的单调性得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） x，而 f（ x） x， g（ x） =f（ x） x 0， 故函数 g（ x）在 R 递减， f（ 1 a） f（ a） a 等价于 f（ 1 a） （ 1 a） 2 f（ a） 即 g（ 1 a） g（ a）， 1 a a，解得 a ， 故答案为： a 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 11 页（共 19 页） 17某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用 x 与销售量 y 的数据，如表： 广告费用 x（万元） 2 3 4 5 6 销售量 y（万件） 5 7 8 9 11 由散点图知可以用回归直线 = x+ 来近似刻画它们之间的关系 （ ）求回归直线方程 = x+ ； （ ）在（ ）的回归方程模型中，请用相关指数 明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？ 参考公式： = ， = ； 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数 ，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得 ，即可求得回归直线方程； （ ）分别求得 1， 2， 5，根据相关指数公式求得相关指数 可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化 【解答】 解：（ ） = （ 2+3+4+5+6） =5， = （ 5+7+8+9+11） =11， = = = =8 4= 回归直线方程 = （ ）由（ ）可知： 1=2+ 2=3+ 3=4+； 4=5+ 第 12 页（共 19 页） 5=6+ = 广告费用解释了 98%的销售量变化 18函数 f（ x） = x3+在 x=2 处的切线方程为 x+y 2=0 （ ）求实数 a， b 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求导数得到 f（ x） =ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于 a， b 的方程组，解出 a， b 即可； （ ）上面已求出 a， b，从而可以得出导函数 f（ x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数 f（ x）的极值 【解答】 解：（ ） f（ x） =ax+b； 由题意可得，切点为（ 2， 0），切线斜率为 k= 1； ； 解得 ； （ ）由上面得， f（ x） =4x+3=（ x 1）（ x 3）； x 1 时， f（ x） 0， 1 x 3 时， f（ x） 0， x 3 时， f（ x） 0； x=1 时， f（ x）取极大值 ， x=3 时， f（ x）取极小值 19如图，已知四棱锥 P 底面为菱形，且 0， C=2， P= （ ）求证：平面 平面 （ ）求二面角 A D 的平面角的余弦值 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 第 13 页（共 19 页） 【分析】 （ I）取 点 E，连 等腰三角形的性质可得 利用勾股定理的逆定理可得 用线面垂直的判定定理可得 平面 利用面面垂直的判定定理即可证明 （ 立如图所示的空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面 角 【解答】 （ ）证明：如图 1 所示，取 点 E，连 则 等腰 底边上的中线， ， ， ，即 由勾股定理的逆定理可得， 又 面 面 E=E， 平面 而 面 平面 平面 （ ）以 点 E 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴， 在直线为 z 轴， 建立如图 所示的空间直角坐标系 则 A（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， D（ ， 2， 0）， P（ 0， 0， 1）， =（ ， 1， 0）， =（ ， 0， 1）， =（ 0， 2， 0） 设 是平面 一个法向量， 则 ，即 取 ，可得 ， 设 是平面 一个法向量， 则 ，即 取 ，可得 ， 故 ， 即二面角 A D 的平面角的余弦值是 第 14 页（共 19 页） 20某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器甲车间每台机器每天发生故障的概率均 为 ，乙车间 3 台机器每天发生故障的概率分别为 ， ， 若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元 （ ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列； （ ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产 一个以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）乙车间每天机器发生故障的台数 ，可以取 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列； （ ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数 ，获得的利润为 X，则 B（ 3， ），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论 【解答】 解：（ ）乙车间每天机器发生故障的台数 ，可以取 0， 1， 2， 3， P（ =0） =（ 1 ） （ 1 ） （ 1 ） = ， P（ =1） = （ 1 ） （ 1 ） 2+（ 1 ） = ， P（ =2） = （ 1 ） +（ ） 2 （ 1 ） = ， P（ =3） = = ， 乙车间每天机器发生故障的台数 的分布列； 0 1 2 3 P （ ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数 ，获得的利润为 X，则 B（ 3， ）， P（ =k） = （ k=0， 1， 2， 3）， P（ =0） +1 P（ =1） +0 P（ =2） 3 P（ =3） = ， 第 15 页（共 19 页） 由（ ）得 P（ =0） +1 P（ =1） +0 P（ =2） 3 P（ =3） = ， 甲车间停产比较合理 21已知圆 x2+ 与 x 轴左右交点分别为 点 直线 过点 直线 交于点 D，且 率的乘积为 （ ）求点 D 的轨迹 程； （ ）若直线 l： y=kx+m 不过 与轨迹 有一个公共点，且直线 l 与圆 于P、 Q 两点求 面积之和的最大值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）设点 D 的坐标为（ x， y），求出 坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点 D 的轨迹 方程； （ ）设 P（ Q（ 联立直线方程和 方程消去 y，由条件可得 =0 并化简，联立直线 l 与圆 方程消去 x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出 ，化简后利用基本不等式求出 面积之和的最大值 【解答】 解：（ ）设点 D 的坐标为（ x， y）， 圆 x2+ 与 x 轴左右交点分别为点 2， 0）， 2， 0）， 且 率的乘积为 ， ，化简得 ， 点 D 的轨迹 程是 ； （ ）设